在经济学课程中，大部分概念往往会经历“数学含义-经济含义-统计含义”三次重新理解。我们总是在不同的地方见到同一个东西，但是却很少一口气把它通拉理解一遍，例如三个计算式。

本文将概括下“收敛”这个概念在三个环节的贯穿（虽然关联性似乎不强，但我还是想梳理一遍）

极限和收敛，一开始就是一回事儿。

主要参考同济版《高等数学》1，收敛是作为极限的一种描述状态引入：

数列的极限中（上册 21 页），数列 $x_n$ 收敛于 $a$ ，记为 $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n=a}$。

函数的极限中（上册 33 页），函数收敛，记为 $\small \lim_{n \rightarrow \infty}{f(x_n)}=\lim_{n \rightarrow x_0}{f(x)}$ 。

级数的极限中（下册 252 页），$\small s=u_1+u_2+u_3+…u_i+…$ 无穷级数收 $u_i$ 敛，意味着 $\small \lim_{n \rightarrow \infty}{s_n=s}$ 反之则为发散。 $$ 收敛分类 \begin{cases} 内容 \begin{cases} 绝对收敛\newline 条件收敛 \end{cases}\newline 形式\begin{cases} 逐点收敛\newline 一致收敛 \end{cases} \end{cases} $$ 其中，级数收敛又分为绝对收敛和条件收敛; 逐点收敛和一致收敛

绝对收敛： $\small \sum_{n=1}^{\infty}{|u_n|}$ 收敛，则称 $\small \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 绝对收敛。

条件收敛：$\small \sum_{n=1}^{\infty}{|u_n|}$ 不收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收敛，则称 $\small \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 条件收敛。

点点收敛： $\small \exists{0 收敛到一起

solow model其实就算在基础上加了个要素横轴

如何表示 $T$ 时刻和 $T+1$ 时刻呢？经济分析中通常使用泰勒展开近似。

以 solow 模型为例，$\dot{k}=sf(k)-(n+g+\delta)k$，所以动态分析上， $\dot{k}$ 为 $k$ 的函数，我们写作 $\dot{k}（k）$ 。

稳态点时，$k=k^*$，$\dot{k}=0$

在 $k=k^*$ 时，对 $\dot{k}（k）$ 作一阶泰勒展开近似

$$ \dot{k}\simeq[\frac{\partial\dot{k}(k)}{\partial k}|_{k=k^{*}}](k-k^{*})=-\lambda[k(t)-k^{*}] $$

$$ \begin{aligned} &\lambda\equiv-\frac{\partial\dot{k}(k)}{\partial k}\Bigg|_{k=k^{*}}\newline & =-\left[sf^{\prime}(k^{*})-(n+g+\delta)\right] \newline &=(n+g+\delta)-sf^{\prime}(k^{*}) \newline &=(n+g+\delta)-\frac{(n+g+\delta)k^{*}f^{\prime}(k^{*})}{f(k^{*})} \newline &=[1-\alpha_{k}(k^{*})](n+g+\delta)\newline \end{aligned} $$

$\lambda$就是我们要找的收敛速度

（1）绝对趋同

Barro 和 Martin（1991）8在 Baumol（1986）9的基础上提出了绝对 $\beta$ 趋同的检验方程。

$$ \small \frac1T\left[\log(y_{i,t+T})-\log(y_{i,t})\right]=\alpha-\frac{(1-\mathrm{e}^{-\beta T})}T\log(y_{i,t})+\varepsilon_i $$ 其中 $i$ 表示 $i$ 个地区， t 表示期初，$ t+T $表示期末，$ T $表示观测时期长度，$ y_i $，$ t $表示地区$ i$在 $t$ 期的人均 GDP，$\beta$ 表示趋同速度。如果 $\beta>0$ ，则说明不同地区经济发展的差异会逐渐消除，最终达到同样的稳态。

最小二乘法回归统计图，数据是欧盟地区（图源：Barro和Martin（1991））

上面的公式是根据新古典经济增长模型推导而来（也就是 solow model）。

个人觉得国内关于收敛回归方差的描述清晰简洁不少。这里参考彭国华（2005）10的回归式子： $$ g=c+\beta{\ln y_0}+\varepsilon $$ $g$ 就是增长率， $c$ 是常数项，$y_0$ 是真实产出，$\varepsilon$ 是误差项。当 $\beta