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边缘检测是图像处理和计算机视觉中的基本问题，边缘检测的目的是标识数字图像中亮度变化明显的点。图像属性中的显著变化通常反映了属性的重要事件和变化。这些包括：深度上的不连续、表面方向不连续、物质属性变化和场景照明变化。 边缘检测是图像处理和计算机视觉中，尤其是特征提取中的一个研究领域。图像边缘检测大幅度地减少了数据量，并且剔除了可以认为不相关的信息，保留了图像重要的结构属性。有许多方法用于边缘检测，它们的绝大部分可以划分为两类：基于查找一类和基于零穿越的一类。基于查找的方法通过寻找图像一阶导数中的最大和最小值来检测边界，通常是将边界定位在梯度最大的方向。基于零穿越的方法通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界，通常是Laplacian过零点或者非线性差分表示的过零点。

人类视觉系统认识目标的过程分为两步:首先，把图像边缘与背景分离出来;然后，才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓。计算机视觉正是模仿人类视觉的这个过程。因此在检测物体边缘时，先对其轮廓点进行粗略检测，然后通过链接规则把原来检测到的轮廓点连接起来，同时也检测和连接遗漏的边界点及去除虚假的边界点。图像的边缘是图像的重要特征，是计算机视觉、模式识别等的基础，因此边缘检测是图象处理中一个重要的环节。然而，边缘检测又是图象处理中的一个难题，由于实际景物图像的边缘往往是各种类型的边缘及它们模糊化后结果的组合，且实际图像信号存在着噪声。噪声和边缘都属于高频信号，很难用频带做取舍。

这就需要边缘检测来进行解决的问题了。边缘检测的基本方法有很多：

一阶的有Roberts Cross算子，Prewitt算子，Sobel算子，Canny算子，Krisch算子，罗盘算子；

二阶的还有Marr-Hildreth，在梯度方向的二阶导数过零点。现在就来简单介绍一下各种算子的算法

Roberts算子

Roberts算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子，它有下式给出：

其中 分别为4领域的坐标，且是具有整数像素坐标的输人图像;其中的平方根运算使得该处理类似于人类视觉系统中发生的过程。

Roberts算子是2X2算子模板。图1所示的2个卷积核形成了Roberts算子。图象中的每一个点都用这2个核做卷积。

Sobel算子

Sobel算子是一种一阶微分算子，它利用像素邻近区域的梯度值来计算1个像素的梯度，然后根据一定的绝对值来取舍。它由下式给出:

Sobel算子是3*3算子模板。图2所示的2个卷积核dx 、 dy形成Sobel算子。一个核对通常的垂直边缘响应最大，而另一个核对水平边缘响应最大。2个卷积的最大值作为该点的输出值。运算结果是一幅边缘幅度图像。

Prewitt算子

Prewitt算子由下式给出：

Prewitt算子是3*3算子模板。图3所示的2个卷积核dx ,不要形成了Prewitt算子。与Sobel算子的方法一样，图像中的每个点都用这2个核进行卷积，取最大值作为输出值。Prewitt算子也产生一幅边缘幅度图像。

LOG滤波器又称Marr-Hildreth模板或算子

式中：G(x,y)是对图像进行处理时选用的平滑函数(Gaussian函数);x，y为整数坐标; σ为高斯分布的均方差。对平滑后的图像fs(fs=f(x,y)*G(x,y))做拉普拉斯变换，得：

即先对图象平滑，后拉氏变换求二阶微分，等效于把拉氏变化作用于平滑函数，得到1个兼有平滑和二阶微分作用的模板，再与原来的图像进行卷积。用Marr-Hildreth模板与图像进行卷积的优点在于，模板可以预先算出，实际计算可以只进行卷积。

LOG滤波器有以下特点:

(1)通过图象平滑，消除了一切尺度小于σ的图像强度变化;

(2)若用其它微分法，需要计算不同方向的微分，而它无方向性，因此可以节省计算量;

