回归分析是处理多变量间相关关系的一种数学方法。相关关系不同于函数关系，函数关系反应变量间严格依存性，简单说就是一个自变量对应一个因变量。而相关分析中，对自变量的每一个取值，因变量可以有多个数值与之对应。在统计上，研究相关关系可以运用 回归分析 和 相关分析。   当自变量为非随机变量而因变量为随机变量时，它们的关系分析成为 回归分析。当自变量和因变量都是随机变量时，它们的关系分析称为 相关分析。回归分析和相关分析往往不加区分。广义上说，相关分析包括回归分析，但是严格说两者是有区别的。   具有相关关系的两个变量 ξ 和 η（ξ：克西、η ：伊塔 ），它们之间虽然存在着密切的关系，但不能由一个变量精确地求出另一个变量的值。通常选用 ξ = x 时 η 的数学期望作为对应 ξ = x 时 η 的代表值，因此它反映 ξ = x 条件下 η 取值的平均水平。这样的对应关系称为 回归关系。根据回归分析可以建立变量间的数学表达式，称为 回归方程。回归方程反映自变量在固定条件下因变量的平均状态变化情况。   具有相关关系的变量之间虽然具有某种不确定性，但是通过对现象的不断观察可以探索出它们之间的统计规律，这类统计规律称为 回归关系。有关回归关系理论、计算和分析称为 回归分析。   回归分析可以分为 线性回归分析 和 逻辑回归分析。

线性回归就是将输入项分别乘以一些常量，再将结果加起来得到输出。线性回归包括一元线性回归和多远线性回归。

线性回归模型的优缺点

  线性回归分析中，如果仅有一个自变量与一个因变量，且其关系大致可以用一条直线表示，则称之为 简单线性回归分析。   如果发现因变量 Y 和自变量 X 之间存在高度的正相关，则可以确定一条直线方程，使得所有的数据点尽可能接近这条拟合的直线。 Y = a + b x Y=a+bx Y=a+bx   其中 Y Y Y 为因变量， a a a 为截距， b b b 为相关系数， x x x 为自变量。

  多元线性回归分析是简单线性回归分析的推广，指的是多个因变量对多个自变量的回归分析。其中最常用的是只限于一个因变量但有多个自变量的情况，也叫做多重回归分析。 Y = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + ⋯ + b k X k Y = a + b_1X_1+ b_2X_2 + b_3X_3 + \cdots+ b_kX_k Y=a+b1​X1​+b2​X2​+b3​X3​+⋯+bk​Xk​   其中， a a a 代表截距， b 1 , b 2 , b 3 , ⋯   , b k b_1, b_2 , b_3 , \cdots, b_k b1​,b2​,b3​,⋯,bk​ 为回归系数。

数据挖掘中常用的一些非线性回归模型：

一个简单的线性回归的例子就是房子价值预测问题。一般来说，房子越大，房屋的价值越高。   数据集：input_data.csv      说明：     No：编号     square_feet：平方英尺     price：价格（元/平方英尺）

代码如下：

结果截图：

  当结果值影响因素有多个时，可以采用多元线性回归模型。例如：商品的销售额可能与电视广告投入、收音机广告投入和报纸广告投入有关系，可以有： S a l e s = β 0 + β 1 T V + β 2 R a d i o + β 3 N e w s p a p e r Sales = β_0+ β_1TV + β_2Radio + β_3Newspaper Sales=β0​+β1​TV+β2​Radio+β3​Newspaper 数据集：Advertising.csv 代码如下：

结果截图： 说明：

  逻辑回归也被称为广义线性回归模型，它与线性回归模型的形式基本上相同，最大的区别就在于它们的因变量不同，如果是连续的，就是多重线性回归；如果是二项分布，就是逻辑回归（Logistic）；逻辑回归实际上是一种分类方法，主要用于二分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别）。   逻辑回归的过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证这个求解模型的好坏。

