本发明涉及一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律，属于航天技术、武器技术、制导控制领域。

背景技术：

对于高超声速滑翔飞行器的末段飞行，一般希望导引飞行器从近似垂直的方向命中地面目标，从而使导引头有一个较好的视场；同时，需要控制飞行器的终点速度，因为一般情况下过大的终点速度不利于保证热流密度和来流动压约束，过小的终点速度不利于突防的需要。若飞行器装载的是钻地弹头，则要求以较小的攻角命中目标，否则，当以较大的攻角命中目标时，弹体在侵彻过程中受到巨大的不对称力作用，使得侵彻路径有较大弯曲，且侵彻深度显著缩小。

作为弹道成形制导律的典型代表，显式制导律最早由Cherry于20世纪60年代提出。Cherry G.,A general,explicit,optimizing guidance law for rocket-propelled spaceflight(一种适用于火箭推进飞行器的广义显式最优制导律)[C].AIAA/ION Astrodynamics Guidance and Control Conference,1964.通过假设指令推力矢量是时间的多项式曲线，推导出了显式制导律。此制导律能够控制飞船以预定的速度矢量到达预定点。显式制导律后来被应用到阿波罗飞船上。

Lin,C.F.,Tsai,L.L.,Analytical solution of optimal trajectory-shaping guidance(弹道成形制导律解析解)[J].Journal of Guidance,1987,11(1):61-66中将显式制导律扩展应用到只提供垂直于速度方向上控制力的飞行器上，并结合飞行器特性，对显式制导律参数进行了优化。改进后的显式制导律用来控制终点速度方向。

Zarchan,P.,Tactical and Strategic Missile Guidance,5th ed.(战术及战略导弹制导律)[M],AIAA Progress in Aeronautics and Astronautics,Virginia,US,2007.Chap.25中以能量最优为目标，利用Schwartz不等式推导出了显式制导律。

Ohlmeyer E.J.,Phillips C A.Generalized Vector Explicit Guidance(广义速度显式制导律)[J].Journal of Guidance Control&Dynamics,2015,29(2):261-268中则通过改进最优控制问题中的目标函数，扩展了显式制导律系数的取值范围。

在实际问题中，有些以气动力作为主要控制力的再入飞行器还需要进行减速控制。例如，潘兴II弹道导弹的再入弹头在末制导阶段前期通过拉起再入弹道来消耗能量，从而粗略控制终点速度大小，在后期，则利用弹道成形制导律导引飞行器从垂直方向命中目标。航天飞机再入过程中，主要是在滑翔段进行能量管理，而在末段能量管理段(TAEM)也进行一定范围的终点速度控制。在TAEM段，制导律通过导引飞行器在横向做S型机动和调节制动板来跟踪阻力-距离曲线，以便控制速度。

传统的显式制导律具有较窄的系数稳定域，其由离散的点列构成，且制导律的推导有较多的约束条件，如速度为定值。同时，传统的显式制导律不能够同时满足对终端速度、弹道倾角和过载的约束，弹目交会时较大的过载会使脱靶量大幅增加。本发明通过谱分解方法获得了显式制导律的广义解析解，获得了更大的制导律系数平面稳定域，并整合终点速度控制方案于制导律中，形成了能够同时满足终端速度、弹道倾角和过载的约束的显式制导律。

技术实现要素：

本发明的目的是为了解决上述问题，提出一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律。此制导律能够控制无动力飞行器在末制导阶段以预定的速度，从预定的方向命中地面目标，并且满足终点机动过载趋于0。

该显示制导律由弹道成形制导律和终点速度控制方案两项综合而成。弹道成形制导律可以控制飞行器从预定的方向命中目标，而终点速度控制方案则通过控制飞行器绕弯的横向机动加速度，从而控制延长飞行的距离来调节终点速度大小，横向机动加速度大小由迭代修正算法确定。为了不干扰弹道成形制导律，横向机动加速度随着飞行器接近目标逐渐衰减到0。

