数字信号处理课件11

1. 数字信号处理主要内容

1）离散信号与系统分析

a. 信号时域分析

- 基本信号

- 基本运算

- 时域表示

b. 系统时域分析

- 系统分类

- 系统描述

- 响应求解

c. 信号频域分析

- 频域表示

- 频谱概念及特点

- DFS、DTFT性质

d. 系统频域分析

- 频域描述

- 系统频域响应

- 理想数字滤波器

e. 信号Z域分析

- Z域表示

- Z变换性质

- Z反变换

f. 系统Z域分析

- Z域描述

- H(z)与系统特性

- 全通滤波器

- 最小相位系统

g. 信号抽样

- 时域抽样

- 信号重建

- 信号离散处理

- 频域抽样

2）数字信号分析

a. DFT

- 有限长信号表示

- 分析信号平滑

- 计算线性卷积

b. FFT

- 基2时间抽取

- 基2频率抽取

- 基4时间抽取

- 混合基算法

- 算法的对称性

c. 多速率

- 信号的内插

- 信号的抽取

- 抽样率转换

- 两通道滤波器组

d. 时频分析

- 短时傅里叶变换

- 离散小波变换

- 多分辨分析

- 分解与重构算法

- 小波分析应用

3）数字滤波器设计

a. IIR DF

- 模拟低通滤波器

- 模拟滤波器设计

- 脉冲响应不变法

- 双线性变换法

b. FIR DF

- 线性相位系统

- 窗函数设计法

- 频率取样法

- 优化设计法

c. DF结构

- 直接型结构

- 级联型结构

- 并联型结构

d. 有限字长

- 输入量化误差

- 系数量化误差

- 乘积运算误差

2. 网络结构的研究价值：

系统函数：适合系统设计分析，比如因果、稳定、滤波特性等分析。

单位脉冲响应：无限长脉冲响应，用离散卷积运算不现实。

差分方程：可以采用递推来实现，适合实时运算。

3. 对LTI离散系统（线性时不变离散系统）

对于同一个线性时不变离散系统，有无限种运算结构。

当变量和系数以无限精度表示时，不同运算结构是等价的。

当以有限精度表示时，可能存在巨大差异。

——因此，有必要研究不同运算结构。

不同的系统函数对应有不同的算法。

不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度。

同时影响系统的复杂程度和成本。

4. 用信号流图表示网络结构

实现数字信号处理的三种基本运算单元：加法器、单位延迟器、常数乘法器

三种基本运算的表示法：方框图法、信号流图法

Z^(-1)和a为支路增益，箭头表示信号流动方向。

两个变量相加，用一个圆点表示。

信号流图的圆点（·）表示节点。有输入x(n)、输出y(n)、中间节点（汇结点、源结点），每个节点处的信号称为节点变量，节点间连线称为支路。

所以，信号流图由连接节点的一些有方向性的支路构成。

不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有多种信号流图相对应。

从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图。

- 信号流图中所有支路的增益是常数或者是z^(-1)

- 流图环路中必须存在延时支路：如果环路不存在延时支路，可能无法计算

- 节点和支路数目是有限的。

基本信号流图对应一种具体的运算方法，非基本信号流图不能用一种具体的运算方法来实现。网络结构可通过基本信号流图来描述。

5. 由基本信号流图求系统函数H(z)的过程

- 根据给定的信号流图，设置中间节点变量，列出各节点变量方程

- 形成联立方程组

- 求解方程组，消除中间节点位置，确定流图的输入和输出关系

- 根据输入、输出关系求出系统函数H(z)。

6. 网络结构分类：按脉冲响应的长度分裂

无限脉冲响应（IIR）网络

有限脉冲响应（FIR）网络

差分方程、系统函数

IIR滤波器在结构上存在输出到输入的反馈，信号流图中存在环路。

FIR滤波器在结构上不存在输出到输入的反馈，信号流图中不存在环路。

为什么有反馈会导致无限长的响应？

以一阶IIR系统函数为例，当输入为单位脉冲序列δ(n)，当经过上述网络，输入样本在反馈回路上乘以一个a，要么增长（|a|>1）或衰减（|a||z1|，则系统为因果。如果系统不稳定，则系统为左序列，为非因果。

系统的是非因果、稳定与收敛域有关。一个系统函数如果不给出收敛域，是无法判断因果稳定的。

直接I型和直接II型的对比

相同点：都是直接型的实现方法，共同的缺点是系数ai和bi对滤波器的性能控制不明显，因为它们与系统函数的零、极点关系不明显，因而调整困难。直接型结构极点对系数的变化过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。

