小明对小聪说：“你比我们准备得都要充分，下午抽签你就先抽吧！”

“这跟抽签先后有什么关系?”小聪不解地问。

“啊！怎么没关系! 先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”小明说道。

“这也不一定！”在一旁听他们争论的小花插了一句。

“怎么会不一定！”小明急忙辩解，“第一人抽的时候，无论如何做记号的签纸还在，假如这张纸被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。” 小明一边对小花说着，一边 目光频频朝小聪看，似乎在寻找支持者。

不料小花不甘示弱，说出了一番颇有分量的话：“我看后抽的人抽到的可能性更大。比如我们组有10个 人，做记号的签纸只有一张，因此第一个人抽到的可能性是 1/10。由于1/10的概率是很小的，所以第一个人一般是难以抽到的。但对第二个人来说，这时只剩下9张签纸，其中包含了一张做有记号的，因此他抽到这张签纸的可能性是1/9。这比第 一个人抽到的1/10可能性要大些。如果前9个人都没有抽到的话，那么最后一个人抽到有记号签纸就是必然的了，这时抽到的概率还等于1呢！是不是？”

图源：见水印

小明被小花一番有板有眼的话说得语塞，一时想不出什么更有力的论据，只是怀疑地反问： “你说的都是别人抽不到有记号的签纸，如果别人抽到了呢？”

这时，刚才一直在思考的小聪，说出另一种观点：“我看所有人抽到有记号的签纸的机会是一样的！”

“什么? 一样的?”小明和小花异口同声地惊呼！这的确有点使人难以置信。

小明满腹狐疑： “要知道第一个人抽时有10张签纸，而最后一个人抽时只有1张签纸，事实上他抽不抽都无所谓，因为实际已经决定了 的。他们抽到有记号签纸的机会能一样吗?”

“是的，我是这样认为的。”小聪不觉加重了语气。随即他问小明和小花：“全组有10个人，一个接一个地抽，抽到什么签纸假定大家暂时都不看，或者即使看了，也暂时不声张，那么每个人抽到有记号签纸的可能性有多大呢？”

“1/10！”两人齐声回答，似乎有点不以为然。

“现在大家再去看自己抽的是什么签纸，这时抽签顺序及抽到签纸的内容会受影响吗？”小聪又一个问题。

“当然没影响！”小明和小花又一次齐声回答。

“那这不是说他们抽到有记号签纸的可能性都是1/10吗？” 小聪胸有成竹。

“？！” 真是绝妙的解析！

小明和小花似乎为小聪的智慧所折服。虽说如此，他们在心里还是有点嘀咕：“抽签的人都是一抽到就看签纸的呀！”他们老感到这个前提有点蹊跷。但小聪本人也无法说出 一个所以然，于是他们决定第二天向老师请教这个关于抽签顺序的“谜”。

老师没有直接回答“谜底”，而是拿了一些围棋棋子，放入小布袋中，问大家：“假定袋里有m 个白子和n 个黑子，那么第一 次摸到白子的可能性有多少呢?”

图源：见水印

“m/(m+n)。”大家回答。

“摸到黑子呢?”

“n/(m+n)。”

“对！”

老师肯定说，“现在假定这个已经摸出的棋子不放回去，那么袋里一共还有几个棋子?”

“有m+n-1个。”三人异口同声回答。

“这时大家从袋子里抽出一个白子的可能性是多少呢？”老师继续问。

三人全都陷入了沉思。小聪反应快些，他说：“老师，我们还不知道第一次抽到的是白子还是黑子呢?”

“很好！”老师赞许地点点头，“第一次可能抽到白子，也可能抽到黑子。”

“那么两种情况都要考虑，对吗？”三人似有所悟。

“对极了，现在请你们拿出一张纸算一算吧！”

于是3个朋友围在小桌旁，边讨论边计算。跃然纸上的算式,清晰地描绘了以下的思路：

第一次如果摸到白子，那么袋子里剩下m-1个白子和n 个黑子。此时去摸，又得白子的可能性为（m-1）/（m+n-1）。

第一次如果摸到黑子，那么这时袋子里剩下 m 个白子和 n-1个黑子。此时去摸，也得白子的可能性为m/（m+n-1）。

注意到第一次摸到白子的可能性为m/（m+n）,摸到黑子的可能 性为n/（m+n）,因此第二次摸到白子的可能性是

“老师，第二次摸到白子的可能性也是m/（m+n）。”三人为所得结论兴奋不已。

“那么第3次、第4次摸到白子的可能性呢？”老师再问。

“每次摸到白子的可能性都跟前一次是一样的，都应该等于 m/（m+n）。”小聪推理说,小明和小花也投以赞同的目光。

“太好了，同学们，我想你们已经能够自己得出抽签之‘谜’ 的谜底了！”

亲爱的读者，可能你也猜到关于抽签之“迷”的谜底了。那么，你能说一说：小明、小花和小聪他们三人开始的结论，谁是对的呢?

部分图源于网络

版权归原作者所有

来源：《给孩子的数学故事书》

作者： 张远南 张昶

编辑：张润昕

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