（1）对任何正整数n，都有xn≠x0；

（2）对任何正整数n，f(xn)都要有定义；

（3）n→+∞时xn→x0.

要证明一个函数极限不存在有两种思路：

一是找到一个满足定理中三个条件的数列{xn}使得n→+∞时f(xn)的极限不存在；

二是找到两个满足定理中三个条件的数列{xn}和{x'n}使得n→+∞时f(xn)和f(x'n)不相等.

此外，若某个函数极限的值已经确定，则对应的数列极限也为此值，这里的理论依据也是海涅定理. 通过这个道理，我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算（这样方便求导、使用洛必达法则等），然后转化回数列极限.

七、因式分解

某一些多项式是可以因式分解从而约去致零因子的，进一步可以定出未定式的极限值.

八、化无穷大为无穷小

我们可以在一个分式的极限中，给分子和分母同时除以式中出现的最高阶的无穷大，从而使得其他的无穷大量都变成无穷小，易于算出极限.

九、有理化

若式中出现了无理式，可以使用有理化的方法进行恒等变形. 若分子中出现了无理式，可对分子进行有理化；若分母中出现了无理式，可对分母进行有理化；若均出现，可以分子分母同时有理化. 有理化的具体方法就是，对分子和分母同时乘以无理式的“共轭根式”. 如果两个根式的乘积不含根号，就称这两种形式互为共轭根式，比如：

十、求和求积恒等变限求极限

先求和或求积再求极限，或对式子进行其他简单的恒等变形，再求极限. 如果某个式子易于直接求和，或易于直接求积，或能通过简单的变形求出极限，不妨就先变形，以便于迅速求得极限.

十一、利用对数恒等式

N=elnN. 在计算幂指函数的极限时，经常需要我们通过这个恒等式化简，让幂指函数消失，极限就易于求出了.

十二、利用三角恒等变换公式

三角恒等变换公式在一些关于三角函数的题目中可以起到至关重要的化简作用. 这一点在不定积分的计算中体现得更加淋漓尽致.

十三、利用重要极限

有许多关于三角函数或1∞的题目都可以分别向着这两个极限的框架靠拢，根据这两条结论计算极限值.

十四、变量替换法

若式中多次出现某一复杂部分，可以令这个复杂的部分为一个新元，分析出这个新元的趋向，从而化简极限.

十五、等价无穷小量代换与等价无穷大量代换

我们必须记住常见的等价无穷小与等价无穷大的结论，如果在题目中见到了这些形式，一定要及时地运用结论进行等价无穷小或等价无穷大的代换. 具体可参照以往的专题（二）.

十六、洛必达法则与施笃兹定理

对于0/0型和∞/∞型的函数极限，我们可以使用洛必达法则，即分子分母分别求导，但一定要注意法则的使用条件. 对于其余类型的未定式，也可以转化为0/0型和∞/∞型的极限. 对于数列极限，由于其不能求导，所以必须先求对应的函数极限，再通过海涅定理转化成数列极限. 此外，对于0/0型和∞/∞型的数列极限，也可使用施笃兹定理解决，依然必须留意定理的使用条件. 具体可参考以往的专题（三）.

十七、利用夹逼准则

无论是具体型还是抽象型的极限，夹逼准则都是一个重要的思想，对数列或函数进行适当的放缩，合理地定出其上下界，进而确定极限值. 此外，压缩映射的思想也是十分重要的. 关于这部分内容，学友们可以阅读以往的专题（四）.

十八、单调有界准则

我们可以通过证明数列或函数的单调性和有界性，确定极限的存在性，再通过解方程等方法定出具体的极限值. 具体也可参照专题（四）.

十九、利用中值定理

中值定理可以分为微分中值定理和积分中值定理. 若极限中出现了函数值的增量，则可以考虑拉格朗日中值定理或柯西中值定理，若出现了定积分，则可以考虑积分中值定理（出现定积分的极限有时还可以直接计算积分或使用夹逼准则等方法，若是积分上限函数的分式形式，还可以使用洛必达法则，具体可回读以往的专题（四）和专题（五））.

二十、泰勒（麦克劳林）公式展开法

若函数较为复杂，但易于展开成泰勒级数，则可以使用这种方法求出极限. 本文附有相关例题进行练习和讲解，如16题与21题.

二十一、利用导数定义

导数本身就是通过极限来定义的，如果一个极限形式便于化成导数定义的形式，则可以转化成导数.

二十二、利用定积分或重积分定义

若一个极限便于凑成积分和的形式，则可以转化成积分的计算. 这部分内容可以参看以往的专题（五）和专题（六）.

二十三、利用级数收敛的必要条件

若一个级数收敛，则通项数列将收敛于0. 具体可参照以往的专题（一）.

二十四、利用级数求和的方法

若一个极限可以转化成某个级数的和，如幂级数或傅里叶级数，则可以用相关的级数求和方法进行计算.

二十五、利用柯西收敛准则

数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n>N时，有| xn -xm|