x ( n ) x(n) x(n) 序列 的 傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 的 物理意义 :

傅里叶变换 : 根据 x ( n ) x(n) x(n) 求 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) ,

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n} X(ejω)=n=−∞∑+∞​x(n)e−jωn

傅里叶反变换 : 根据 X ( e j ω ) X(e^{j\omega}) X(ejω) 求 x ( n ) x(n) x(n) ,

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωkdω

注意上面的

傅里叶变换 物理意义 是 反应 信号 在 整个 数字角频率 ω \omega ω 上的 能量 分布 的情况 ;

任何一个周期函数 , 都可以使用 sin ⁡ \sin sin 函数来组合 ;

任何一个函数 x ( n ) x(n) x(n) 序列 , 都可以使用

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \cfrac{1}{2\pi} \int_{-\pi} ^\pi X( e^{j \omega } )e^{j \omega k} d \omega x(n)=2π1​∫−ππ​X(ejω)ejωkdω

表示 ,

其中 e j ω k e^{j \omega k} ejωk 是 单位复指数序列 ,

X ( e j ω ) X( e^{j \omega } ) X(ejω) 是傅里叶变换 ,

∫ − π π \int_{-\pi} ^\pi ∫−ππ​ 积分 表示 求和的极限过程 , 无数个 " 数字角频率 ω \omega ω " 在 [ − π , π ] [-\pi , \pi] [−π,π] 中 带有不同 加权系数 的 " 单位复指数序列 e j ω n e^{j\omega n} ejωn " 求和过程 ;

这些 " 复指数序列 " 代表 不同的 " 频率分量 " ,

加权系数 X ( e j ω ) X( e^{j \omega } ) X(ejω) 称为 x ( n ) x(n) x(n) 的 " 频谱密度函数 " ;

" x ( n ) x(n) x(n) 序列 " 的 " 序列傅里叶变换 S F T = X ( e j ω ) SFT =X( e^{j \omega } ) SFT=X(ejω) " , 本质上是 该 " x ( n ) x(n) x(n) 序列 " 的一种分解 ;

cos ⁡ ω 0 T \cos \omega_0T cosω0​T 的 傅里叶变换 :

信号的所有能量都集中在 ω 0 \omega_0 ω0​ 上 ,

傅里叶变换 反应 信号能量 在 频率 上的分布情况 ,

如果能量无穷 , 则在某个频率点的值是 无穷的 ;