一元线性回归模型（公式推导+举例应用） |
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一元线性回归模型（公式推导+举例应用）
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引言模型表达式均方误差和优化目标最小二乘法利用协方差和方差求解
k
k
k和
b
b
b结论实验分析
引言
一元线性回归是回归分析中简单而重要的一种模型，旨在找到一条直线，以最佳方式拟合输入变量与输出变量之间的关系。在这篇文章中，我们将深入探讨一元线性回归的原理及其应用。 模型表达式一元线性回归模型的表达式为： f ( x i ) = k x i + b f(x_i)=kx_i+b f(xi)=kxi+b 其中， x i x_i xi为输入变量， f ( x i ) f(x_i) f(xi)为模型的输出， k k k为斜率， b b b为截距，我们的目标是通过学习 k k k和 b b b使得 f ( x i ) f(x_i) f(xi)尽可能的接近真实观测值 y i y_i yi。 均方误差和优化目标为了衡量模型的性能，我们引入均方误差 J ( k , b ) : J(k,b): J(k,b): J ( k , b ) = ∑ i = 1 m ( f ( x i ) − y i ) 2 J(k,b)=\sum_{i=1}^m(f(x_i)-y_i)^2 J(k,b)=i=1∑m(f(xi)−yi)2 其中 m m m为样本数量。我们的优化目标是最小化均方误差，即： E ( k ⋆ , b ⋆ ) = a r g ( k , b ) m i n ∑ i = 1 m ( y i − k x i − b ) 2 E(k^\star,b^\star)=arg_{(k,b)}min\sum_{i=1}^m(y_i-kx_i-b)^2 E(k⋆,b⋆)=arg(k,b)mini=1∑m(yi−kxi−b)2 最小二乘法通过最小二乘法，我们对均方误差函数分别对 k k k和 b b b求偏导数，令其等于零，得到优化的解： ∂ ∂ k E ( k , b ) = − 2 ∑ i = 1 n x i ( y i − ( k x i + b ) ) = 0 \frac{\partial}{\partial k} E(k, b)=-2\sum_{i=1}^n x_i\left(y_i-\left(k x_i+b\right)\right)=0 ∂k∂E(k,b)=−2i=1∑nxi(yi−(kxi+b))=0 ∂ ∂ b E ( k , b ) = − 2 ∑ i = 1 n ( y i − ( k x i + b ) ) = 0 \frac{\partial}{\partial b} E(k, b)=-2\sum_{i=1}^n\left(y_i-\left(k x_i+b\right)\right)=0 ∂b∂E(k,b)=−2i=1∑n(yi−(kxi+b))=0 整理并得到： k = ∑ i = 1 m y i ( x i − x ˉ ) ∑ i = 1 m x i 2 − 1 m ( ∑ i = 1 m x i ) 2 k=\frac{\sum_{i=1}^my_i(x_i- \bar x)}{\sum_{i=1}^mx_i^2-\frac{1}{m}(\sum_{i=1}^mx_i)^2} k=∑i=1mxi2−m1(∑i=1mxi)2∑i=1myi(xi−xˉ) b = 1 m ∑ i = 1 m ( y i − k x i ) b=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y_i-kx_i) b=m1i=1∑m(yi−kxi) 其中， x ˉ \bar x xˉ为输入变量 x x x的均值。最终得到模型表达式： f ( x i ) = k T x i + b f(x_i)=k^Tx_i+b f(xi)=kTxi+b 使得 f ( x i ) f(x_i) f(xi)尽可能地接近 y i y_i yi。 利用协方差和方差求解 k k k和 b b b另一种求解斜率 k k k和截距 b b b的方法是通过协方差和方差的关系。 因为 Y = k X + b Y=kX+b Y=kX+b，所以 E Y = k E X + b EY=kEX+b EY=kEX+b 又因为 X Y = k X 2 + b X XY=kX^2+bX XY=kX2+bX，所以 E X Y = k E X 2 + b E X EXY=kEX^2+bEX EXY=kEX2+bEX 联立两个式子可得： k = E X Y − E X E Y E X 2 − ( E X ) 2 = C O V ( X , Y ) D X k=\frac{EXY-EXEY}{EX^2-(EX)^2}=\frac{COV(X,Y)}{DX} k=EX2−(EX)2EXY−EXEY=DXCOV(X,Y) b = E Y − k E X b=EY-kEX b=EY−kEX 我们同样可以得到一元线性回归模型 f ( x i ) = k T x i + b f(x_i)=k^Tx_i+b f(xi)=kTxi+b 结论通过最小二乘法和协方差方差的推导，我们得到了一元线性回归的两种求解方法。这些方法为我们建立模型和预测提供了有力的工具，同时也帮助我们理解了回归分析的基本原理。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行建模和分析。 实验分析以下是工人工作年限与对应薪水的数据集。 import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns sns.set(context="notebook", style="whitegrid", palette="deep") # 读入数据集 data = pd.read_csv('data/Salary_dataset.csv') # 绘制散点图 plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi' plt.scatter(data['YearsExperience'], data['Salary'], c='blue', label='训练集') # 添加标签和标题 plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('训练集散点图') # 添加图例 plt.legend() # 显示图形 plt.show()
计算 k k k和 b b b k = b = 0 k, b = update_k_b(data, k, b)得到 k = 9449.962321455076 k=9449.962321455076 k=9449.962321455076， b = 24848.2039665232 b=24848.2039665232 b=24848.2039665232。 绘制最终的拟合直线： # 绘制散点图 plt.rcParams['font.family'] = 'KaiTi' plt.scatter(data['YearsExperience'], data['Salary'], c = 'blue', label = '数据点') # 生成一些x值 x_line = np.linspace(0, 12, 100) # 根据直线方程计算对应的y值 y_line = k * x_line + b # 绘制直线图 plt.plot(x_line, y_line, label = f'直线方程: y = {k:.0f}x + {b:.0f}', c = 'red') # 添加标签和标题 plt.xlabel('YearsExperience') plt.ylabel('Salary') plt.title('一元线性回归模型') # 添加图例 plt.legend() # 显示图形 plt.show()
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