(3)它定位精度高，边缘连续性好，可以提取对比度较弱的边缘点。

LOG滤波器也有它的缺点:当边缘的宽度小于算子宽度时，由于过零点的斜坡融合将会丢失细节。

LOG滤波器有无限长的拖尾，若取得很大尺寸，将使得计算不堪重负。但随着:的增加，LOG滤波器幅值迅速下降，当r大于一定程度时，可以忽略模板的作用，这就为节省计算量创造了条件。实际计算时，常常取n*n大小的LOG滤波器，近似n=3σ。另外，LOG滤波器可以近似为两个指数函数之差，即DOG ( Difference Of twoGaussians functions):

当σ1/σ2=1.6时，DOG代替LOG减少了计算量。

Canny算子

Canny算子是是一阶算子。其方法的实质是用1个准高斯函数作平滑运算fs=f(x,y)*G(x,y),然后以带方向的一阶微分算子定位导数最大值。

     平滑后fs(x，y)的梯度可以使用2*2的一阶有限差分近似式:

P[i,j]≈(fs[i,j+1]-fs[i,j]+fs[i+1,j+1]-fs[i+1,j])/2

Q[i,j]≈(fs[i,j]-fs[i+1,j]+fs[i,j+1]-fs[i+1,j+1])/2

在这个2x2正方形内求有限差分的均值，便于在图像中的同一点计算二和y的偏导数梯度。幅值和方向角可用直角坐标到极坐标的坐标转化来计算:

M[i,j]反映了图象的边缘强度;反映了边缘的方向。使得M}i,j}取得局部最大值的方向角，就反映了边缘的方向。

Canny算子也可用高斯函数的梯度来近似，在理论上很接近4个指数函数的线性组合形成的最佳边缘算子。在实际工作应用中编程较为复杂且运算较慢。

几种算子的比较

Robert算子定位比较精确，但由于不包括平滑，所以对于噪声比较敏感；

Prewitt算子和Sobel算子都是一阶的微分算子，而前者是平均滤波，后者是加权平均滤波且检测的图像边缘可能大于2个像素。这两者对灰度渐变低噪声的图像有较好的检测效果，但是对于混合多复杂噪声的图像，处理效果就不理想了。；

LOG滤波器方法通过检测二阶导数过零点来判断边缘点。LOG滤波器中的a正比于低通滤波器的宽度，a越大，平滑作用越显著，去除噪声越好，但图像的细节也损失越大，边缘精度也就越低。所以在边缘定位精度和消除噪声级间存在着矛盾，应该根据具体问题对噪声水平和边缘点定位精度要求适当选取。

讨论和比较了几种常用的边缘检测算子。梯度算子计算简单,但精度不高,只能检测出图像大致的轮廓,而对于比较细的边缘可能会忽略。Prewitt 和Sobel 算子比Roberts 效果要好一些。LOG 滤波器和Canny 算子的检测效果优于梯度算子,能够检测出图像较细的边缘部分。不同的系统,针对不同的环境条件和要求,选择合适的算子来对图像进行边缘检测。

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不同图像灰度不同，边界处一般会有明显的边缘，利用此特征可以分割图像。需要说明的是：边缘和物体间的边界并不等同，边缘指的是图像中像素的值有突变的地方，而物体间的边界指的是现实场景中的存在于物体之间的边界。有可能有边缘的地方并非边界，也有可能边界的地方并无边缘，因为现实世界中的物体是三维的，而图像只具有二维信息，从三维到二维的投影成像不可避免的会丢失一部分信息；另外，成像过程中的光照和噪声也是不可避免的重要因素。正是因为这些原因，基于边缘的图像分割仍然是当前图像研究中的世界级难题，目前研究者正在试图在边缘提取中加入高层的语义信息。