为了使终点机动过载为零，本发明研究了在弹道成形制导律作用下的线性近似系统，并获得指令机动过载的解析解，分析了制导律系数与系统稳定性的关系，获得了制导系数稳定域。

此显示制导律的作用效果通过CAV-H的例子得到验证。

本发明是一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律，具体包括如下步骤：

步骤1：建立运动学与动力学方程

建立与地面固联的惯性参照系o-xyH，将飞行器看作质点M，x是纵向射程，y是横向射程，H是海拔高度。V是飞行器的速度。γ是飞行器的弹道倾角，相对水平参考线逆时针转动为正。ψ是航向角，即飞行器速度的水平分量与x轴的夹角，相对于x轴逆时针转动为正。本发明不考虑地球曲率和自转的影响，其运动学与动力学方程组如下：

其中，t为飞行器飞行时间，m是飞行器质量，σ是滚转角，L是升力，D是阻力，g为重力加速度。

步骤2：本发明显式制导律综述

在本发明显式制导律作用下，制导系统将产生的指令加速度由两项组成：第一项是弹道成形制导律产生的指令加速度aTSG(TSG:Trajectory Shaping Guidance)，此加速度能导引飞行器从预定的方向命中目标；第二项是终点速度控制方案产生的指令加速度aspeed，此加速度能控制飞行器做横向机动，从而调节命中目标时的速度大小。制导系统产生的指令加速度表达式如下

acmd＝aTSG+aspeed (7)

步骤3：求解弹道成形制导律的解析解

所述步骤2中第一项弹道成形制导律产生的指令加速度aTSG由三小项组成，分别用以导引飞行器飞向目标，控制飞行器命中目标时的速度方向，平衡重力加速度在垂直于速度方向分量。加速度aTSG的方向垂直于飞行器当前速度矢量，其表达式见公式(8)

其中，R是剩余飞行距离；C1和C2是制导律系数；是飞行器到目标视线的单位方向矢量；是飞行器速度的单位方向矢量；是飞行器命中目标时预定速度方向矢量，由公式(9)计算；gn是重力加速度垂直于速度的分量。

其中，γf为命中目标时飞行器预定的弹道倾角，一般介于-70°与-90°之间，为常值；ψf等于当前飞行器到目标视线的方位角，如下所示

其中，和分别表示矢量在坐标轴x、y方向的分量。

忽略重力的影响，则在纵向平面内，飞行器制导律的表达式可以由几何矢量形式变换成三角函数形式：

其中，γLOS是弹目视线角，相对水平参考线逆时针转动为正。

视线角变化率为：

假设γ≈γLOS≈γf，则可对式(11)(12)中的三角函数线化，并整理得到如下线性时变系统

其中

B1＝[C2 0]T (16)

其中γ和γLOS是状态变量，γf是控制变量，这里及全文中的上标“T”表示矩阵的转置。

本发明采用一个新的基于谱分解的方法进行线性时变系统的求解。

定义

其中t0是系统的初始时间，且有

基于前文假设(γ-γLOS)≈0，可以近似有dR＝-Vdτ。代入上式可以解得

在式(13)左右两端同时左乘Q(t,t0)得

上式可改写为

逆向利用分步积分法则可以得到

两边同时积分得

其中，γ0是初始弹道倾角，γLOS0是初始弹目视线角。exp(-A1f2(t,t0))＝exp(02×2)＝I2×2是一个2×2的单位矩阵，式中02×2为2×2的零矩阵。

Q(t,t0)的逆矩阵如下

Φ(t,t0)＝[Q(t,t0)]-1＝exp(A1f2(t,t0)) (24)

其中，Φ(t,t0)叫做状态转移矩阵。

在式(23)两端同时左乘Φ(t,t0)可得

由式(15)可得矩阵A1的特征多项式为

|λI-A1|＝λ2+(C1+C2-1)λ-C2 (26)

可以求得矩阵A1的特征值为

其中，

相反地，也可以得到制导律系数C1和C2关于矩阵A1的两个特征值的表达式

定义f3(x,t,t0)＝exp(xf2(t,t0))，将式(19)代入可得

由于C1和C2是实数，所以矩阵A1的两个特征值只能是两个不等实数、两个相等实数和复共轭三种情况里的一种。这里将矩阵A1的两个特征值分为两种情况进行讨论，一种是λ1≠λ2，另一种是λ1＝λ2。