不同点：II型所需的延时单元较少，可节省存储单元或寄存器。

10. IIR系统的基本网络结构——级联型

先将系统函数按零极点进行因式分解。

再将共轭因子展开，构成实系数二阶因子。

为了简化级联形式，将实系数的两个一阶因子组合成二阶因子（或将一阶因子看成是二阶因子的退化形式），则整个可写成实系数二阶因子的形式。

IIR的级联型网络结构：H(z)=H1(z)H2(z)...Hk(z)

级联型示意图：级联型结构不是唯一的。

直接II型一阶网络结构。

直接II型二阶网络结构。

一个六阶系统函数用三个直接II型的级联表示。

级联型结构的优点：

所需存储器最少，系统结构组成灵活，该结构应用广泛。

每一个基本节与滤波器的一对极点和一对零点有关。

调整系数β0k、β1k、β2k可以单独调整滤波器第k对零点，而不影响其他零点、极点。

调整系数α1k、α2k单独调整滤波器第k对极点，而不影响其他零点、极点。

级联型结构的缺点：

存在误差积累，前级误差会传递到后级，但级联结构中后面的网络输出不会传送到前面，所以运算误差的积累相对于直接型要小。

零极点配合关系着网络最优化的问题，而最佳配合关系不易确定。级联结构可以有许多不同搭配关系，不同方案性能不同。

11. IIR系统的基本结构——并联型

将H(z)展成部分分式形式

式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。

将x(n)送入每个二阶（或一阶）网络后，将所有输出相加得到输出y(n)

Hi(z)采用直接型表示，并联形成总的系统函数。

并联型结构的优点：

并联机构可以单独调整极点位置。所以，在要求准确传输极点的场合，宜采用这种结构。

各并联基本节的误差相互没有影响，无误差积累，因此，并联形式运算误差最小。

基本节并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构运算速度快。

并联型结构的缺点：

不能像级联型那样单独调整零点的位置。因为并联型子系统的零点，并非整个系统函数的零点。

当H(z)有多阶零点时，部分分式展开不易。

12. IIR网络结构的转置定理

转置形式（流图倒置）如果将原网络中所有支路的方向加以反转，并将输入和输出相互交换，则网络的系统函数不会改变。可以通过梅森公式得出证明过程。

一阶转置结构、二阶转置结构、多阶转置结构。

13. IIR基本网络结构特点比较

项目类型 直接型 级联型 并联型

所需延时单元 2N(N) N N

运算误差 较大 较小 较小

运算速度 一般 一般 最快

14. FIR系统的基本网络结构

① FIR网络没有反馈支路，没有环路。

② 所有极点都在0处，收敛域为|z|>0。

③ 单位脉冲响应是有限长的。

15. FIR系统的基本网络结构：级联型

H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶网络。

级联型结构的特点：

级联型结构一个一阶因子控制一个实数零点。

每一个二阶因子控制一对共轭零点。

调整零点位置比直接型方便。

所需要的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。

16. FIR系统的线性相位结构

线性相位的定义

线性相位：系统函数的相位与频率成线性关系，这种滤波器的群延时为一常数

冲激响应h(n)的傅里叶变换H(jω)包括幅频特性和相频特性

H(jω)=|H(jω)|exp(jφ(ω))

系统群延时定义为：τ(ω)=-dφ(ω)/dω

满足线性相位时：φ(ω)=-ωτ0

群延时为一常数：τ(ω)=-dφ(ω)/dω=τ0

系统函数线性相位的重要性：

系统函数具有线性相位的特性是非常重要的。

数据传输、图像处理都要求系统具有线性相位（保证数据、图像不畸变）

在雷达、通信等系统中，要求滤波器具有良好的线性相位特性，以保证信号的不失真。

相位在图像的表示中的重要性评估

图像处理对于系统函数的相频特性要有线性相位

实验原理：将原图变换到频域，乘以不同的系统函数，再反变换

系统函数幅度谱恒为1，相位谱不同。

线性相位导致时移

二次相位较小，图像弥散

二次相位较大，弥散严重

在信号滤波中系统函数线性相位的重要性

系统函数相频特性为线性相位

系统函数相频特性为二次线性相位

低频延时小，高频延时大

非线性相位下，信号波形发生严重畸变

17. 若FIR系统的h(n)是实数，且满足对称性。即满足约束条件：

h(n)=±h(N-1-n)，+为第一类，-为第二类

也就是说，h(n)的对称中心在(N-1)/2，则这种FIR滤波器就具有线性相位。下面我们针对h(n)的奇偶进行讨论。

1）N=偶数时FIR的线性相位的特性：共有(N/2-1)个延时单元

2）N=奇数时FIR的线性相位的图像：共有(N-1)/2个延时单元

18. FIR系统的频率采样结构

频域采样定理：相应的所有信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号时域混叠，并可由频域N点采样恢复所有信号。

