这个问题在线性代数中已经被讨论得很清楚了，只是 Jordan 标准型一般不是非数学专业线性代数的内容，而那些讲了 Jordan 标准型的，也不一定把这部分理论的意义或者说价值讲清楚。

我认为线性代数里最重要的问题是线性变换的相似分类问题。以下假设读者只学过非数学专业的线性代数，即不引入抽象的线性空间和线性变换。但是这样做会牺牲一些感性的东西，也就是说无法从情感上说明为什么我认为这个问题很重要。

将这个问题翻译成初等的语言，就是能否找到尽量少的，简单的方阵，使得任意方阵都相似于这些方阵中的一个。我们不太本质地说明这个问题的意义。以下在复数域上讨论。

设 A 是 n 阶矩阵，我们试图计算多项式 f\left(A\right). 若存在可逆矩阵 P, 使得 B=P^{-1}AP 是一个更简单的矩阵，那么可以验证

f\left(A\right)=Pf\left(B\right)P^{-1},

从而把原来的多项式的计算转化成更简单的多项式的计算。

这个问题事实上很有难度，我们直接叙述结论：

设 A 是 n 阶矩阵，则存在可逆矩阵 P, 使得 P^{-1}AP 是 Jordan 形矩阵，称 P^{-1}AP 为 A 的 Jordan 标准型。

所谓 Jordan 形矩阵是指由一些 Jordan 块构成的准对角形矩阵，所谓特征值为 \lambda 的 r 阶Jordan 块是指 r 阶矩阵

J_r\left(\lambda\right)=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&\cdots&0&0\\0&\lambda&1&\cdots&0&0\\0&0&\lambda&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&\lambda&1\\0&0&0&\cdots&0&\lambda\end{pmatrix}.

为了说明 Jordan 形矩阵的多项式比一般矩阵的多项式更容易计算，我们计算 Jordan 块的幂。

将 J_r\left(\lambda\right) 分解为两个矩阵的和，其中一个是对角线均为 \lambda 的对角矩阵，另一个是对角线均为零的矩阵，应用二项式定理，可以算出

J_r\left(\lambda\right)^m=\begin{pmatrix} \lambda^m&m\lambda^{m-1}&\cdots&\mathrm C_m^{r-1}\lambda^{m-r+1}\\0&\lambda^m&\cdots&\mathrm C_m^{r-2}\lambda^{m-r+2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda^m\end{pmatrix}.

既然 Jordan 块的幂容易计算，那么 Jordan 标准型的幂也容易计算。

接下来我们回答如何计算 Jordan 标准型和可逆矩阵 P 的问题。

设 A 是 n 阶矩阵，则 A 的 Jordan 标准型中以 \lambda_k 为特征值的 Jordan 块的阶数之和为 \lambda_k 作为 A 的特征值的代数重数，即特征多项式的根的重数。

因此，首先应该求出特征多项式。接下来，我们先给出一个辅助结论，再介绍一般的结果。

设 A 是 n 阶矩阵，则 A 的 Jordan 标准型中以 \lambda_k 为特征值的 Jordan 块的数目为 \lambda_k 作为 A 的特征值的几何重数，即特征子空间的维数，等于 n-\mathrm{rank}\left(\lambda_k E-A\right).

利用这个结论，可以确定很多矩阵的 Jordan 标准型。对于一般情形：

设 A 是 n 阶矩阵，记 B=\lambda_kE-A, 则 A 的 Jordan 标准型中以 \lambda_k 为特征值的 r 阶 Jordan 块的数目等于 \mathrm{rank}\left(B^{r+1}\right)+\mathrm{rank}\left(B^{r-1}\right)-2\,\mathrm{rank}\left(B^r\right).

记 n 阶矩阵 A 的 Jordan 标准型为 J. 确定了 Jordan 标准型之后，构造可逆矩阵 P 的问题归结为求矩阵方程 AP=PJ 的一个特解。

记 P=\left(p_1,p_2,\cdots,p_n\right), J=\left(j_1,j_2,\cdots,j_n\right), 则

Ap_i=Pj_i\quad\left(i=1,2,\cdots,n\right).

注意到 J 的第一列只有第一项可能非零，得到关于 p_1 的线性方程组。而 J 的第二列只有前两项可能非零，在求解上一个线性方程组的基础上，得到关于 p_2 的线性方程组。以此类推，通过求解 n 个线性方程组，得到可逆矩阵 P.

习题：应用矩阵的 Jordan 标准型，计算 A^{100}, 其中

A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}.