我们在势能和能量守恒中研究了引力势能，其值保持不\(g\)变。 我们现在开发出一种可以在距离上起作用的表达式，因此 g 不是恒定的。 这对于正确计算将卫星送入轨道或将其送入太空任务所需的能量是必要的。

我们之前定义了工作和潜在能量。 这些定义的用处在于我们可以轻松地使用节能来解决许多问题。 势能对于随位置变化的力特别有用，就像引力在很远的距离上一样。 在《势能与能量守恒》中，我们证明了地球表面附近引力势能的变化是

\[ \Delta U = mg(y_2− y_1) \label{simple}\]

如果在 y 1 和 y 2 之间\(g\)没有显著变化，则效果很好。 我们回到功和势能的定义，得出一个在更远距离内正确的表达式。 回想一下，功率 (W) 是力和距离之间点积的积分。 本质上，它是沿位移的力的分量乘以该位移的乘积。 我们\(\Delta u\)将其定义为与潜在能量相关的力所做工作的负面影响。 为了清楚起见，我们推导出了一个表达式，用于将质量 m 从距离 r 1 从地球中心移动到距离 r 2。 但是，结果可以很容易地概括为任意两个对象将其分离从一个值更改为另一个值。

以图为例\(\PageIndex{1}\)，其中我们从距地球中心的距离 r 1 取出 m 到距中心 r 2 的距离。 重力是一种保守力（其大小和方向仅是位置函数），因此我们可以选择任何我们想要的路径，计算功率的结果是相同的。 我们采用所示的路径，因为它极大地简化了集成。 我们首先从距离 r 1 向外径向移动到距离 r 2，然后沿着圆的弧线移动，直到到达最终位置。 在径向部分\(\vec{F}\)，与我们沿 d 行进的方向相反\(\vec{r}\)，所以

\[E = K_1 + U_1 = K_2 + U_2\]

沿着弧线，垂直\(\vec{F}\)于 d\(\vec{r}\)，所以\(\vec{F}\; \cdotp d \vec{r}\) = 0。 当我们沿着弧线移动时，没有做任何工作。 使用引力的表达式并记下路径两段的\(\vec{F}\; \cdotp d \vec{r}\)值，我们得到

\[ \begin{align} \Delta U &= - \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F}\; \cdotp d \vec{r} \\[4pt] &= GM_{E} m \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{r^{2}} \\[4pt] &= GM_{E} m \left(\dfrac{1}{r_{1}} - \dfrac{1}{r_{2}}\right) \ldotp \label{eq13.3} \end{align} \]

因为\(\Delta U = U_2 − U_1\)我们可以用一个简单的表达式来表示\(U\)：

\[U = - \frac{GM_{E} m}{r} \ldotp \label{13.4}\]

请注意这个定义中的两个重要项目。 首先，\(U → 0\)如\(r → \infty\)。 当两个质量相距无限远时，势能为零。 只有区别才\(U\)是重要的，所以选择 f\(U = 0\) or 只不过\(r = \infty\)是方便而已。 （回想一下，在之前的重力问题中，你可以自由地进入建筑物的顶部或底部，或者任何地方。）\(U = 0\) 其次，请注意，\(U\)随着群众越来越近，这种情况变得越来越消极。 这与你在《势能与节能》中学到的关于潜在能量的知识是一致的。 当两个质量分开时，必须对重力进行正向工作，从而\(U\)增加重力（减少负值）。 所有质量在重力的影响下自然会聚在一起，从较高的势能下降到较低的势能。

将9000公斤的联盟号飞行器从地球表面提升到距离地表400公里的国际空间站的高度需要多少能量？

策略

使用方程\ ref {eq13.3} 找出有效载荷势能的变化。 必须提供足够的功率或能量才能提升有效载荷。

注意这样一个事实，即我们从地球表面开始，终点在离地表 400 千米处，变化\(U\)是

\[ \begin {align*} \Delta U &= U_{orbit} - U_{Earth} \\[4pt] &= - \dfrac{GM_{E} m}{R_{E} + 400\; km} - \left(- \dfrac{GM_{E} m}{R_{E}}\right) \ldotp \end{align*}\]

我们插入值

然后将 400 千米转换为 4.00 x 10 5 米。我们发现\(\Delta U = 3.32 \times 10^{10} J\)。 正如我们预期的那样，它是积极的，表明潜在能量有所增加。

意义

从角度来看，假设2013年美国家庭的平均能源使用量为每月909千瓦时。 那就是能量

\[909\; kWh \times 1000\; W/kW \times 3600\; s/h = 3.27 \times 10^{9}\; J\; per\; month \ldotp \nonumber\]

因此，我们的结果是能源消耗相当于 10 个月。 但是，这只是将有效载荷提升400公里所需的能量。 如果我们想让联盟号进入轨道以便它能够与国际空间站会合，而不仅仅是掉回地球，它需要大量的动能。 正如我们在下一节中看到的那样，动能大约是\(\Delta\) U的五倍。此外，提升推进系统本身消耗的能量要多得多。 太空旅行并不便宜。

为什么不改用方程\ ref {simple} 中更简单的表达式呢？ 错误会有多严重？ （距离地球 400 千米\(g\)处的值为 8.67 m/s 2。）

在《潜在能量与节能》中，我们描述了如何将能量守恒应用于具有保守力的系统。 我们能够解决许多问题，尤其是那些涉及重力的问题，更简单地说是使用节能。 这些原则和解决问题的策略在这里同样适用。 唯一的改变是将势能的新表达式纳入能量守恒方程中，

\[E_{tot} = K_1 + U_1 = K_2 + U_2.\]

\[\frac{1}{2} mv_{1}^{2} - \frac{GMm}{r_{1}} = \frac{1}{2} mv_{2}^{2} - \frac{GMm}{r_{2}} \label{13.5}\]

请注意，我们使用 M 而不是 M E 来提醒我们，我们不仅限于涉及地球的问题。 但是，我们仍然假设 m