在我读高中的时候，数学课程里是没有微积分的，当时自学微积分，用的是一种很简明的数学手册，里面只有结果没有证明。看到指数函数求导的时候，怎么也想不明白这个 \( y=e^x\) 的导数 \( y’=e^x\) 是怎么求出来的。

在当时那个信息闭塞的时代，我没有办法直接找到问题的答案，所有的证明都得依靠自己努力思考，才能使很多问题的证明在一定程度上得以补全，这其中包括指数函数求导、牛顿-莱布尼茨公式、反正切函数的泰勒展式等等，都是通过自己的思考来做出的所谓的”证明”，当然都是不严格的，但大多数只缺少其中的某个环节罢了，比如 \( \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\dots\)，当时想到了两边同时求导，只是对两个重要的环节苦思不解：幂级数逐项积分的合理性和 \( x=1\) 时怎么证明右边还等于左边。

\( y=e^x\) 的导数也是自己想出的”证明”：

因 \( \frac{\Delta y}{\Delta x}=e^x\cdot\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}\) 所以只需要证明极限 \( \displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1\) 即可。

怎么证明这个极限是 1 呢？那就要用到 “e” 这个数的定义了，因为不是所有指数函数的导数都是它本身的。那么 “e” 表示什么呢？它是一个极限： \( \displaystyle e=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n\) 我把它换一种写法表示： \( \displaystyle e=\lim_{\Delta x\to 0}(1+\Delta x)^\frac{1}{\Delta x}\) 这样，这里的 \( \Delta x\) 正好和导数极限里的指数 \( \Delta x\) 相互抵消，得到 \( \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(1+\Delta x)^{\frac{1}{\Delta x}\cdot \Delta x}-1}{\Delta x}=1\) 这样就算”证明”出了这个极限确实是1。当时也有些顾虑，不知道这样的替换是否合理，但对于一个高中生，能用一种自己可以接受的方式去理解这个东西已经很不错了。

到大学之后，ε-δ语言成了数学学院师生们炫耀的资本，严格性是权威教授们手里挥舞的大棒，我自己对这个问题的想法被告知”不严格”，不得不抛弃掉。取而代之的是一般数学分析教材中的做法，先求另一个重要极限 \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\ln(1+x)^\frac{1}{x}=1\) 然后再设 \( x=e^t-1\)，令 \( t \to 0\) 则 \( x \to 0\)，这样就得出了 \( \displaystyle \lim_{t \to 0}\frac{t}{e^t-1}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\)

不可否认的是，这种方法非常巧妙，也确实是这个问题的最简洁的证法，但总觉得在思路上显得不够直接，有点绕，难道求一个关于指数函数的极限就必须先绕到对数那里，再通过变量替换绕回来吗？自己的思路就真的一无是处无法补救吗？就没有一个想法上更直接的，同时也很严格的证明指数函数导数的方式吗？

一直对这个问题耿耿于怀，直到最近，在复习数学分析的时候，有了一些思路，应该可以不借助对数函数而直接求出指数函数的导数，而这思路就是把高中时那个粗浅的证明方法的漏洞补全。我们依然从 e 的定义开始。

众所周知，e 在通常的分析教材中被定义为 \( \displaystyle e=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\) 右边的极限的存在性是教材中单调有界原理的例题。我们这里稍微用一点小技巧，先证明序列 \( (1+\frac{1}{n})^n\) 严格递增，序列 \( (1+\frac{1}{n})^{n+1}\) 严格递减且有下界，从而有极限，而这两个序列极限相等，定义为常数 e，这样既可以避免繁琐的二项式展开，又可以证明一个重要不等式 \( (1+\frac{1}{n})^n(\frac{n-1}{n})^\frac{1}{n}\) 因此 \( \displaystyle(1+\frac{1}{n})^n>(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\)

同样的， \( \displaystyle \frac{1+\frac{1}{n-1}}{1+\frac{1}{n}}=\frac{n+\frac{n}{n-1}}{n+1}>(\frac{n}{n-1})^\frac{1}{n+1}\) 因此 \( \displaystyle(1+\frac{1}{n-1})^n>(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)

而 \( (1+\frac{1}{n})^{n+1}\) 有一个自然的下界 1，从而这个序列有极限。那么显然 \( (1+\frac{1}{n})^n\) 也有极限并且两个序列的极限相等，记为 e，且由于它们的单调性有 \( \displaystyle(1+\frac{1}{n})^n