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对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。

如给出X、Y分别表示一个列向量，

X，Y都为4行1列的向量，那么协方差矩阵的每个元素 Σ i j = c o v ( X i , X j ) = E [ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) ] \Sigma_{ij}={\rm cov}(X_i,X_j)={\rm E}[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)] Σij​=cov(Xi​,Xj​)=E[(Xi​−μi​)(Xj​−μj​)] 用中文来描述，就是：

Σ i j = （ 第 i 列 的 所 有 元 素 − 第 i 列 的 均 值 ） ∗ （ 第 j 列 的 所 有 元 素 − 第 j 列 的 均 值 ） \Sigma_{ij}=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值） Σij​=（第i列的所有元素−第i列的均值）∗（第j列的所有元素−第j列的均值）

这里只有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，下面分别求出每一个元素： 所以，按照定义，给定的4个二维样本的协方差矩阵为：

Σ = ( 8.75 − 1 − 1 12 ) \Sigma=\bigl( \begin{matrix} 8.75 & -1 \\ -1 & 12 \end{matrix} \bigr) Σ=(8.75−1​−112​)

用matlab计算这个例子

z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

cov(z)

ans = 2.9167 -0.3333 -0.3333 4.0000

可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为：

Σ i j \Sigma_{ij} Σij​=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）

下面在给出一个4维3样本的实例，注意4维样本与符号X,Y就没有关系了，X,Y表示两维的，4维就直接套用计算公式，不用X,Y那么具有迷惑性的表达了。

是与matlab的结算结果相同的，验证程序如下：

可知该计算方法是正确的。我们还可以看出，协方差矩阵都是方阵，它的维度与样本维度有关（相等）。参考2中还给出了计算协方差矩阵的源代码，非常简洁易懂，在此感谢一下!

参考：

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html