逻辑回归的优缺点

逻辑回归的常规步骤

  二类分类问题的概率与自变量之间的关系图形往往是一个 S 型曲线，采用 sigmoid 函数实现，函数形式： g ( z ) = 1 1 + e − z g(z) =\frac{1}{1 + e^{-z}} g(z)=1+e−z1​

  对于线性边界情况，边界形式如下： z = θ T x = θ 0 x 0 + θ 1 x 1 + ⋯ + θ n x n = ∑ i = 0 n θ i x i z=θ^Tx=θ_0x_0+θ_1x_1+\cdots +θ_nx_n = \sum_{i=0}^{n} {θ_ix_i} z=θTx=θ0​x0​+θ1​x1​+⋯+θn​xn​=i=0∑n​θi​xi​     说明： ( x 0 , x 1 , … , x n ) (x_0,x_1,\ldots,x_n) (x0​,x1​,…,xn​) 为输入数据的特征， ( θ 0 , θ 1 , … , θ n ) (θ_0,θ_1,\ldots,θ_n) (θ0​,θ1​,…,θn​) 为回归系数，也可以理解为权重 w w w。

  最佳参数： θ = [ θ 0 , θ 1 , θ 2 , … , θ n ] T θ=[θ_0,θ_1,θ_2,\ldots,θ_n]^T θ=[θ0​,θ1​,θ2​,…,θn​]T

  构造预测函数为： h θ ( x ) = g ( θ T x ) = 1 1 + e − θ T x h_θ(x)=g(θ^Tx)=\frac{1}{1 + e^{-θ^Tx}} hθ​(x)=g(θTx)=1+e−θTx1​   sigmod 函数输出是介于 (0,1) 之间的，中间值是 0.5。 h θ ( x ) h_θ(x) hθ​(x) 的输出也是介于 (0,1) 之间的，也就表明了数据属于某一类别的概率。例如， h θ ( x ) < 0.5 h_θ(x)0.5 hθ​(x)>0.5 则说明当前数据属于 B 类。所以 sigmod 函数看成样本数据的概率密度函数。   函数 h ( x ) h(x) h(x) 的值有特殊的含义，它表示结果取 1 的概率，因此对于输入 x x x 分类结果为类别 1 和类别 0 的概率分别为： p ( y = 1 ∣ x ; θ ) = h θ ( x ) p(y=1|x;θ)=h_θ(x) p(y=1∣x;θ)=hθ​(x) p ( y = 0 ∣ x ; θ ) = 1 − h θ ( x ) p(y=0|x;θ)=1-h_θ(x) p(y=0∣x;θ)=1−hθ​(x)

  机器学习模型中把 单个样本 的预测值与真实值的差称为 损失，一般情况下，损失越小，模型越好（有可能存在 过拟合）。用于计算损失的函数称为 损失函数（Loss Function）。模型的每一次预测的好坏用损失函数度量。   代价函数 （Cost Function）是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是损失函数的平均。   与多元线性回归所采用的最小二乘法的参数估计相对应，最大似然法是逻辑回归所采用的参数估计法。其原理是找到这样一个参数，可以让样本数据所包含的观察值被观察到的可能性最大。这种寻找最大可能性的方法需要反复计算，对计算能力有很高的要求。最大似然法的优点是大样本数据中参数的估计稳定、偏差小、估计方差小。   接下来使用概率论中极大似然估计的方法求解损失函数（需要大家有概率论和高数的知识储备，后面有说明）：