在实际的图像分割中，往往只用到一阶和二阶导数，虽然，原理上，可以用更高阶的导数，但是，因为噪声的影响，在纯粹二阶的导数操作中就会出现对噪声的敏感现象，三阶以上的导数信息往往失去了应用价值。二阶导数还可以说明灰度突变的类型。在有些情况下，如灰度变化均匀的图像，只利用一阶导数可能找不到边界，此时二阶导数就能提供很有用的信息。二阶导数对噪声也比较敏感，解决的方法是先对图像进行平滑滤波，消除部分噪声，再进行边缘检测。不过，利用二阶导数信息的算法是基于过零检测的，因此得到的边缘点数比较少，有利于后继的处理和识别工作。

各种算子的存在就是对这种导数分割原理进行的实例化计算，是为了在计算过程中直接使用的一种计算单位；

Roberts算子：边缘定位准，但是对噪声敏感。适用于边缘明显且噪声较少的图像分割。Roberts边缘检测算子是一种利用局部差分算子寻找边缘的算子,Robert算子图像处理后结果边缘不是很平滑。经分析，由于Robert算子通常会在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，故采用上述算子检测的边缘图像常需做细化处理，边缘定位的精度不是很高。

Prewitt算子：对噪声有抑制作用，抑制噪声的原理是通过像素平均，但是像素平均相当于对图像的低通滤波，所以Prewitt算子对边缘的定位不如Roberts算子。

Sobel算子：Sobel算子和Prewitt算子都是加权平均，但是Sobel算子认为，邻域的像素对当前像素产生的影响不是等价的，所以距离不同的像素具有不同的权值，对算子结果产生的影响也不同。一般来说，距离越远，产生的影响越小。

Isotropic Sobel算子：加权平均算子，权值反比于邻点与中心点的距离，当沿不同方向检测边缘时梯度幅度一致，就是通常所说的各向同性。

在边沿检测中，常用的一种模板是Sobel 算子。Sobel 算子有两个，一个是检测水平边沿的；另一个是检测垂直平边沿的 。Sobel算子另一种形式是各向同性Sobel(Isotropic Sobel)算子，也有两个，一个是检测水平边沿的，另一个是检测垂直平边沿的 。各向同性Sobel算子和普通Sobel算子相比，它的位置加权系数更为准确，在检测不同方向的边沿时梯度的幅度一致。由于建筑物图像的特殊性，我们可以发现，处理该类型图像轮廓时，并不需要对梯度方向进行运算，所以程序并没有给出各向同性Sobel算子的处理方法。     由于Sobel算子是滤波算子的形式，用于提取边缘，可以利用快速卷积函数，简单有效，因此应用广泛。美中不足的是，Sobel算子并没有将图像的主体与背景严格地区分开来，换言之就是Sobel算子没有基于图像灰度进行处理，由于Sobel算子没有严格地模拟人的视觉生理特征，所以提取的图像轮廓有时并不能令人满意。  在观测一幅图像的时候，我们往往首先注意的是图像与背景不同的部分，正是这个部分将主体突出显示，基于该理论，我们可以给出阈值化轮廓提取算法，该算法已在数学上证明当像素点满足正态分布时所求解是最优的。

上面的算子是利用一阶导数的信息，属于梯度算子范畴。

Laplacian算子：这是二阶微分算子。其具有各向同性，即与坐标轴方向无关，坐标轴旋转后梯度结果不变。但是，其对噪声比较敏感，所以，图像一般先经过平滑处理，因为平滑处理也是用模板进行的，所以，通常的分割算法都是把Laplacian算子和平滑算子结合起来生成一个新的模板。

Laplacian算子一般不以其原始形式用于边缘检测，因为其作为一个二阶导数，Laplacian算子对噪声具有无法接受的敏感性；同时其幅值产生算边缘，这是复杂的分割不希望有的结果；最后Laplacian算子不能检测边缘的方向；所以Laplacian在分割中所起的作用包括：（1）利用它的零交叉性质进行边缘定位；（2）确定一个像素是在一条边缘暗的一面还是亮的一面；一般使用的是高斯型拉普拉斯算子（Laplacian of a Gaussian,LoG)，由于二阶导数是线性运算，利用LoG卷积一幅图像与首先使用高斯型平滑函数卷积改图像，然后计算所得结果的拉普拉斯是一样的。所以在LoG公式中使用高斯函数的目的就是对图像进行平滑处理，使用Laplacian算子的目的是提供一幅用零交叉确定边缘位置的图像；图像的平滑处理减少了噪声的影响并且它的主要作用还是抵消由Laplacian算子的二阶导数引起的逐渐增加的噪声影响。