(Ⅰ)、当λ1≠λ2时

由谱分解公式可得

其中，G1和G2是矩阵A1的谱矩阵，且有

其中，I是单位矩阵。代入式(15)和式(27)解得

将式(31)代入式(25)右端第二项得

则由上面的式(25)(31)(34)，可以得到当λ1≠λ2时弹道倾角γ(t)的解析解，从而由可得机动加速度的解析解，如下所示

现证明当t→tf时，存在满足一定条件下的λ1和λ2使得需要对A1的两个特征值λ1和λ2为两个不等实数、一对共轭复数两种情况分别进行证明。

a)λ1和λ2为两个不等实数

由于终端时刻tf时，弹目交会，有R(tf)＝0。则由式(35)可以得到以下两个结论：

(1)若λ1≤-1,λ2≤-1且λ1≠λ2，则当t→tf时，aL不发散；

(2)若λ1＜-1,λ2＜-1且λ1≠λ2，则当t→tf时，

b)λ1和λ2为一对共轭复根

设λ1和λ2为

其中，p和q是实数，将上式代入式(29)可得

将式(36)(37)代入式(35)得加速度解析解表达式为

从上式可以看出，加速度曲线会有震荡出现，且当t→tf时，震荡频率趋于无限大，因为此时R(tf)＝0。但是如果p＜-1，则当t→tf时有

即证，当共轭复根λ1和λ2满足实部p＜-1时，有

(Ⅱ)、当λ1＝λ2时，即Δ＝0

容易验证

则可以判断矩阵A1的极小式m(x)为

m(x)＝(x-λ1)2 (42)

则由广义谱公式得

其中

将式(43)代入式(25)右端的积分项里，可得

其中，

则由式(25)(43)(45)可以得到，当λ1＝λ2时弹道倾角γ(t)的解析解，从而由可得机动加速度的解析解，如下所示

现在证明当λ1＝λ2＜-1时，显然此问题等价于证明如下问题：

当λ1＜-1时

证明：

由于R(tf)＝0，易证当λ1＜-1时，

第二个极限是一个型极限，由L’Hospital法可得

从而证明了当λ1＝λ2＜-1时，

步骤4：分析弹道成形制导律系数C1和C2的稳定域

给定使制导系统稳定的线化近似系统的特征根λ1和λ2，然后由特征根来确定弹道成形制导律系数C1和C2。对特征根λ1和λ2分两种情况进行讨论。

Ⅰ.λ1和λ2为实数

由步骤3分析得，当λ1≤-1,λ2≤-1且λ1和λ2不同时为-1时，制导系统稳定，并且机动加速度指令不发散。由此可将式(29)改写为如下形式

若C2是定值，则C1关于λ1的导数为

易得，当时，C1取最小值，即

当λ1＝-1或λ1＝C2时，C1取最大值，即

C1≤2-2C2 (52)

综上所述，λ1和λ2为实数情况下弹道成形制导律的系数取值范围为

Ⅱ.λ1和λ2为一对共轭复根

定义函数Re(x)为复数x的实数部，由步骤3分析可得，当Re(λ1)＝Re(λ2)＜-1时，制导系统稳定，并且机动加速度指令最终收敛到零。则由式(27)可得

整理可得

即

易证因此不等式组(56)可以简化为

要使恒成立，则须有C2＜-1。

综上所述，可得：

若C1＝2-2C2且C2＜-1，则TSG制导系统稳定，且在飞行器接近目标的过程中加速度指令不发散。若3-C2＜C1＜2-2C2且C2＜-1，则TSG制导系统稳定，且在飞行器接近目标的过程中加速度指令收敛于0。

