【算法思想】数学归纳法在算法题中的应用(含例题举例) |
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【算法思想】数学归纳法在算法题中的应用(含例题举例)
前言数学归纳法应用举例1. 前n项和
2. 区域计数3. 着色问题4. 金字塔求和5. 简单不等式6. 欧拉公式7. 有路可达8. 格雷码9. 无重边的路
常见错误总结
注:本博客仅做本人学习总结使用,为节省时间较多的参考与引用了其他博文,仅做了少数补充与笔记。 参考博客:https://blog.csdn.net/qq_39747794/article/details/88846012 前言学算法,不得不提的就是数学归纳法。许多算法都会用到归纳假设的思想,其追溯回去便是数学归纳法。 数学归纳法最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步: 证明当n = 1时命题成立。证明如果在n = k时命题成立,那么可以推导出在n = k+1时命题也成立。(k代表任意自然数)这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以: 证明第一张骨牌会倒。证明只要任意一张骨牌倒了,那么其下一张骨牌也会因为前面的骨牌倒而跟着倒。那么便可以下结论:所有的骨牌都会倒下。 应用举例 1. 前n项和证明:S(n) = 1 + 2 + 3 …. + n 前n项和为n(n + 1) / 2 n = 1, S(1) = 1 假设n时命题成立 N+ 1时, S(n + 1) = S(n) + n + 1 = n(n + 1)/2 + n + 1 = (n + 1)(n + 2)/ 2 成立 2. 区域计数问n条居一般位置的直线能将平面分成多少个区域 定义:一般位置, 任意两线不平行,任意三线不共点。 现在草稿纸上看看简单的情况,看看有没有规律。 直线 – 区域 1 – 2 2 – 4 3 – 7 4 – 11 找规律 第n条直线能比n-1条直线的区域多n个 证明: 在平面内n- 1条居一般位置的直线添加一条直线会增加n个区域 n |
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