  首先得到概率函数为： p ( y ∣ x ; θ ) = ( h θ ( x ) ) y ( 1 − h θ ( x ) ) 1 − y p(y|x;θ)=(h_θ(x))^y(1-h_θ(x))^{1-y} p(y∣x;θ)=(hθ​(x))y(1−hθ​(x))1−y   因为样本数据（m 个）独立，所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积，取 似然函数为： L ( θ ) = ∏ i = 1 m p ( y i ∣ x i ; 0 ) = ∏ i = 1 m ( h θ ( x i ) ) y i ( 1 − h θ ( x i ) ) 1 − y i L(θ)=\prod_{i=1}^{m} {p(y_i|x_i;0)=\prod_{i=1}^{m} {(h_θ(x_i))^{y_i}(1-h_θ(x_i))^{1-y_i}}} L(θ)=i=1∏m​p(yi​∣xi​;0)=i=1∏m​(hθ​(xi​))yi​(1−hθ​(xi​))1−yi​   取对数似然函数： l ( θ ) = log ⁡ L ( θ ) = ∑ i = 1 m ( y i log ⁡ h θ ( x i ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x i ) ) ) l(θ)=\log L(θ)=\sum_{i=1}^{m}{(y_i\log h_θ(x_i)+(1-y_i)\log (1-h_θ(x_i)))} l(θ)=logL(θ)=i=1∑m​(yi​loghθ​(xi​)+(1−yi​)log(1−hθ​(xi​)))   最大似然估计就是要求使 l ( θ ) l(θ) l(θ) 取最大值时的 θ θ θ，这里可以使用 梯度上升法 求解，求得的 θ θ θ 就是要求的最佳参数：

J ( θ ) = − 1 m l ( θ ) J(θ) = -\frac{1}{m}l(θ) J(θ)=−m1​l(θ)   基于最大似然估计推导得到的 C o s t Cost Cost 函数和 J J J 函数如下： C o s t ( h θ ( x ) , y ) = { − log ⁡ ( h θ ( x ) ) , if  y  =1 − log ⁡ ( 1 − h θ ( x ) ) , if  y =0 Cost(h_θ(x),y)=\begin{cases} -\log (h_θ(x)), & \text {if $y$ =1} \\ -\log (1-h_θ(x)), & \text{if $y$=0} \end{cases} Cost(hθ​(x),y)={−log(hθ​(x)),−log(1−hθ​(x)),​if y =1if y=0​   上面的分段函数可以合并为一条式子： C o s t ( h θ ( x ) , y ) = − y log ⁡ ( h θ ( x ) − ( 1 − y ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x ) ) ) Cost(h_θ(x),y)=-y\log(h_θ(x)-(1-y)\log(1-h_θ(x))) Cost(hθ​(x),y)=−ylog(hθ​(x)−(1−y)log(1−hθ​(x))) J ( θ ) = 1 m ∑ i = 1 m C o s t ( h θ ( x i ) , y i ) = − 1 m [ ∑ i = 1 m ( y i log ⁡ h θ ( x i ) + ( 1 − y i ) log ⁡ ( 1 − h θ ( x i ) ) ) ] J(θ)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}Cost(h_θ(x_i),y_i) = -\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}{(y_i\log h_θ(x_i)+(1-y_i)\log (1-h_θ(x_i)))}] J(θ)=m1​i=1∑m​Cost(hθ​(xi​),yi​)=−m1​[i=1∑m​(yi​loghθ​(xi​)+(1−yi​)log(1−hθ​(xi​)))]

说明：

因为要求损失函数 J ( θ ) J(\theta) J(θ) 最小值，所以采用梯度下降的方法。

1. θ θ θ 更新过程 θ : = θ j − α ∂ ∂ θ j J ( θ ) θ:=θ_j -α\frac{\partial}{\partial_{θ_j}}J(θ) θ:=θj​−α∂θj​​∂​J(θ)

