如何理解数列极限的定义？

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如何理解数列极限的定义？

2024-07-03 09:10:48| 来源: 网络整理| 查看: 265

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内容选自马同学图解数学系列课程，欢迎加入学习：

如何理解数列极限的定义，我们从最简单的直觉说起

1 直觉

简单的说，若数列无限地趋向于某一实数，则该确定的实数称为此数列的极限。

比如这里，数列 a_n 的极限就为

$\lim_{n\to\infty}a_n=L\\$

如何将这个想法严格化呢，下面我们来看个例子

2 例子

设

$a_n=\frac{(-1)^n}{n}\\$

根据这个通项，我们可以很容易计算出数列的每一项

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline n&1&2&3&4&\cdots\\\hline a_n&-1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{3}&\frac{1}{4}&\cdots\\\hline\end{array}\\$

下面以为横坐标， a_n 为纵坐标建立坐标系,并将数组里的项表示在坐标系中

从图像上我们可以看到，随着n增大数列在不断的靠近横着的那条坐标轴,可以猜测，数列的极限为0

究竟是不是呢？我们来听听这两个同学的讨论

2.1 讨论

A:从图像上看，随着增大， a_n 在不断靠近 ,可以预见，最终 a_n 会无限的接近 ,由此可以断定，数列的极限为

B:无限接近？接近到0.6可以吗

A:当然可以，我们以0为中心，2倍0.6为高，做出一个绿色的矩形区域,显然，落在这个绿色区域内的点与0的距离都是小于0.6的。这里可以看到，除了第一个点，其他点都落在区域内，这说明，从第二个点开始，所有的点与0的距离都小于0.6

B:嗯，看来0.6是可以的，那0.3可以吗

A:当然也是可以的,我们只需要将高度缩小为2倍0.3，这样绿色区域内的点与零的距离就都是小于0.3的了。可以看到，此时虽然第二个点和第三个点落到了区域外，但从第四个点开始，其他的点仍然在区域内，说明，从第四个点开始，所有点与零的距离都是小于0.3的。

B:嗯，看来0.3也是可以的，那0.2，0.1都可以吗

A:可以的，无论你给出多小的距离，我都可以告诉你从哪一项开始能满足要求，也就是说数列与零的距离可以是任意小，其极限为0。

2.2 分析

在刚刚这段对话中，B这位同学在不断的质疑，而A这位同学在不断的求证。通过这不断的质疑与求证，我们最终确定了这个数列的极限为0。即:

$\lim_{n\to \infty}\frac{(-1)^n}{n}=0\\$

确定是能确定，但要精准表达还不容易，下面我们来看看数学家给出的定义

3 严格定义

设 $\{a_n\}$ 为一数列。如果存在实数 ，对于任意给定的正实数 $\epsilon$ （不论它多么小），总存在正整数 ，使得对所有的 时，有： $|a_n-L| \epsilon,\quad L\in\mathbb{R}$ 那么就称 是数列 $\{a_n\}$ 的极限，或者称数列 $\{a_n\}$ 收敛于 ，记作： $\lim_{n\to\infty}a_n=L\\$

该定义诘屈聱牙，确实是微积分学习中的第一只拦路虎，下面让我们来仔细分析。这个定义其实就说了两个意思：

猜测：根据数列 $\{a_n\}$ 的特点，猜测极限为某实数

验证：然后想办法去验证上述猜测的正确性

3.1 猜测

既然是定义数列的极限，当然首先要给出数列，将它们表示在坐标系中，就是这些蓝点