C1和C2取值范围由传统弹道成形制导律的离散区域扩展到了平面区域，且制导律系数C1和C2的取值范围不受飞行器速度变化的影响。

步骤5：终点速度控制方案

步骤2所述的第二项终点速度控制方案产生的指令加速度aspeed，此加速度作用在当地水平面内，且垂直于速度，如下式所示

其中，kVf是待定正参数，g0是海平面高度的重力加速度，R0是开始时刻飞行器与目标之间的剩余飞行距离，ψ0是初始时刻的航向角，ψLOS0是初始时刻的视线方位角。sgn(x)为符号函数，如下所示

通过调节kVf的值，可以控制飞行器横向机动幅度，从而调整飞行器命中目标时的速度。aspeed与aTSG同时作用在飞行器飞行的末段。aspeed的大小随着飞行器接近目标而逐渐减弱，这样可以避免在飞行器快要命中目标时aspeed对aTSG的干扰。

飞行器在进入末制导阶段之前，通过弹道仿真预测命中目标的速度Vf(K)，然后按secant法校正kVf的值，最终获得kVf的理想值，如下所示

其中，Vfcmd是期望的终点速度，K是迭代次数。

本发明的优点在于：

(1)相较于传统的制导律，该解析制导律不仅可以满足终端弹道倾角，还可以满足终端速度约束，并使得飞行器接近目标的机动加速度逐渐衰减到0；

(2)获得了显式制导律的广义解析解，进一步提出了确定制导律系数的方法，即通过适当选取线性近似系统的特征根来确定制导律系数；

(3)分析了制导律系数与系统稳定性的关系，获得了制导律系数稳定域，严格证明了只要制导律系数在稳定域内，制导系统稳定且飞行器以小攻角命中目标。

附图说明

图1是惯性参照坐标系o-xyH与相关的状态变量。

图2是纵向平面内的几何关系。

图3(a)、(b)是特征值为一对实数情况下的本发明弹道成形制导律的仿真结果。

图4(a)、(b)是特征值为一对共轭复数情况下的本发明弹道成形制导律的仿真结果。

图5(a)、(b)是特征值为一对相等实数情况下的本发明弹道成形制导律的仿真结果。

图6是本发明弹道成形制导律系数的稳定域及传统显式制导律系数稳定域。

图7(a)、(b)是飞行器的气动数据曲线。

图8是终点速度Vf随kvf的变化曲线。

图9(a)、(b)(c)、(d)、(e)、(f)是本发明显示制导律针对两种不同终点速度情况的仿真结果。

图10是本发明显式制导律的指令产生及使用流程图。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明做进一步的详细说明。

本发明是一种具有终端速度、弹道倾角和过载约束的显式制导律，适用于空对地飞行器的末段制导律，此制导律能够使得飞行器在终点时刻满足弹道倾角和速度的约束要求，并且使得终点机动过载为0。

此制导律由弹道成形制导律和终点速度控制方案两项综合而成。弹道成形制导律是能够控制飞行器从预定方向命中目标，终点速度控制方案用来控制飞行器命中目标时的速度大小。终点速度控制方案中有一个可调参数，可以调节飞行器绕弯距离，从而控制终点速度，参数大小由弹载计算机弹道仿真迭代收敛产生。为了不干扰弹道成形制导律导引飞行器命中目标，终点速度控制方案主要作用在飞行器末段飞行的前期，并随着飞行器接近目标而减弱。同时，通过对线化系统的解析解进行研究，得到满足终点指令机动过载为0的制导律系数取值范围。只要制导律系数在此范围内取值，就能达到以小攻角命中目标的目的。如图10所示，整个过程包括以下几个步骤：

步骤1：建立运动学与动力学方程

图1介绍了本发明用到的惯性参照系o-xyH和在此坐标系下定义的相关状态变量。o-xyH与地面相固联，将飞行器看作质点M，x是纵向射程，y是横向射程，H是海拔高度。V是飞行器的速度。γ是飞行器的弹道倾角，相对水平参考线逆时针转动为正。ψ是航向角，即飞行器速度的水平分量与x轴的夹角，相对于x轴逆时针转动为正。本发明不考虑地球曲率和自转的影响，其运动学与动力学方程组如下：

其中，t为飞行器飞行时间，m是飞行器质量，σ是滚转角，L是升力，D是阻力，g为重力加速度，它们由下式计算。

L＝CLqS (7)

