let  f ( x ) = arcsin ⁡ x f ′ = 1 1 − x 2 ⇒ f ′ ⋅ 1 − x 2 = 1 ⇒ f ′ ′ ⋅ ( 1 − x 2 ) − x f ′ = 0 （两边同时求导） ⇒ ( n 0 ) ( 1 − x 2 ) f ( n + 2 ) − ( n 1 ) 2 x f ( n + 1 ) − ( n 2 ) 2 f ( n ) = ( n 0 ) x f ( n + 1 ) + ( n 1 ) f ( n ) （利用莱布尼兹公式，两边 n 阶求导） \begin{aligned} \text{let}\ &f(x)=\arcsin{x} \\ &f' =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \Rightarrow &f' \cdot\sqrt{1-x^2} = 1 \\ \Rightarrow &f''\cdot(1-x^2)-xf'=0 \text{（两边同时求导）} \\ \Rightarrow &{n \choose 0}(1-x^2)f^{(n+2)} - {n \choose 1}2xf^{(n+1)} - {n \choose 2}2f^{(n)} = {n \choose 0}xf^{(n+1)} + {n \choose 1}f^{(n)} \text{（利用莱布尼兹公式，两边 n 阶求导）} \end{aligned} let ⇒⇒⇒​f(x)=arcsinxf′=1−x2 ​1​f′⋅1−x2 ​=1f′′⋅(1−x2)−xf′=0（两边同时求导）(0n​)(1−x2)f(n+2)−(1n​)2xf(n+1)−(2n​)2f(n)=(0n​)xf(n+1)+(1n​)f(n)（利用莱布尼兹公式，两边 n 阶求导）​ 因为 f ′ ( 0 ) = 1 , f ′ ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=1, f''(0)=0 f′(0)=1,f′′(0)=0，所以可以求出： f ( n ) ( 0 ) = { 0 n 为偶数 1 n = 1 ( ( 2 k − 1 ) ! ! ) 2 n = 2 k + 1 f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & n \text{为偶数}\\ 1 & n=1 \\ ((2k-1)!!)^2 & n=2k+1 \end{cases} f(n)(0)=⎩⎪⎨⎪⎧​01((2k−1)!!)2​n为偶数n=1n=2k+1​ 所以 arcsin ⁡ x = x + 1 3 ! x 3 + ( 3 ! ! ) 2 5 ! x 5 + ( 5 ! ! ) 2 7 ! x 7 + ⋯ + [ ( 2 k − 1 ) ! ! ] 2 ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 + o ( x 2 k + 2 ) \arcsin{x} = x + \frac{1}{3!}x^3 +\frac{(3!!)^2}{5!}x^5 + \frac{(5!!)^2}{7!}x^7 + \cdots + \frac{[(2k-1)!!]^2}{(2k+1)!}x^{2k+1} + o(x^{2k+2}) arcsinx=x+3!1​x3+5!(3!!)2​x5+7!(5!!)2​x7+⋯+(2k+1)![(2k−1)!!]2​x2k+1+o(x2k+2)

又因为拉格朗日余项趋于 0   ( n → ∞ ) 0\ (n\to\infty) 0 (n→∞) 在 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x∈[−1,1] 上成立。 所以：

arcsin ⁡ x = x + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k − 1 ) ! ! 2 ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 = x + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k k ) 1 4 k ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 \begin{aligned} &\arcsin{x} = x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(2k-1)!!^2}{(2k+1)!}x^{2k+1} \\ &= x+ \sum_{k=1}^{\infty} \binom{2k}{k}\frac{1}{4^k(2k+1)}x^{2k+1} \end{aligned} ​arcsinx=x+k=1∑∞​(2k+1)!(2k−1)!!2​x2k+1=x+k=1∑∞​(k2k​)4k(2k+1)1​x2k+1​