∂ ∂ θ j J ( θ ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ y i 1 h θ ( x i ) ∂ ∂ θ j h θ ( x i ) − ( 1 − y i ) 1 1 − h θ ( x i ) ∂ ∂ θ j h θ ( x i ) ] = − 1 m ∑ i = 1 m [ y i 1 g ( θ T x i ) − ( 1 − y i ) 1 1 − g ( θ T x i ) ] ∂ ∂ θ j g ( θ T x i ) = − 1 m ∑ i = 1 m [ y i 1 g ( θ T x i ) − ( 1 − y i ) 1 1 − g ( θ T x i ) ] g ( θ T x i ) ( 1 − g ( θ T x i ) ) ∂ ∂ θ j θ T x i = − 1 m ∑ i = 1 m [ y i ( 1 − g ( θ T x i ) ) − ( 1 − y i ) g ( θ T x i ) ] x i j = − 1 m ∑ i = 1 m [ y i − g ( θ T x i ) ] x i j = − 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x i j \begin{aligned} \frac{\partial}{{\partial_θ}_j}J(θ) &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{[y_i\frac{1}{h_θ(x_i)}\frac{\partial}{\partial_{θ_j}}h_θ(x_i)-(1-y_i)\frac{1}{1-h_θ(x_i)}\frac{\partial}{\partial_{θ_j}}h_θ(x_i)]} \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y_i\frac{1}{g(θ^Tx_i)}-(1-y_i)\frac{1}{1-g(θ^Tx_i)}]\frac{\partial}{\partial_{θ_j}}g(θ^Tx_i) \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y_i\frac{1}{g(θ^Tx_i)}-(1-y_i)\frac{1}{1-g(θ^Tx_i)}]g(θ^Tx_i)(1-g(θ^Tx_i))\frac{\partial}{\partial_{θ_j}}θ^Tx_i \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y_i(1-g(θ^Tx_i))-(1-y_i)g(θ^Tx_i)]x_i^j \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}[y_i-g(θ^Tx_i)]x_i^j \\ &= -\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_θ(x_i)-y_i)x_i^j \\ \end{aligned} ∂θ​j​∂​J(θ)​=−m1​i=1∑m​[yi​hθ​(xi​)1​∂θj​​∂​hθ​(xi​)−(1−yi​)1−hθ​(xi​)1​∂θj​​∂​hθ​(xi​)]=−m1​i=1∑m​[yi​g(θTxi​)1​−(1−yi​)1−g(θTxi​)1​]∂θj​​∂​g(θTxi​)=−m1​i=1∑m​[yi​g(θTxi​)1​−(1−yi​)1−g(θTxi​)1​]g(θTxi​)(1−g(θTxi​))∂θj​​∂​θTxi​=−m1​i=1∑m​[yi​(1−g(θTxi​))−(1−yi​)g(θTxi​)]xij​=−m1​i=1∑m​[yi​−g(θTxi​)]xij​=−m1​i=1∑m​(hθ​(xi​)−yi​)xij​​

   θ θ θ 更新过程可以写成： θ j : = θ j − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x i j θ_j:=θ_j-α\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_θ(x_i)-y_i)x_i^j θj​:=θj​−αm1​i=1∑m​(hθ​(xi​)−yi​)xij​

2. 向量化

  约定训练数据的矩阵形式如下， x x x 的每一行为一条训练样本，而每一列为不同的特征取值： x = [ x 1 ⋮ x m ] = [ x 10 ⋯ x 1 n ⋮ ⋱ ⋮ x m 0 ⋯ x m n ] , y = [ y 1 ⋮ y m ] , θ = [ θ 0 ⋮ θ n ] x= \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{10} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m0} & \cdots & x_{mn} \\ \end{bmatrix},y= \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \\ \end{bmatrix} ,θ= \begin{bmatrix} θ_0 \\ \vdots \\ θ_n \\ \end{bmatrix} x=⎣⎢⎡​x1​⋮xm​​⎦⎥⎤​=⎣⎢⎡​x10​⋮xm0​​⋯⋱⋯​x1n​⋮xmn​​⎦⎥⎤​,y=⎣⎢⎡​y1​⋮ym​​⎦⎥⎤​,θ=⎣⎢⎡​θ0​⋮θn​​⎦⎥⎤​