D＝CDqS (8)

其中，CL和CD分别是升力系数和阻力系数。q是来流动压。S是气动参考面积。μ是常数，取值3.96272×1014m3/s2。Re是地球平均半径，大小为6356.766km。

步骤2：本发明显式制导律综述

在本发明显式制导律作用下，制导系统将产生的指令加速度由两项组成：第一项是弹道成形制导律产生的指令加速度aTSG(TSG:Trajectory Shaping Guidance)，此加速度能导引飞行器从预定的方向命中目标；第二项是终点速度控制方案产生的指令加速度aspeed，此加速度能控制飞行器做横向机动，从而调节命中目标时的速度大小。指令加速度表达式如下

acmd＝aTSG+aspeed (10)

步骤3：求解弹道成形制导律的解析解

所述步骤2中第一项弹道成形制导律产生的指令加速度aTSG由三小项组成，分别用以导引飞行器飞向目标，控制飞行器命中目标时的速度方向，平衡重力加速度在垂直于速度方向分量。加速度aTSG的方向垂直于飞行器当前速度矢量，其表达式见公式(11)

其中，R是剩余飞行距离；C1和C2是制导律系数；是飞行器到目标视线的单位方向矢量；是飞行器速度的单位方向矢量；是飞行器命中目标时预定速度方向矢量，由公式(12)计算；gn是重力加速度垂直于速度的分量。

其中，γf为命中目标时飞行器预定的弹道倾角，一般介于-70°与-90°之间；ψf等于当前飞行器到目标视线的方位角，如下所示

其中，和分别表示矢量在坐标轴x、y方向的分量。

为了计算使末端过载为0的制导律系数C1和C2的稳定域，首先需要推导出弹道成形制导律的解析解形式。由于飞行器在命中目标时，速度近似垂直于水平面，所以当飞行器非常接近目标时，gn的模非常小，可以忽略不计。图2表示的是当不考虑重力的影响时，在纵向平面内的交战几何关系，其中，M代表飞行器，T代表目标。制导律表达式可以由几何矢量形式变换成三角函数形式：

其中，γLOS是弹目视线角，相对水平参考线逆时针转动为正。

视线角变化率为：

假设γ≈γLOS≈γf，则可对式(14)(15)中的三角函数线化，并整理得到如下线性时变系统

其中

B1＝[C2 0]T (19)

其中γ和γLOS是状态变量，γf是控制变量，这里及全文中的上标“T”表示矩阵的转置。

易见，上述系统的平衡点满足：γ＝γLOS＝γf，从而证明在平衡点处假设成立。

对于传统的线性定常系统，可以运用Laplace变化的方法进行求解。但系统(16)是线性时变系统，此方法不再适用。因此，本发明采用一个新的基于谱分解的方法进行求解。

定义

其中t0是系统的初始时间，且有

基于前文假设(γ-γLOS)≈0，可以近似有dR＝-Vdτ。代入上式可以解得

在式(16)左右两端同时左乘Q(t,t0)得

上式可改写为

逆向利用分步积分法则可以得到

两边同时积分得

其中，γ0是初始弹道倾角，γLOS0是初始弹目视线角。exp(-A1f2(t,t0))＝exp(02×2)＝I2×2是一个2×2的单位矩阵，式中02×2为2×2的零矩阵。

Q(t,t0)的逆矩阵如下

Φ(t,t0)＝[Q(t,t0)]-1＝exp(A1f2(t,t0)) (27)其中，Φ(t,t0)叫做状态转移矩阵。

在式(26)两端同时左乘Φ(t,t0)可得

由式(18)可得矩阵A1的特征多项式为

|λI-A1|＝λ2+(C1+C2-1)λ-C2 (29)

可以求得矩阵A1的特征值为

其中，

相反地，也可以得到制导律系数C1和C2关于矩阵A1的两个特征值的表达式

定义f3(x,t,t0)＝exp(xf2(t,t0))，将式(22)代入可得

由于C1和C2是实数，所以矩阵A1的两个特征值只能是两个不等实数、两个相等实数和复共轭三种情况里的一种。这里将矩阵A1的两个特征值分为两种情况进行讨论，一种是λ1≠λ2，另一种是λ1＝λ2。

