数控机床是典型的机、电、液一体化复杂系统, 相关是其故障普遍特征, 尤其是相关关系方向性的存在, 给系统可靠性建模带来困难。

目前, 相关故障研究方法很多。Ditlevsen[1]提出用二阶窄界方法进行故障模式相关性的可靠性区间估算, 但当故障模式样本较大时, 实现过程复杂且难以推广。Parkinson[2]基于零件间失效相关性推导出串联组件可靠性的上下界, 计算出任意两子部件的联合可靠性。Zhao等[3]给出同时适用于串联和并联系统的矩近似方法可靠度求解, 该点估计方法不需要进行蒙特卡洛仿真就可以对系统初始时刻的性能函数进行评价。Feng[4]通过一阶、二阶和三阶联合概率来表达系统可靠性。Ang等[5]提出用一些特定故障模式代替系统所有故障模式或者对故障模式相关系数进行分类, 借助概率网络估算技术对故障相关系统可靠性进行计算。胡秀庄[6]引入相关性参数, 利用模系运算算子实现除串联系统以外其他失效相关系统的可靠性计算。在不可修系统失效相关分析中, 张庆功[7]对传统限制相关参数的哈马邱尔算子的缺陷进行改进, 用蒙特卡洛模型证明其合理性。赵靖等[8]提出基于故障相关性、考虑测试、运行环境的软件非齐次泊松过程(NHPP)模型。任震等[9]提出考虑相关故障的输电线路可靠性等效模型。当前, Copula函数被频繁应用在故障相关系统可靠性建模中[10], 该方法在参数估计中多采用极大似然估计, 在一定正则条件下, 它是渐近有效估计, 即渐近正态, 但该方法计算繁琐, 还有可能不收敛。

纵观国内外研究现状表明, 当前对相关故障问题的研究多基于可靠性结构模型或随机过程模型, 很少考虑故障传播方向, 即使考虑到这点, 如文献[5], 也因故障模式简化, 计算结果存在一定误差。

数控机床系统相关故障属于故障传播型, 即第二类相关故障。本文应用因果图明确系统组件间故障相关方向并建立组件可靠性模型, 以此模型为边缘分布, 引入Copula函数建立系统联合可靠度模型, 通过样本得到Kendall秩相关系数来进行参数估计, 为相关故障条件下系统可靠性分析提供一种新方法。最后以加工中心为例, 将该方法与传统组件可靠性串联模型、不考虑故障相关方向性的Copula函数模型进行对比, 验证了模型的合理性和有效性。

相关故障传递中同时存在着影响组件和被影响组件, 两类组件统称为相关组件。考虑到故障传递中相关组件数量和故障作用形式等问题, 以圆圈表示组件, 有向线段表示故障传递方向, 据此图1归纳总结了5种相关故障关系[11]。其中, 前4种是最基本的相关故障关系, 可以组合成任意复杂相关关系, 图1(e)为一种多组件的复杂相关关系。

图1中, (a)、(c)、(d)、(e)的组件 i只与有向线段的起点相连, 表示只影响其他组件, 该组件定义为相关故障的起点; 反之, (a)、(c)、(d)、(e)中的组件 j, 定义为相关故障的终点; (e)中的组件 k, (b)中的组件 i、 j既是影响组件又是被影响组件, 定义为相关故障的中间点。

如果相关故障的起点为组件 i, 组件 i即为故障部位, 故障时间即为组件 i的故障时间。因此, 进行组件可靠性建模前除了要进行传统故障分析, 还应进行相关故障方向性分析, 确定故障起点, 进而确定组件故障时间。

目前多数产品都采用定时截尾可靠性试验, 即试验到某一规定时间即停止试验, 但考虑到各试验样本的试验开始时间可能不一致, 因此试验数据会出现随机逐次截尾[12]的特点。同时考虑其他组件故障产生截尾数据带来的时间相关影响, 因此此类试验数据又具备多重截尾的特性。

参考文献[12], 用平均秩次代替原秩次, 再利用中位秩公式计算这种多重截尾数据的经验分布函数 F(ti)。

选择工程中常用的威布尔分布作为假设模型, 采用最小二乘法进行模型参数估计, 采用 D检验法进行假设检验。

以组件可靠性模型为边缘分布, 引入Cumbel Copula连接函数, 建立系统联合可靠度函数模型, 并进行参数估计和分布拟合检验。

针对图1中类型(e), i, k均影响 j, 先建立组件 i, k的联合可靠度函数 Ri→k, 然后以 Ri→k与 Rj为边缘分布, 建立系统联合可靠度函数 R(i→k)→j。

假设数控机床系统各组件的可靠性函数分别为 R1(t)、R2(t)、…、Rn(t), 则系统联合可靠性函数为:

C(R1(t)、R2(t)、…、Rn(t))=exp--lnR1(t)θ+-lnR2(t)θ+…+-lnRn(t)θ1/θ=exp-∑i=1n(-lnRi(t))θ1/θ(1)

