一致连续是函数的一个重要性质。与注重于函数在“一点”情况的连续性刻画不同，一致连续是对函数在一个区间性质的刻画。

一致连续的定义如下：

设 f ( x ) 在区间 X 上有定义。如果 ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 , s . t . ∀ x 1 , x 2 ∈ X , 只要 ∣ x 1 − x 2 ∣ < δ , 都有 ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ < ϵ , 就称 f ( x ) 在 X 上一致连续。 设f(x)在区间X上有定义。如果\forall \epsilon>0,\exist \delta>0,s.t.\\\forall x_1,x_2\in X,\\只要|x_1-x_2|0,s.t.∀x1​,x2​∈X,只要∣x1​−x2​∣ 0 , s . t . 对任意闭子区间 I ⊂ X , 只要 l ( I ) < δ , 都有 ω f ( I ) < ϵ , l ( I ) 表示区间长度 设f(x)在区间X上有定义，则f(x)在X上一致连续\iff \\\forall \epsilon>0,\exist \delta >0,s.t.\\对任意闭子区间I\sub X,只要l(I)0,s.t.对任意闭子区间I⊂X,只要l(I)xn2​}⊂I,只要xn1​−xn2​→0,n→+∞就有f(xn1​)−f(xn2​)→0(n→∞).

例： 若 f ( x ) 在 [ a , c ] , [ c , b ] 上一致连续，那么 f ( x ) 在 [ a , b ] 上也一致连续 证明：只要考虑 x 1 ∈ [ a , c ] , x 2 ∈ [ c , b ] 的情况： ∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ ∣ f ( x 1 ) − f ( c ) ∣ + ∣ f ( x 2 ) − f ( c ) ∣ , 得证 若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续\\证明：只要考虑x_1\in[a,c],x_2\in[c,b]的情况：\\|f(x_1)-f(x_2)|\leq|f(x_1)-f(c)|+|f(x_2)-f(c)|,得证 若f(x)在[a,c],[c,b]上一致连续，那么f(x)在[a,b]上也一致连续证明：只要考虑x1​∈[a,c],x2​∈[c,b]的情况：∣f(x1​)−f(x2​)∣≤∣f(x1​)−f(c)∣+∣f(x2​)−f(c)∣,得证.

例： f ( x ) 在有穷开区间 ( a , b ) 上一致连续，那么 f ( x ) 在 ( a , b ) 上有界 f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界 f(x)在有穷开区间(a,b)上一致连续，那么f(x)在(a,b)上有界

不想打字X2

闭区间有限开覆盖定理：以及Cantor定理的互推（较繁琐）

定理： 设 f ( x ) 在有穷开区间 ( a , b ) 上连续， 则 f ( x ) 在 ( a , b ) 上一致连续的充要条件是 lim ⁡ x → a + f ( x ) 与 lim ⁡ x → b − f ( x ) 都存在 设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续，\\则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是\\\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)与\lim_{x\rightarrow b^-}f(x)都存在 设f(x)在有穷开区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是limx→a+​f(x)与limx→b−​f(x)都存在.

最后介绍一个非常有用的证函数在某区间一致连续的方法：