前言：想要写出一篇令人眼前一亮的文章吗？我们特意为您整理了5篇平行线分线段成比例定理范文，相信会为您的写作带来帮助，发现更多的写作思路和灵感。

>（第二课时）

一、教学目标

1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.

2．使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.

3．已知线的成已知比的作图问题.

4．通过应用，培养识图能力和推理论证能力.

5．通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.

二、教学设计

观察、猜想、归纳、讲解

三、重点、难点

l．教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．

2．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、常用画图工具．

六、教学步骤

【复习提问】

叙述平行线分线段成比例定理（要求：结合图形，做出六个比例式）.

【讲解新课】

在黑板上画出图，观察其特点：与的交点A在直线上，根据平行线分线段成比例定理有：……（六个比例式）然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，这样即可得到：

平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例．

在黑板上画出左图，观察其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：（六个比例式），然后擦掉图中有关线，得到右图，这样即可证到：

平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，所以对应线段成比例．

综上所述，可以得到：

推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

如图，（六个比例式）．

此推论是判定三角形相似的基础．

注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，如果已知，DE是截线，这个推论包含了下图的各种情况．

这个推论不包含下图的情况．

后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）

例3已知：如图，，求：AE．

教材上采用了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.

让学生思考，是否可直接未出AE（找学生板演）．

【小结】

1．知道推论的探索方法．

2．重点是推论的正确运用

七、布置作业

一 三点定形法

利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

例1：如图1，ABCD是O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。求证BE・AD＝BC・CD。

分析：要证BE・AD＝BC・CD，即 ＝ 。

横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不

同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比

中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个

BEC，另一个比 中的线段CD、AD的三个不同的端点

也可以确定一个ACD，于是只要证明BEC∽DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。解决BEC∽DCA，这个过程成了整个问题的关键。

证明：连接AC。CE∥DB，∠BCE＝∠DBC。

∠DBC＝∠DAC，∠BCE＝∠DAC。

∠CBE＝∠ADC，BEC∽DCA。

＝ ，即BE・AD＝BC・CD。

例2：如图2，设点D、E分别为ABC的外接圆 、 的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G。求证：AF・AG＝DF・EG。

分析：要证AF・AG＝DF・EG，即 ＝ 。

横定：这个比例式的前项中的线段AF、DF它们有三个不同的端点，可以确定一个ADF；竖定：这个比例式的后项中的线段EG、AG它们有三个不同的端点，可以确定一个EAG，于是只要证明ADF∽EAG，这样，证明所需添加的辅助线AD、AE也就显示在眼前了。解决ADF∽EAG，这个过程成了整个问题的关键。

证明：如图2，联结AD、AE，D是 的中点。

，∠BAD＝∠AED。

同理可证∠ADE＝∠CAE。

ADF∽EAG；

＝ ；

AF・AG＝DF・EG。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

二 等量代换法

遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。

例3：如图3，在ABC中，AD平分∠BAC，AD的中垂线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD²＝FB・FC。