1、当λ1≠λ2时

由谱分解公式可得

其中，G1和G2是矩阵A1的谱矩阵，且有

其中，I是单位矩阵。代入式(18)和式(30)解得

将式(34)代入式(28)右端第二项得

则由上面的式(28)(34)(37)，可以得到当λ1≠λ2时弹道倾角γ(t)的解析解，从而由可得机动加速度的解析解，如下所示

现证明当t→tf时，存在满足一定条件下的λ1和λ2使得需要对A1的两个特征值λ1和λ2为两个不等实数、一对共轭复数两种情况分别进行证明。

a)λ1和λ2为两个不等实数

由于终端时刻tf时，弹目交会，有R(tf)＝0。则由式(38)可以得到以下两个结论：

(3)若λ1≤-1,λ2≤-1且λ1≠λ2，则当t→tf时，aL不发散；

(4)若λ1＜-1,λ2＜-1且λ1≠λ2，则当t→tf时，

此情况下，本发明弹道成形制导律与传统弹道成形制导律及非线性模型的数值仿真结果对比分析如实施例一所示。

b)λ1和λ2为一对共轭复根

设λ1和λ2为

其中，p和q是实数，将上式代入式(32)可得

将式(39)(40)代入式(38)得加速度解析解表达式为

从上式可以看出，加速度曲线会有震荡出现，且当t→tf时，震荡频率趋于无限大，因为此时R(tf)＝0。但是如果p＜-1，则当t→tf时有

即证，当共轭复根λ1和λ2满足实部p＜-1时，有

此情况下，本发明弹道成形制导律与传统弹道成形制导律及非线性模型的数值仿真结果对比分析如实施例二所示。

2、当λ1＝λ2时，即Δ＝0

容易验证

则可以判断矩阵A1的极小式m(x)为

m(x)＝(x-λ1)2 (45)

则由广义谱公式得

其中

将式(46)代入式(28)右端的积分项里，可得

其中，

则由式(28)(46)(48)可以得到，当λ1＝λ2时弹道倾角γ(t)的解析解，从而由可得机动加速度的解析解，如下所示

现在证明当λ1＝λ2＜-1时，显然此问题等价于证明如下问题：

当λ1＜-1时

证明：

由于R(tf)＝0，易证当λ1＜-1时，

第二个极限是一个型极限，由L’Hospital法可得

从而证明了当λ1＝λ2＜-1时，

此情况下，本发明弹道成形制导律与传统弹道成形制导律及非线性模型的数值仿真结果对比分析如实施例三所示。

步骤4：分析弹道成形制导律系数C1和C2的稳定域

定义函数Re(x)为复数x的实数部，则通过上面工作，可以得到以下结论：

结论1当Re(λ1)≤-1且Re(λ2)≤-1，但Re(λ1)和Re(λ2)不同时为-1时，制导系统稳定，并且机动加速度指令不发散。

结论2当Re(λ1)＜-1且Re(λ2)＜-1，制导系统稳定，并且机动加速度指令最终收敛到零。

需要注意的是，以上推论在飞行器做变速运动时依然成立。因此，可以先给定线化近似系统的特征根λ1和λ2，然后由特征根来确定弹道成形制导律系数C1和C2。这种方式极大的推广了弹道成形制导律系数的取值范围。

1.λ1和λ2为实数

根据不等式组(32)可得，当λ1≤-1,λ2≤-1且λ1和λ2不同时为-1时，C2＜-1。则可将不等式组(32)改写为

将式(32)代入上式，可以得到

若C2是定值，则C1关于λ1的导数为

当时，C1随λ1增大而增大。

当时，C1随λ1增大而减小。

所以当时，C1取最小值，即

当λ1＝-1或λ1＝C2时，C1取最大值，即

C1≤2-2C2 (56)