几种常用的边缘检测算子主要有Roberts边缘检测算子，Sobel算子、Prewitt算子、Krisch边缘算子，高斯-拉普拉斯算子。

边缘大致可以分为两种，一种是阶跃状边缘，边缘两边像素的灰度值明显不同；另一种为屋顶状边缘，边缘处于灰度值由小到大再到小的变化转折点处。 边缘检测的主要工具是边缘检测模板。我们以一个一维模板为例来考察边缘检测模板是如何作用的。假设有一个模板 和一幅图象

可以看出，图象中左边暗，右边亮，中间存在着一条明显的边缘，是一个典型阶跃状边缘。使用模板 进行模板操作后，结果如下

可以看出，边缘检测后的图象在原图象暗亮边缘处的灰度值高很多。观察时，就能发现一条很明显的亮边，其他区域都很暗，这样就起到了边缘检测的作用。 模板的作用是将右邻点的灰度值减去左邻点的灰度值作为该点的灰度值。在灰度相近的区域内，这么做的结果使得该点的灰度值接近于0；而在边缘附近，灰度值有明显的跳变，这么做的结果使得该点的灰度值很大，这样就出现了上面的结果。这种模板就是一种边缘检测器，它在数学上的涵义是一种基于梯度的滤波器，习惯上又称边缘算子。我们知道，梯度是有方向的，和边缘的方向总是垂直的。模板是水平方向的，而上面那幅图象的边缘恰好是垂直方向的，使用模板就可以将它检测出来。如果图象的边缘是水平方向的，我们可以用梯度是垂直 方向的模板 检测它的边缘。如果图象的边缘是45。方向的，我们可以用模板 检测它的边缘。

常用的边缘检测模板有Laplacian算子、Roberts算子、Sobel算子、log（Laplacian-Gauss）算子、Kirsch算子和Prewitt算子等。

二.Roberts算子

如果我们沿如下图方向角度求其交叉方向的偏导数，则得到Roberts于1963年提出的交叉算子边缘检测方法。该方法最大优点是计算量小，速度快。但该方法由于是采用偶数模板，如下图所示，所求的(x,y)点处梯度幅度值，其实是图中交叉点处的值，从而导致在图像(x,y)点所求的梯度幅度值偏移了半个像素（见下图）。

Roberts算子的推导：

Sobel算子

Sobel算子也有两个，一个是检测水平边缘的模板 ，另一个是检测水平边缘的模板 。与Prewitt算子相比，Sobel算子对于象素位置的影响作了加权，因此效果更好。

sobel算子的另一种形式是各向同性Sobel算子，也有两个模板组成，一个是检测水平边缘的 ，另一个是检测垂直边缘的。各向同性Sobel算子和普通Sobel算子相比，位置加权系数更为准确，在检测不同方向的边缘时梯度的幅度一致。

Sobel算子的推导：

Prewitt算子

Prewitt算子由两部分组成，检测水平边缘的模板

 和检测垂直边缘的模板

prewitt算子一个方向求微分，一个方向求平均，所以对噪声相对不敏感。

laplacian算子

Laplacian算子定义为

它的差分形式为 表示成模板的形式就是 。Laplacian算子另外一种形式是，也经常使用。Laplace算子是一种各向同性算子，在只关心边缘的位置而不考虑其周围的象素灰度差值时比较合适。Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈，因此只适用于无噪声图象。存在噪声情况下，使用Laplacian算子检测边缘之前需要先进行低通滤波。