分析：欲证FD²＝FB・FC，即 ，运用三点定形

法不论怎样都定不出三角形，考虑用等量代换，即等线段代换，注意到题设中有EF是AD的中垂线，那么有FD＝FA，

于是要证明的比例式转化为 ＝ ，再用三点定形法可定

出AFB和CFA，要证这两个三角形相似也不难，从而辅助线连接也自然而成了。

证明FE是AD的中垂线；

FA＝FD ∠FAD＝∠FDA。

∠FAC＋∠CAD＝∠FAD，∠DAB＋∠B＝∠FDA。

又∠DAB＝∠CAD，所以∠FAC＝∠B。

∠AFC＝∠BFA，FAB∽FCA。

＝ ，FD²＝FA²＝FB・FC。

例4：如图4，AB是O的直径，CD切O于C，BDCD于D，CEAB于E。

求证：CD2＝AE・EB。

分析：欲证CD2＝AE・EB，即 ＝ ，应用三点定

形法不论怎样都定不出三角形，考虑用等量代换，即等线段代换，根据题设的条件，可证CD＝CE，于是要证明的比例式

转化为 ＝ ，再用三点定形法可定出ACE和CBE，要

证这两个三角形相似也不难，从而辅助线连接也自然而成了。

证明：连接BC、AC，并延长CE交O于F。

AB是O的直径，且CEAB， 。

∠DCB＝∠ECB。

BDCD，CEAB，∠BDC＝∠BEC＝90°。

BC＝BC，BDC≌BEC，CD＝CE。

AB是O的直径，∠ACB＝90°。

CEAB，ACE∽CBE。

＝ ，CD²＝CE²＝AE・EB。

三 等比代换法

当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。

例5：如图5，已知AB和CD是O的直径，且ABCD，弦AE交CD于F，DE交AB于P，求证：AP・FO＝BP・AO。

分析：要证AP・FO＝BP・AO，即 ＝ ，用三点

定形法无法解决，再考虑等线段代换，结论中的四条线段只有AO与图中CO、OB、OD三条线段相等，但不论怎样替换，都无法找到相似三角形，在这种情况下，可以考虑利用比例式搭桥的方法，那么图中是否有等比呢？有已知条件发现，

EP是∠AEB的平分线，所以 ＝ ，这是根据三角形内

角平分线有关的性质，于是要证 ＝ ，则要证 ＝ ，

从而根据三点定形法，需要连接BE，再证明AEB和AOF即可。

证明：见图5，连接BE。

AB和CD是O的直径，且ABCD。

，∠AEP＝∠BED 即∠AEP＝∠BEP。

EP平分∠AEB， ＝ 。

AB是O的直径，∠AEB＝90°。

ABCD，∠AOF＝90°。

∠AEB＝∠AOF。

∠FAO＝∠BAE，AEB∽AOF。

＝ ， ＝ ，即AP・FO＝BP・AO。

四 等积代换

例6：如图6，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线交于点P，E为O上的一点，A为 的中点，DE交AB于点F，求证：PF∶PA＝PB∶PO。

分析：求证中成比例的四条线段在同一条直线上，无法直接导出相似三角形，也找不到中间比，注意到求证转化为乘积式PF・PO＝PA・PB，由相交弦定理易证PA・PB＝PC・PD，因此解决此题的关键在于将PA・PB转化为PC・PD，从而待证明等积式变为PF・PO＝PC・PD，利用直接法可证。

证明：连接OC，见图6所示：

∠AOC的度数＝ 的度数，∠EDC的度数＝ 的

度数＝ 的度数。

∠AOC＝∠EDC，∠POC＝∠PDF，∠OPC＝∠DPF。

POC∽PDF，PD∶PO＝PF∶PC，即PF・PO＝PC・PD。

又由相交弦定理得PA・PB＝PC・PD。

第一部分

常见辅助线做法

等腰三角形:

1.

作底边上的高，构成两个全等的直角三角形

2.

作一腰上的高；

3

.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。

梯形

1.

垂直于平行边

2.

垂直于下底，延长上底作一腰的平行线

3.

平行于两条斜边

4.

作两条垂直于下底的垂线

5.

延长两条斜边做成一个三角形

菱形

1.

连接两对角

2.

做高

平行四边形

1.

垂直于平行边

2.

作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形

3.

做高——形内形外都要注意

矩形

1.

对角线

2.

作垂线

很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

解几何题时如何画辅助线?

