已有 22891 次阅读 2014-10-31 08:06 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦| 类空, 闵氏时空, 世界线, 类光, 类时

13. 四维时空

在科学史上，恐怕没有哪一个理论，像相对论这样引发了这么多的“佯谬”。除了双生子佯谬之外，还有滑梯佯谬、贝尔的飞船佯谬、转盘佯谬等等，以及它们的许许多多变种。这些佯谬的产生，根本原因是出于对同时性、时钟变慢、长度收缩、相对性原理、不同参考系的观察者、统一时空等等概念的思考和质疑。时间和空间到底是什么？正如公元四世纪哲学家圣・奥古斯丁对“时间”概念的名言：“Ifno one asks me, I know what it is. If I wish to explain it to him who asks, Ido not know.”我把它翻译成如下两句：“无人问时我知晓，欲求答案却茫然。”相对论是否部分地回答了这个问题？尽管众口难调，见仁见智，但相对论起码为我们提供了一种科学的思路和方法，使我们能从物理数学的理论上较为详细地诠释这些概念，何况还有上百年大量实验结果及天文观测数据的验证和支持呢。修正尚可，否定不易，起码不是诋毁谩骂之辈能做到的。

像双生子佯谬一样，尽管佯谬本身往往涉及到加速度参考系，但分析和理解这些佯谬并不一定需要广义相对论，许多相关的问题也并非一定要使用弯曲时空来解释。况且，正如我们在介绍黎曼几何时提到的，黎曼流形的每一个局部看起来都是一个欧氏空间。那么，对广义相对论研究的弯曲时空而言，它的每一个局部看起来便都是一个闵可夫斯基空间。闵可夫斯基4维时空的性质对广义相对论至关重要，是理解弯曲时空、分析黑洞等奇异现象的基础。因此，我们有必要在介绍爱因斯坦的引力场方程之前，首先多了解一些闵氏时空。

闵可夫斯基时空是欧氏空间的推广，仍然是平坦的。闵氏空间与欧式空间的区别，是在于度规张量的正定性。在黎曼流形上局部欧氏空间中定义的度规张量场gij，是对称正定的。如果将时间维加进去之后，度规张量便不能满足“正定”的条件了。将非正定的度规张量场包括在内的话，黎曼流形的概念被扩展为“伪黎曼流形”。比较幸运的是，之前我们所介绍的列维-奇维塔联络及相关的平行移动、测地线、曲率张量等等概念，都可以相应地推广到伪黎曼流形的情形。

度规张量是一个二阶张量，可以被理解为我们更为熟悉的方形“矩阵”。在矩阵中也有“对称正定”的概念。所谓对称矩阵，是指行和列对换后仍然是原来矩阵的那种矩阵。度规张量的对称性，是由它的定义决定的：

ds2 = gijdxidxj

实际上，任何矩阵都可以分解成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。根据以上度规的定义可知，gij的反对称部分对ds2的贡献为0，所以，度规张量可以被认为是一个对称矩阵。

矩阵为“正定”的意思可以理解为这个矩阵的所有特征值都是“正”的。欧氏空间度规的正定性意味着实际空间中的距离（弧长）的平方是一个正实数ds2= dx2 + dy2 +dz2。因而，欧氏空间的度规是一个对称正定的d函数，

闵可夫斯基时空的度规仍然是对称的，但却不是正定的：dt2= dt2 - dx2 - dy2 - dz2，其度规记为h函数。上式中的t是时间，x、y、z是3个空间维坐标，而dt取代了弧长ds，被称为固有时。

细心的读者可能会问：时间间隔和空间距离的量纲是不一样的，怎么把它们的平方加减到一块儿去了呢？这儿也是使用了一个约定俗成的原则：将光速定义成了1。也就是说，四维时空的度规本来应该表示成如下形式：c2dt2 = c2dt2 -dx2 - dy2 - dz2，c=1的原则使公式看起来简洁明了，但我们务必随时记住这点。

比较欧氏空间和闵氏空间，将它们的度规d函数和h函数写成矩阵形式：

公式（2-13-2）中，第一维的本征值1对应于时间，其它本征值为-1的3个维度对应于3维空间。

时间和空间统一在4维时空中，是为了数学上的方便。爱因斯坦的狭义相对论揭示了时间空间的相对性及它们之间通过洛伦茨变换的互相关联。然而，时间和空间毕竟是不同的物理概念，时间用时钟来度量，空间用尺子来度量，将它们在4维时空中分别对应于本质不同的实数和虚数，这也反映了“时钟”和“米尺”不能互变的物理事实。

图2-13-1a的4维时空图实际上只画了3维，包括1个竖直方向的时间维和2个水平空间维。时间轴往上的方向表示未来，向下便代表过去。图中的圆锥被称为光锥。以时空中的一点为锥顶的光锥将这个点附近的时空分成类时、类光、类空三个部分。

四维时空中的一个点，有时间有地点，按照通常的意义把它叫做一个“事件”。例如，图2-13-1b中的A点，表示粒子初始时刻t1的空间坐标为(x1,y1)这个“事件”，后来，在时刻t2，粒子运动到了空间位置(x2,y2)，即粒子最后在时空中的位置，这个“事件”用点B(t2,x2,y2)来表示。图中从A到B的曲线，叫做粒子的“世界线”。

图2-13-1：四维时空和世界线

世界线，用以描述一个点粒子在时空中的运动轨迹。如果考虑的对象不是一个点，比如说，一条线虫，它在时空中的轨迹就成为了“事件面”，而要描述像阿扁那样的2维生物随时间长大的过程，就是个“世界体”了，见图2-13-1b。

在上一节中解读双生子佯谬时，将双生子的两次相遇当作2维时空中的两个事件点，然后，便可分别计算两条世界线的“固有时”再加以比较而得到答案。2维闵氏时空中两个任意事件之间直线路径的距离可表示为：

t2 = t2- x2

这个表达式右边的数值为正、零、负，分别定义了两个事件之间的相对关系：是类时、类光、还是类空。如果两事件的关系是类时的，t代表的才是固有时。类时关系说明两个事件之间可以有因果关联。比如双生子中的“刘天出生”（事件O），和“刘天返回地球”（事件D）这两个事件，一定是O在前，D在后，刘天不可能先返回地球再出生，无论从哪个参考系观察，这个结论都不会改变，这是“类时”的特点和物理意义。如果两个事件的关系是“类光”，t2 =0，说明它们互相位于另一个的光锥上，只有速度最快的光才能将它们联系起来。那么，类空（t2 收藏 IP: 24.1.57.*| 热度|