综上所述，此情况下弹道成形制导律的系数取值范围为

将式(57)代入式(30)可推出以下结论：

结论3若C1＝2-2C2且C2＜-1，则λ1＝-1,λ2＝C2；

结论4若且C2＜-1，则

结论5若且C2＜-1，则

2.λ1和λ2是一对共轭复根

由结论1知Re(λ1)＝Re(λ2)＜-1，则由式(30)可得

整理可得

即

易证因此不等式组(60)可以简化为

要使恒成立，则须有C2＜-1。由此，结合式(30)得到以下结论

结论6若且C2＜-1，则λ1和λ2是一对共轭复根且它们的实数部小于－1。

综上所述，结论1－6可以合并为以下两个结论：

结论7若C1＝2-2C2且C2＜-1，则TSG制导系统稳定，且在飞行器接近目标的过程中加速度指令不发散。

结论8若3-C2＜C1＜2-2C2且C2＜-1，则TSG制导系统稳定，且在飞行器接近目标的过程中加速度指令收敛于0。

早期Cherry G.提出的传统弹道成形制导律系数是固定值，为C1＝6和C2＝-2，其对应的A1的特征值为λ1＝-1和λ2＝-2，随后由Ohlmeyer E.J.扩展了制导律的系数范围(GENEX显式制导律)，其系数C1和C2取值公式如下

上式对应的特征值为λ1＝-(n+1)和λ2＝-(n+2)。本发明则通过分析进一步扩展了C1和C2的取值范围，由结论7－8确定了图6中的阴影区域，其中空心圆圈“o”表示阴影区域不含(-1,4)这一点。同时与GENEX的结果(如图6实心点所示)进行对比。从图6中可以看出，C1和C2取值范围得到了较大的扩展，而且制导律系数C1和C2的取值范围不受飞行器速度变化的影响。

步骤5：终点速度控制方案

其中步骤2所述的第二项终点速度控制方案产生的指令加速度aspeed，此加速度作用在当地水平面内，且垂直于速度，如下式所示

其中，kVf是待定正参数，g0是海平面高度的重力加速度，R0是开始时刻飞行器与目标之间的剩余飞行距离，ψ0是初始时刻的航向角，ψLOS0是初始时刻的视线方位角。sgn(x)为符号函数，如下所示

通过调节kVf的值，可以控制飞行器横向机动幅度，从而调整飞行器命中目标时的速度。aspeed与aTSG同时作用在飞行器飞行的末段。aspeed的大小随着飞行器接近目标而逐渐减弱，这样可以避免在飞行器快要命中目标时aspeed对aTSG的干扰。

飞行器在进入末制导阶段之前，通过弹道仿真预测命中目标的速度Vf(K)，然后按secant法校正kVf的值，最终获得kVf的理想值，如下所示

其中，Vfcmd是期望的终点速度，K是迭代次数。

具体实施例

实施例一

在本实施例中，忽略重力的影响，飞行器做减速下滑运动：V(t)＝1000-5t(m/s)，且希望飞行器以0deg的弹道倾角命中目标。飞行器的初始条件为：x0＝0km,H0＝10km,γ0＝0deg，目标的初始条件为：xT＝50km,HT＝0km。

由假设γ-γLOS≈0得，解得剩余飞行距离关于时间的表达式通过求解方程R(tf)＝0可以获得终端时刻tf的值。设置特征根的值分别为λ1＝-2,λ2＝-2.5，则式(32)可解得制导律系数C1＝10.5,C2＝-5。此时，可得本发明弹道成形制导律的解析形式为

做为对比的传统弹道成形制导律，其速度为定值且高度方向运动方程为线性，形式如下式所示

其中，t0为起始时刻，tf2为估计的最终时刻，H0为初始高度，为初始速度在高度方向上的分量，为终端时刻期望速度在高度方向上分量。

通过对比式(66)和式(67)，可以看出，H0＝-R(t0)γLOS0,如果忽略本发明弹道成形制导律中速度大小的变化，其简化形式就是传统弹道成形制导律。图3(a)展示了本发明弹道成形制导律作用下的弹道曲线，图3(b)展示了本发明弹道成形制导律与传统弹道成形制导律、数值仿真对比的加速度时间曲线。结果表明，本发明弹道成形制导律可以在命中目标时令飞行器加速度收敛为0，且由于本发明未忽略速度变化的影响，加速度曲线与数值仿真结果有更小的误差。

