第三章 |
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文章目录
3.1 非线性系统和平衡点
非线性系统
自治与非自治系统
平衡点
常规运动
3.2 稳定性的概念
稳定性与非稳定性
渐进稳定性和指数稳定性
局部和全局稳定性
3.3 线性化和局部稳定性
3.4 Lyapunov直接法
正定函数和Lyapunov函数
平衡点理论
全局稳定性的Lyapunov理论
不变集理论
局部不变集理论
全局不变集理论
3.5 基于Lyapunov直接法的系统分析
LTI系统的Lyapunov分析
克拉索夫斯基方法(Krasovskii' method)
性能分析
3.6 基于Lyapunov直接法的控制设计
现如今,Lpapunov线性化方法已经成为线性控制中的代表性理论判据;并且,Lyapunov直接法已经成为非线性系统分析和设计中最为重要的方法。
3.1 非线性系统和平衡点
非线性系统
非线性系统可以用如下微分方程的形式来表示: x ˙ = f ( x , t ) \dot{x} = f(x,t) x˙=f(x,t) 其中x和f都是(nx1)的向量,n叫做系统的阶数。 自治与非自治系统根据系统矩阵A是否是时间t的函数,线性系统可以分为时变和时不变的。 但是在非线性系统中,这个形容词变成了自治和非自治。 如果一个非线性系统,其状态方程中不含有时间变量t,那么这个系统是自治的 也就是具有如下状态方程: x ˙ = f ( x ) \dot{x} = f(x) x˙=f(x) 注意:对于控制系统,上面的定义都是针对闭环系统而言的。而一个控制系统一般都是包括系统和控制器两个部分。因此,一个系统的非自治特性可能由两个方面导致:系统中的时变或者控制器中的时变。 也就是说,一个时不变系统,如果他的控制器取决于时间,那么他们组成的那个闭环系统就是非自治的。 自治与非自治系统的根本区别在于:自治系统的状态轨迹是不依赖于初始时刻的。而非自治系统不是这样。 平衡点一旦系统状态到达平衡点,那么该系统将一直保持在平衡点。 数学上来说,常向量X*满足: f ( x ∗ ) = 0 f(x^*) = 0 f(x∗)=0 常规运动实际系统中,可能更加关心系统运动的稳定性,而不是仅仅在平衡点附近的稳定性。也就是系统在扰动之后能否回复到原来的运动轨迹。为了简化分析,这种问题也可以转化成平衡点附近的稳定性问题。 比如一个系统在初始条件x(0)=x0下的运动轨迹是x*(t),当给初始条件增加了一个扰动,初始条件变成了x(0)=x0+nx0,那么此时的运动轨迹为x(t); 所以误差e(t): e ( t ) = x ( t ) − x ∗ ( t ) e(t) = x(t)-x^*(t) e(t)=x(t)−x∗(t) 此时,e(t)就满足了如下的非自治微分方程: e ˙ = f ( x ∗ + e , t ) − f ( x ∗ , t ) = g ( e , t ) \dot{e} = f(x^*+e,t)-f(x^*,t) = g(e,t) e˙=f(x∗+e,t)−f(x∗,t)=g(e,t) 可以通过分析这个扰动方程的稳定性(并且该系统的平衡点位于原点),来等价的判断原系统的稳定性。 3.2 稳定性的概念一些简化的记号: 球形区域内部 B R ⇒ ∥ x ∥ < R B_{R} \quad \Rightarrow \quad \| x \| < R BR⇒∥x∥ 0 , ∃ |
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