①见中点引中位线，见中线延长一倍

在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。

②在比例线段证明中，常作平行线。

作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。

③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有

1、过上底的两端点向下底作垂线

2、过上底的一个端点作一腰的平行线

3、过上底的一个端点作一对角线的平行线

4、过一腰的中点作另一腰的平行线

5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交

6、作梯形的中位线

7、延长两腰使之相交

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线

初中数学辅助线的添加浅谈

人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。

一．添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们

把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：

（1）平行线是个基本图形：

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

（2）等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

（4）直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

（6）全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

（7）相似三角形：

相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

（8）特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明

（9）半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

二．基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

（1）连对角线或平移对角线：

（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形

（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

（1）在梯形内部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形内平移两腰

（4）延长两腰

（5）过梯形上底的两端点向下底作高

（6）平移对角线

（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。

（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。

（9）作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

（1）见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。

（2）见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角“这一特征来证明问题。

（3）见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直“这一性质来证明问题。

（4）两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

（5）两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二：垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

七：切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

第二部分

常考题型解析

三角形中作辅助线的常用方法举例

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1：已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

证明：（法一）将DE两边延长分别交AB、AC

于M、N，

在AMN中，AM＋AN

＞

MD＋DE＋NE;（1）

在BDM中，MB＋MD＞BD；

（2）

在CEN中，CN＋NE＞CE；

（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：）如图1-2，

延长BD交

AC于F，延长CE交BF于G，

在ABF和GFC和GDE中有：

AB＋AF＞

BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。

分析：因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是EDC的外角，

∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∠BDC＞∠BAC

证法二：连接AD，并延长交BC于F

∠BDF是ABD的外角

∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。

分析：要证BE＋CF＞EF

，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。

证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，

在DBE和DNE中：

DBE≌DNE

（SAS）

BE＝NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：CF＝NF

在EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）

BE＋CF＞EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。

四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例如：如图4-1：AD为ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EF

证明：延长ED至M，使DM=DE，连接

CM，MF。在BDE和CDM中，

BDE≌CDM

（SAS）

又∠1＝∠2，∠3＝∠4

（已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）

∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°

∠FDM＝∠EDF

＝90°

在EDF和MDF中

EDF≌MDF

（SAS）

EF＝MF

（全等三角形对应边相等）

在CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）

BE＋CF＞EF

注：上题也可加倍FD，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。

例如：如图5-1：AD为

ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：

AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋

BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

AD为ABC的中线

（已知）

BD＝CD

（中线定义）

在ACD和EBD中

ACD≌EBD

（SAS）

BE＝CA（全等三角形对应边相等）

在ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）

AB＋AC＞2AD。

（常延长中线加倍，构造全等三角形）

练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2，

求证EF＝2AD。

六、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。

分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，

再连接PN，则PC＝PN，又在PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。

证明：（截长法）

在AB上截取AN＝AC连接PN

,

在APN和APC中

APN≌APC

（SAS）

PC＝PN

（全等三角形对应边相等）

在BPN中，有

PB－PN＜BN

（三角形两边之差小于第三边）

BP－PC＜AB－AC

证明：（补短法）

延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，

在ABP和AMP中

ABP≌AMP

（SAS）

PB＝PM

（全等三角形对应边相等）

又在PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)

AB－AC＞PB－PC。

七、延长已知边构造三角形：

例如：如图7-1：已知AC＝BD，ADAC于A

，BCBD于B，

求证：AD＝BC

分析：欲证

AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：ADC与BCD，AOD与BOC，ABD与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，

ADAC

BCBD

（已知）

∠CAE＝∠DBE

＝90°

（垂直的定义）

在DBE与CAE中

DBE≌CAE

（AAS）

ED＝EC

EB＝EA

（全等三角形对应边相等）

ED－EA＝EC－EB

即：AD＝BC。

（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）

八

、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。

例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC

求证：AB=CD。

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：连接AC（或BD）

AB∥CD

AD∥BC

（已知）

∠1＝∠2，∠3＝∠4

（两直线平行，内错角相等）

在ABC与CDA中

ABC≌CDA

（ASA）

AB＝CD（全等三角形对应边相等）

九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。

例如：如图9-1：在RtABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CEBD的延长于E

。求证：BD＝2CE

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：分别延长BA，CE交于点F。

BECF

（已知）

∠BEF＝∠BEC＝90°

（垂直的定义）

在BEF与BEC中，

BEF≌BEC（ASA）CE=FE=CF

（全等三角形对应边相等）

∠BAC=90°

BECF

（已知）

∠BAC＝∠CAF＝90°

∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∠BDA＝∠BFC

在ABD与ACF中

ABD≌ACF

（AAS）BD＝CF

（全等三角形对应边相等）

BD＝2CE

十、连接已知点，构造全等三角形。

例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形ABO和DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则ABC和DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：连接BC，在ABC和DCB中

