第二型曲面积分

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第二型曲面积分

2024-07-09 20:45:44| 来源: 网络整理| 查看: 265

之前我们学习了第二型曲线积分，主要学习内容是第二型曲线积分的计算，其积分微元为带有方向的弧线（曲线）；而接下来的第二型曲面积分，也是主要学习它的计算方法，其积分微元是带有方向的曲面。两者有很多相通之处。

学习主要内容：

一、第一型曲面积分

二、有向曲面与第二型曲面积分的概念

三、第二型曲面积分的计算

知识点5：分面计算法

知识点5：统一坐标面计算

三、高斯公式

知识点6：高斯公式的内容与理解

知识点7：灵活使用高斯公式

空间曲线的切向量

空间曲面的法向量

一、第一型曲面积分

首先我们先来回顾一下在第九章学过的第一型曲面积分——数量函数在曲面上的积分。

第一型曲面积分的计算

对于可积型曲面S: z = z(x, y), $(x, y)\in D_{xy}$ , 曲面上任意一点处的法向量为

$\underset{n}{\rightarrow}$ = $(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y}, 1)$ ,

若投影到xOy平面，则求出对z轴的方向余弦 $\cos\gamma$ , $dS = \cos\gamma dxdy$ , 将z作为x、y的函数代入、并替换dS，得：

$\iint_{}^{}f(x, y, z)dS = \iint_{}^{}f(x, y, z(x, y))\frac{dxdy}{\cos\gamma } \\\ \iint_{}^{}f(x, y, z)dS = \iint_{}^{}f(x, y, z(x, y))\sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2+1}dxdy$

由于第一型曲面积分具有奇偶性、对称性两个重要性质，在解题计算中颇有运用。

例

画出图形后，观察到积分区域（一片球的表面），这个曲面关于x轴对称，因此若被积表达式中存在关于x的奇函数的项，则该项积分结果为零；对y同理。

对等性，就是对积分曲线而言，我们任意轮换x、y、z（比如将x换成y，将y换成z、将z换成x），积分曲线不变（我们说积分曲线具有轮换对称性），那么该积分满足对等性（即x、y、z地位相同，被积表达式中也可以任意轮换x、y、z），有 $\iint_{S}^{}x^2dS=\iint_{S}^{}y^2dS=\iint_{S}^{}z^2dS$ .

例

解：此处我们发现，给出的S曲面方程中任意轮换x、y、z后，方程不变，故具有对等性。

二、有向曲面与第二型曲面积分的概念有向曲面

回顾一条直线段，它的方向由其方向向量指定（此时我们称其为向量），曲面不存在方向向量，但是存在法向量，因此借助法向量来指定曲面的方向：

几个微分关系

与曲线积分中的类似，有

$dS\cos\alpha =dydz, dS\cos\beta =dzdx, dS\cos\gamma =dxdy$

第二型曲面积分的概念

第二型曲面积分与第一型曲面积分关系

由上可知：

$\iint_{\sum_{}^{}}^{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iint_{\sum }^{}(P\cos\alpha +Q\cos\beta + R\cos\gamma )dS$

第二型曲面积分的性质有向性

线性性

积分曲面可加性

三、第二型曲面积分的计算

计算第二型曲面积分的第一种方法，是根据第二型曲面积分和第一型曲面积分的关系，以及第一型曲面积分的计算公式推导而来的。

关于方向与符号问题

以投影到xOy平面为例，可以想象，当单值曲面取上侧，法向量与z轴正向的夹角才是小于 $\frac{\pi }{2}$ 的，转化后的二重积分取正号，反之取负号。

知识点5：分面计算法

由上看出，转化后的二重积分与z(x, y)的偏导数存在关系，但是有一项只需要乘以1即可，不用乘以偏导数，那就是dxdy这一项。那我们不妨做一些处理，只留下这一项，让转化后的二重积分形式更简洁。

启示我们的是，在计算一个普通的第二型曲面积分时，可以分别计算它投影到三个坐标面上的积分，即

$\iint_{\sum }^{}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\\\ \iint_{\sigma _{yz}}^{}P(x(y, z), y, z)dydz+\iint_{\sigma _{zx}}^{}Q(x, y(z,x), z)dzdx+\iint_{\sigma _{zy}}^{}R(x, y, z(x, y))dxdy$

操作步骤：

画出相应的图形，即对应的积分曲面大概长这么样子，方向如何；分面投影，得到单值函数，代入原二型积分的被积表达式，并且确定符号，即得到二重积分；根据上一步得出的坐标面上的投影，求出二重积分的积分区域

例

求 $\iint_{S}^{}ydzdx, S: x^2+y^2+z^2=a^2, x\geqslant 0,y\geqslant 0,z\geqslant 0$ , 方向为上侧.

第一步，

这个积分曲面是一个球面的一部分；

第二步，分面投影，此处仅需要投影到zOx平面计算，显然，投影是一个四分之一圆面的扇形，代入y的值，符号为正，即可计算二重积分；

第三步，将投影的扇形作为二重积分的积分区域，计算二重积分

例

观察到x+y+z=1，具有对等性，利用此性质解题

例

知识点5：统一坐标面计算

分面计算，一般情况下需要我们分三个坐标面投影再计算，也就是需要“投影、积分”操作三次，计算麻烦还不好说，很有可能我们连某个坐标面上的投影大致长啥样都不清楚，那么这样就有障碍了。

有没有什么更好的方法，可以绕开那些复杂的坐标面投影，只算我们熟悉的某一个坐标面投影上的二重积分呢？

让我们回到最开始推导第二型曲面积分的计算公式时：

也就是说，我们最开始就已经得到了统一到xOy坐标面内的计算公式，类似的三个坐标面上的统一投影计算公式如下，选取原则为哪个坐标面上的投影熟悉就用哪个。

例

解：首先也是作出大致图形，

其次，我们很难想象这部分曲面投影到zOx平面或者yOz平面是什么样子，但是根据柱面的特点，我们知道，这部分曲面投影到xOy平面一定是一个圆，那么就可以都投影到xOy平面内计算二重积分了。

注意，一旦将第二型曲面积分转化为二重积分之后，就不可以再随意化简积分不等式了，但是，却可以使用对称性（奇偶性）简化运算；

最后计算二重积分即可，用到了极坐标变换，注意要变换后还要乘以雅可比行列式（这里是r）

三、高斯公式知识点6：高斯公式的内容与理解

定理的使用前提：

由闭曲面围成空间闭区域；函数在该闭区域上具有连续的一阶偏导数高斯公式默认计算的是曲面外法方向的积分

对于立体表面而言，法线是有方向的，对应有向曲面的方向：

一般来说，由立体的外部指向内部，就是曲面的内法方向，

反过来，由立体的内部指向外部，就是曲面的外法方向。

高斯公式的使用与格林公式有相似之处，比如

最开始看看是否可以对被积表达式进行化简；求出三个偏导数之和，看看方不方便使用三重积分计算（格林公式则为二重积分）；检验满不满足公式的前提不满足则需要补面（格林公式则需要补线），补的面一般与坐标面平行（正如补的线一般与坐标轴垂直）

知识点7：灵活使用高斯公式

例

先小结一波计算第二型曲面积分的步骤:

作图，大致画出积分曲面的形状；对被积表达式进行尽可能的化简；计算三个偏导数之和，看看适不适合使用高斯公式；对于分面计算、统一计算，按照之前的路子计算二重积分即可；对于高斯公式，首先检验其使用条件；对于不满足条件的，补面；转化为三重积分，注意调整符号；通常用分面计算方法计算补上的面的二型积分，作差即可；

例