給定樣本空间 ( S , F ) {\displaystyle (S,\mathbb {F} )} ，如果其上的實值函數 X : S → R {\displaystyle X:S\to \mathbb {R} } 是 F {\displaystyle \mathbb {F} } (實值)可測函數，则稱 X {\displaystyle X} 為（實值）随机变量。初等概率論中通常不涉及到可測性的概念，而直接把任何 X : S → R {\displaystyle X:S\to \mathbb {R} } 的函數稱為随机变量。

如果 X {\displaystyle X} 指定给概率空间 S {\displaystyle S} 中每一个事件 e {\displaystyle e} 有一个实数 X ( e ) {\displaystyle X(e)} ，同时针对每一个实数 r {\displaystyle r} 都有一个事件集合 A r {\displaystyle A_{r}} 与其相对应，其中 A r = {\displaystyle A_{r}=} { e : X ( e ) {\displaystyle e:X(e)} ≤ r {\displaystyle r} }，那么 X {\displaystyle X} 被称作随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母或小写希腊字母（比如 X , Y , Z , ξ , η {\displaystyle X,Y,Z,\xi ,\eta } ）来表示，从上面的定义注意到，随机变量实质上是函数。称其为变量是指可作为因变量。

例如，随机掷两个骰子，整个事件空间可以由36个元素组成：

这里可以构成多个随机变量，比如随机变量 X {\displaystyle X} （获得的两个骰子的点数和）或者随机变量 Y {\displaystyle Y} （获得的两个骰子的点数差），随机变量 X {\displaystyle X} 可以有11个整数值，而随机变量 Y {\displaystyle Y} 只有6个。

又比如，在一次扔硬币事件中，如果把获得的背面的次数作为随机变量 X {\displaystyle X} ，则 X {\displaystyle X} 可以取两个值，分别是0和1。

如果随机变量 X {\displaystyle X} 的取值是有限的或者是可数无穷尽的值

则称 X {\displaystyle X} 为离散随机变量。 如果 X {\displaystyle X} 由全部实数或者由一部分区间组成，

在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间 ( Ω , F , p ) {\displaystyle (\Omega ,F,p)} 上的随机变量 X {\displaystyle X} 是定义于 Ω {\displaystyle \Omega } 上的实值可测函数，即对任意 ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } ， X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} 为实数，且对任意实数 x {\displaystyle x} ，使 X ( ω ) ≤ x {\displaystyle X(\omega )\leq x} 的一切 ω {\displaystyle \omega } 组成的 Ω {\displaystyle \Omega } 的子集 { ω : X ( ω ) ≤ x } {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq x\}} 是事件，也即是 F {\displaystyle F} 中的元素。事件 { ω : X ( ω ) ≤ x } {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leq x\}} 常简记作 { X ≤ x } {\displaystyle \{X\leq x\}} ，并称函数 F ( x ) = p ( X ≤ x ) {\displaystyle F(x)=p(X\leq x)} ， − ∞ , F , p ) {\displaystyle (\Omega ,F,p)} 上的两个随机变量，如果除去一个零概率事件外， X ( ω ) {\displaystyle X(\omega )} 与 Y ( ω ) {\displaystyle Y(\omega )} 相同，则称 X = Y {\displaystyle X=Y} 以概率1成立，也记作 p ( X = Y ) = 1 {\displaystyle p(X=Y)=1} 或 X = Y {\displaystyle X=Y} ,α.s.（α.s.意即几乎必然）。

有些随机现象需要同时用多个随机变量来描述。例如对地面目标射击，弹着点的位置需要两个坐标才能确定，因此研究它要同时考虑两个随机变量，一般称同一概率空间 ( Ω , F , p ) {\displaystyle (\Omega ,F,p)} 上的 n {\displaystyle n} 个随机变量构成的 n {\displaystyle n} 维向量 X = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} 为 n {\displaystyle n} 维随机向量。随机变量可以看作一维随机向量。称 n {\displaystyle n} 元 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 的函数为 X {\displaystyle X} 的（联合）分布函数。又如果 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2})} 为二维随机向量，则称 x 1 + i x 2 ( i 2 = − 1 ) {\displaystyle x_{1}+ix_{2}(i^{2}=-1)} 为复随机变量。 随机变量的独立性 　独立性是概率论所独有的一个重要概念。设 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 是 n {\displaystyle n} 个随机变量，如果对任何 n {\displaystyle n} 个实数 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 都有 即它们的联合分布函数 F ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} 等于它们各自的分布函数 F 1 ( x 1 ) , F 2 ( x 2 ) , … , F n ( x n ) {\displaystyle F1(x_{1}),F2(x_{2}),\ldots ,Fn(x_{n})} 的乘积。则称 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 是独立的。这一定义可以直接推广到每一 x k {\displaystyle xk} （ k = 1 , 2 , … , n {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n} ）是随机向量的情形。独立性的直观意义是： x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 中的任何一个取值的概率规律，并不随其中的其他随机变量取什么值而改变。在实际问题中通常用它来表征多个独立操作的随机试验结果或多种有独立来源的随机因素的概率特性，因此它对于概率统计的应用是十分重要的。

从随机变量（或向量） x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 的独立性还可以推出：设 B k {\displaystyle Bk} 是 x k {\displaystyle xk} 取值的空间中的任意波莱尔集， k = 1 , 2 , … , n {\displaystyle k=1,2,\ldots ,n} 。设 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 是独立的，则它们中的任意个都是独立的。但逆之即使其中任何 n − 1 {\displaystyle n-1} 个是独立的，也不保证 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 是独立的。又如果 f j ( x ) , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle fj(x),i=1,2,\ldots ,n} ，是 n {\displaystyle n} 个连续函数或初等函数(或更一般的波莱尔可测函数)，则从 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 的独立性可推出 f 1 ( x 1 ) , f 2 ( x 2 ) , … , f n ( x n ) {\displaystyle f1(x_{1}),f2(x_{2}),\ldots ,fn(x_{n})} 也独立。如果随机变量(随机向量)序列 x 1 , x 2 , … , x n , … {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots } 中任何有限个都独立，则称之为独立随机变量（随机向量）序列。 关于随机变量的矩、特征函数、母函数及半不变量，分别见数学期望、方差、動差及概率分布。

一个新的随机变量能被博雷尔 (Borel) 可测函数定义 g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 来产生一个随机变量 X {\displaystyle X} 。 Y {\displaystyle Y} 的累积分布函数是：

如果博雷尔函数可逆：

得到它的概率密度函数：

定义 X {\displaystyle X} 为实数，在连续性随机变量里，让 Y = X 2 {\displaystyle Y=X^{2}}

如果 y 0 {\displaystyle y\geq 0}

可以得到：