实施例二

本实施例与实施例一的初始条件一致，设置特征值为λ1＝-2+2i,λ2＝-2-2i。可得制导律系数为C1＝13,C2＝-8，则本发明弹道成形制导律的解析形式为

传统弹道成形制导律的解析形式为

图4(a)展示了本发明弹道成形制导律作用下的弹道曲线，图4(b)展示了本发明弹道成形制导律与传统弹道成形制导律、数值仿真对比的加速度时间曲线。结果表明，本发明弹道成形制导律与非线性模型有高度的近似性，证明了加速度指令确实会有振荡，但最终在接近目标时，加速度会趋于0。

实施例三

本实施例与实施例一的初始条件一致，设置特征值为λ1＝λ2＝-2，则可得制导律系数为C1＝9,C2＝-4，则本发明弹道成形制导律的解析形式为

传统弹道成形制导律的解析形式为

图5(a)展示了本发明弹道成形制导律作用下的弹道曲线，图5(b)展示了本发明制导律与传统弹道成形制导律、数值仿真对比的加速度时间曲线。结果表明，在此种情况下本发明弹道成形制导律可以高度逼近非线性模型的数值仿真结果，可以控制飞行器在命中目标的时刻，弹道倾角、加速度指令满足约束条件。

实施例四

本发明采用CAV-H飞行器作为仿真模型。飞行器质量为907.2kg，气动参考面积为0.48387m2，飞行攻角介于[-25,25]度之间。气动数据采用如下拟合公式计算

其中CL是升力系数，CD是阻力系数，α是飞行器攻角，单位：rad，CL0是零攻角升力系数，是升力系数斜率，CD0是零升阻力系数，K是诱导阻力系数，CL、CD0和K均是马赫数的函数，如图7(a)、(b)所示。

飞行器采用Bank to Turn(BTT)的控制方式，攻角和倾侧角作为飞行控制量，且可由指令加速度过载计算得出：

其中x1为单位向量，方向垂直于包含有速度向量的铅垂面；x2为单位向量，方向垂直于速度向量且位于催铅垂面内。

x1＝[sin(ψ),-cos(ψ),0]T (75)

x2＝[-sin(γ)cos(ψ),-sin(γ)sin(ψ),cos(γ)]T (76)

本实施例要求飞行器在终点时刻以期望的弹道倾角和速度命中目标，并且使得机动过载为0。飞行器的仿真参数设置如下：x0＝y0＝0、H0＝20km、Vo＝2500m/s、γ0＝0deg和ψ0＝0deg，终点要求是：xf＝50km、yf＝Hf＝0和γf＝-80deg，分别考虑终点速度为1400m/s和1200m/s的两种情况，另外，还要求终点攻角介于±2deg范围内，这里通过使终点机动过载趋近于零来满足终点攻角约束。图8是通过大量仿真得到的终点速度Vf随参量kvf的变化曲线，显然，kvf越大，弹道越弯曲，终点速度越小。从图8中可以看出，Vf和kvf有一种近似线性的关系，这有利于利用secant法快速找到满足终点速度要求的kvf值，一般只要进过数次仿真迭代，就可以获得足够高精度的解。经过计算，kvf满足Vf＝1400m/s理想值为21.4088，满足Vf＝1200m/s的理想值为54.2326。

图9是针对上述两种不同终点速度情况获得的仿真结果。其中，图9(a)弹道曲线图，9(b)速度曲线，图9(c)弹道倾角曲线，图9(d)机动过载曲线，图9(e)滚转角曲线，图9(f)来流动压曲线。从图中可以看出，在本发明显示制导律作用下，落点的速度和弹道倾角均符合要求，终点机动过载也接近于0。对于终点速度较小的情况，飞行器需要绕更大的弯来消耗能量，同时，最大来流动压有很大的减小。从滚转角曲线上看，飞行器最后是以倒飞状态命中目标的。