上式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。

① 得到FIR滤波器的频率采样型结构。它由两部分级联而成。

H(z)=[1-z^(-n)]1/N sum(n,0,N-1) H(k)/(1-W^(-k)_N z^(-1))

H(z) = Hc(z) 1/N sum(n,0,N-1) H_k(z)

其中：第一部分为梳状滤波器，第二部分为N个谐振器组成的谐振柜

数字滤波器：Hc(z)=1-z^(-n)

N个谐振器组成的谐振柜：sum(n,0,N-1) H_k(z)=sum(n,0,N-1) H(k)/(1-W^(-k)_N z^(-1))

② 零极点特性：

Hc(z)=1-z^(-n)，它是一个由N阶延时单元所组成的梳状滤波器。

它是一个由N阶延时单元所组成的梳状滤波器。

在单位圆上有N个等间隔角度的零点：z_(zk)=exp(j 2π/N k)=W_N^(-k)

谐振滤波器有N个等间隔极点。

零极点抵消，因此频率采样结构仍然为FIR系统。

优点：

频率响应特性调整方便，在频率采样点ωk，H(exp(jωk))=H(k)，只要调整H(k)（即一阶网络Hk(z)中的乘法器的系数H(k))），可有效地调整频响特性。

易于标准化，模块化：只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其数字滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。

缺点：

系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，但由于寄存器的长度有限，有限字长效应可能使零极点不能完全抵消，影响系统的稳定性。

由于H(k)和W^(-kn)一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。

修正结构：单位圆上的所有零极点向内收缩到半径为r的圆上，这里r小于1.这样，以z/r代替原H(z)表示式中z。

Hr(k)是在r圆上对H(z)的N点等间隔采样之值。

由于r≈1，所以，可近似取Hr(k)=H(k)

若h(n)是实序列，根据其DFT变换对称性。H(k)=H*(N-k)

旋转因子：(W_N^(-k))*=W_N^(N-k)

将H_k(z)和H_(N-k)(z)合并成一个二阶实系数网络，记为H_k(z)

修正结构：二阶网络是一个谐振频率ω_k=2πk/N的谐振器

N为偶数，有一对实根，除二阶网络外上有两个对应的一阶网络。

N为奇数，只有一个实根z=r，对应于一个一阶网络H0(z)

N等于奇数时的频率采样修正结构由一个一阶网络结构和(N-1)/2个二阶网络结构组成。

采样点数N较大时，频率采样结构比较复杂，所需的乘法器和延时器比较多。但在以下两种情况，使用频率采样结构比较经济。

1）对于窄带滤波器，其多数采样值H(k)为零，谐振器柜中只剩下几个所需要的谐振器。这时采用频率采样结构比直接型结构所用的乘法器少，当然存储器还是要比直接型用得多一些。

2）在需要同时使用很多并列的滤波器的情况下，这些并列的滤波器可以采用频率采样结构，大家共用梳状滤波器和谐振柜，只要将各个谐振器的输出适当加权就能组成各个并列的滤波器。

18. 格型网络结构

全零点格型网络结构

① 全零点格型网络结构的流图：略

该流图没有直通通路，没有反馈回路，因此可称为FIR格型网络结构。

基本构成单元（略）

可以写成全零点格型网络结构的矩阵形式。

只要知道格型网络的系数kl,l=1,2,3,...,N，由上式可以直接求出FIR格型网络结构的系统函数。

由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网络结构

假设N阶FIR型网络结构的系统函数为：

H(z) = sum(n,0,N) h(n)z^(-n)

式中，h(0)=1，h(n)是FIR网络的单位脉冲响应，令ak=h(k)，得到：

H(z) = sum(k,0,N) ak z^(-k)

19. 量化效应带来滤波器性能下降

一个FIR滤波器的量化系数效应

以下是一个满足线性相位的FIR低通滤波器，一共27阶，一共27个零点。一个最优FIR低通滤波器（M=27）的未量化和量化系数

朴素解释：系数量化的噪声具有随机性，因此相当于在原来的滤波器上叠加了一个随机噪声，随机噪声的具有白色频谱，因此，会在整个频带上叠加一个幅频误差，这个幅频误差会降低通带的平坦度，会抬高滤波器截止带的增益，导致滤波器滤波特性下降。