A = x ● θ = [ x 10 ⋯ x 1 n ⋮ ⋱ ⋮ x m 0 ⋯ x m n ] ● [ θ 0 ⋮ θ n ] = [ θ 0 x 10 + θ 1 x 11 + … + θ n x 1 n … θ 0 x m 0 + θ 1 x m 1 + … + θ n x m n ] A=x●θ= \begin{bmatrix} x_{10} & \cdots & x_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m0} & \cdots & x_{mn} \\ \end{bmatrix}● \begin{bmatrix} θ_0 \\ \vdots \\ θ_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} θ_0x_{10}+θ_1x_{11}+\ldots+ θ_nx_{1n}\\ \ldots\\ θ_0x_{m0}+θ_1x_{m1}+\ldots+ θ_nx_{mn}\\ \end{bmatrix} A=x●θ=⎣⎢⎡​x10​⋮xm0​​⋯⋱⋯​x1n​⋮xmn​​⎦⎥⎤​●⎣⎢⎡​θ0​⋮θn​​⎦⎥⎤​=⎣⎡​θ0​x10​+θ1​x11​+…+θn​x1n​…θ0​xm0​+θ1​xm1​+…+θn​xmn​​⎦⎤​ E = h θ ( x ) − y = [ g ( A 1 ) − y 1 ⋮ g ( A m ) − y m ] = [ e 1 ⋮ e m ] = g ( A ) − y E=h_θ(x)-y= \begin{bmatrix} g(A_1) -y_1 \\ \vdots \\ g(A_m) -y_m \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_1 \\ \vdots \\ e_m \\ \end{bmatrix} = g(A) -y E=hθ​(x)−y=⎣⎢⎡​g(A1​)−y1​⋮g(Am​)−ym​​⎦⎥⎤​=⎣⎢⎡​e1​⋮em​​⎦⎥⎤​=g(A)−y    g ( A ) g(A) g(A) 的参数 A A A 为一列向量，所以实现 g g g 函数时要支持列向量作为参数，并返回列向量。 θ θ θ 的更新过程可以改为： θ j : = θ j − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x i j = θ j − α 1 m ∑ i = 1 m e i x i j = θ j − α 1 m x T E θ_j:=θ_j-α\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_θ(x_i)-y_i)x_i^j=θ_j-α\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}e_ix_i^j=θ_j-α\frac{1}{m}x^TE θj​:=θj​−αm1​i=1∑m​(hθ​(xi​)−yi​)xij​=θj​−αm1​i=1∑m​ei​xij​=θj​−αm1​xTE

3. 正则化

  过拟合 即过分拟合了训练数据，使得模型的复杂度提高，泛化能力较差（对未知数据的预测能力）。   可以使用正则化解决过拟合问题，正则化是结构风险最小化策略的实现，是在经验风险上加一个正则化项或惩罚项。正则化一般是模型复杂度的单调递增函数，模型越复杂，正则化项就越大。   正则项可以采取不同的形式，在回归问题中取平方损失，就是参数的 L 2 L2 L2 范数，也可以取 L 1 L1 L1 范数。取平方损失时，模型的损失函数变为： J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 n ( h θ ( x i ) − y i ) 2 + λ ∑ j = 1 n θ j 2 J(θ)=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{n}(h_θ(x_i)-y_i)^2+λ\sum_{j=1}^{n}{θ_j}^2 J(θ)=2m1​i=1∑n​(hθ​(xi​)−yi​)2+λj=1∑n​θj​2 说明：

  正则化后的梯度下降算法 θ θ θ 的更新变为： θ j : = θ j − α m ∑ i = 1 m ( h θ ( x i ) − y i ) x i j − λ m θ j θ_j:=θ_j-\frac{α}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_θ(x_i)-y_i)x_i^j-\frac{λ}{m}θ_j θj​:=θj​−mα​i=1∑m​(hθ​(xi​)−yi​)xij​−mλ​θj​

数据集：data.csv 说明：一共 100 条数据，前两列是数据的两个特征，第三列是分类结果（标签列） 代码如下：

结果截图： 下面的代码是用 python 直接写好的逻辑回归函数：以后直接使用。

运行结果截图：