式中: θ∈1, +∞]。

参考文献[13]定理1, 设 X和 Y是随机变量, 其Copula是生成元为 φ(t)的Archimedean Copula, 则 X和 Y的Kendall秩相关系数 τ为:

τ=1+4∫01φ(t)/φ'(t)dt(2)

式中: φ(t)为Copula函数的生成函数, 对于Cumbel Copula函数而言, 其表达式为: φ(t)=(-lnt)θ, θ∈1, +∞, 从而可计算出: τ=1-1/θ, θ∈1, +∞。

考虑Cumbel Copula函数的对称性, Cumbel Copula函数是可交换的, 可用样本和Cumbel Copula函数是可交换的这一信息去估计总体的Kendall秩相关系数 τ', 其表达式为:

式中: τ'是Kendall秩相关系数τ 的无偏估计; sign(x)为符号函数, 其表达式为:

signx=1, x> 00, x=0-1, x0(4)

综上可得到Copula函数参数估计的表达式:

θ=11-τ=11-τ', θ∈[1, +∞)(5)

参考文献[14], 对6台某型号加工中心进行随机逐次截尾试验, 对所发生的故障数据进行记录分析, 据此得到加工中心组件故障数据表(见表1), 表中“ * ” 表示相关故障数据。

由表1的故障数据, 通过故障因果关系分析得3个组件故障相关关系, 如图2所示。

参考文献[12], 得到电气系统、辅助系统、机械系统三个组件的可靠性模型分别为:

RD=exp-t810.5450.597RF=exp-t462.7761.688RJ=exp-t1679.7930.638

根据图2可知, 电气系统、辅助系统两组件均影响机械系统。所以, 先引入Copula连接函数, 建立电气系统、辅助系统两组件的部分系统联合可靠度函数模型 RD-F; 再以 RD-F、RJ为边缘分布, 引入Copula连接函数, 建立系统联合可靠度函数模型 RSYS_X。

由三组件可靠度函数可知:

RD-F=RD×RF=exp-t810.5450.597+t462.7761.688(6)

RSYS_X=C(RD-F(t), RJ(t))=exp-(-lnRD-F(t))θ+(-lnRJ(t))θ1/θ(7)

将三组件的故障数据及相应可靠性函数带入式(6)(7), 可以计算出式(7)中参数值: θ=2.284, 则:

RSYS_X=exp-t810.5450.597+t462.7761.6882.284+t1679.7931.4570.438

若不考虑加工中心机械系统、电气系统和辅助系统之间的故障影响方向性, 直接引入Copula函数建立整个加工中心系统可靠性模型:

RSYS_Y=CRJ(t), RD(t), RF(t)=exp--lnRJ(t)θ^+-lnRD(t)θ^+-lnRF(t)θ^1/θ^(8)

将联合可靠性函数与故障间隔时间结合, 利用Matlab进行编程运算, 调用MLE似然函数, 可得Copula函数的参数 θ^=3.788, 则:

RSYS_Y=exp-t810.5452.261+t462.7766.394+t1679.7932.4170.264

基于故障独立假设下系统可靠度函数为:

RSYS_D=RJ×RD×RF=exp-t1679.7930.638×exp-t810.5450.597×exp-t462.7761.688(9)

通过拟合性检验, 由于 DnDn, α, 所以接受原假设, 可靠性模型符合假设分布。

以故障时间为横坐标, 分别以组件故障独立RSYS_D 、故障相关假设下系统可靠度函数 RSYS_X、RSYS_Y为纵坐标, 绘制如图3所示曲线。

由图3和表2可以发现, 考虑组件相关故障影响方向性的联合可靠度模型 RSYS_X较串联模型可靠度 RSYS_D下降缓慢。同时若不考虑组件影响方向, 其联合可靠度模型 RSYS_Y会远大于以上两种可靠度模型, 因为 RSYS_Y对组件的故障影响关系方向缺乏确切地反映, 与实际相比其可靠度值明显偏大。由此可知, 考虑组件故障影响关系方向的联合可靠度模型 RSYS_X较其余两种可靠度模型更合理、更符合实际。

(1)针对试验数据是多重截尾数据与故障数据并存的组件可靠性建模问题, 首先引入平均秩次法对故障秩次予以修正, 既考虑试验截尾, 又考虑组件故障截尾; 再利用中位秩公式计算组件的经验分布函数。该方法具有很强的理论支撑, 且计算过程简洁, 结果精确度也相对较高。

(2)采用Copula连接函数构建整机模型, 来描述组件之间的故障相关性, 最终得到三类系统联合可靠度模型并进行对比分析, 考虑组件相关故障影响方向性的Copula联合可靠度模型较基于组件故障独立假设下串联模型可靠度下降的缓慢, 较不考虑组件影响方向的Copula联合可靠度模型更加平缓, 即模型更加合理、更符合工程实际。

The authors have declared that no competing interests exist.