ABC≌DCB

(SSS)

∠A＝∠D

(全等三角形对应边相等)

十一、取线段中点构造全等三有形。

例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D

求证：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有ABN≌

DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有NBM≌NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在ABN和DCN中

ABN≌DCN

（SAS）

∠ABN＝∠DCN

NB＝NC

（全等三角形对应边、角相等）

在NBM与NCM中

NMB≌NCM，(SSS)

∠NBC＝∠NCB

（全等三角形对应角相等）∠NBC＋∠ABN

＝∠NCB＋∠DCN

即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中线段的比值

例1.

如图1，在ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。

解：过点D作DG//AC，交BF于点G

所以DG：FC＝BD：BC

因为BD：DC＝1：3

所以BD：BC＝1：4

即DG：FC＝1：4，FC＝4DG

因为DG：AF＝DE：AE

又因为AE：ED＝2：3

所以DG：AF＝3：2

即

所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2.

如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD

解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC

因为AF＝FC

所以AF：AC＝1：2

即EF：GC＝1：2，

因为CG：DE＝BC：BD

又因为BC＝CD

所以BC：BD＝1：2

CG：DE＝1：2

即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝

所以EF：FD＝

小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3.

如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。

解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。

所以DF：BG＝CD：CB

因为BD：DC＝1：3

所以CD：CB＝3：4

即DF：BG＝3：4，

因为AF：BG＝AE：EB

又因为AE：EB＝2：3

所以AF：BG＝2：3

即

所以AF：DF＝

例4.

如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。

解：过点D作DG//CE，交AB于点G

所以EF：DG＝AF：AD

因为AF＝FD

所以AF：AD＝1：2

图4

即EF：DG＝1：2

因为DG：CE＝BD：BC，又因为BD：CD＝1：3，

所以BD：BC＝1：4

即DG：CE＝1：4，CE＝4DG

因为FC＝CE－EF＝

所以EF：FC＝＝1：7

练习：

1.

如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

2.

如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1、1：10；

2.

9：1

初中几何辅助线

一

初中几何常见辅助线口诀

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

注意点

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

二

由角平分线想到的辅助线

口诀：

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；

②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线

（一）、截取构全等

几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。

如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OED≌OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．

如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。

例2．

已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DCAC

分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。

例3．

已知：如图1-4，在ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD

分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？

练习

1．

已知在ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC

2．

已知：在ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE

3．

已知：在ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CM>AB-AC

4．

已知：D是ABC的∠BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CD>AB+AC。

（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．

如图2-1，已知AB>AD,

∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。

例2．

如图2-2，在ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求证：BC=AB+AD

分析：过D作DEBC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。

例3．

已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。

分析：连接AP，证AP平分∠BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PDOA，

如果PC=4，则PD=（

）

A

4

B

3

C

2

D

1

2．已知在ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：如图2-5,

∠BAC=∠CAD,AB>AD，CEAB，

AE=（AB+AD）.求证：∠D+∠B=180 。

4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD

的中点，F为BC

上的点，∠FAE=∠DAE。求证：AF=AD+CF。

5．

已知：如图2-7，在RtABC中，∠ACB=90 ,CDAB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。求证CF=BH。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．

已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）

分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例2．

已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

求证：AM=ME。

分析：由AD、AE是∠BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有BF//AE，所以想到利用比例线段证相等。

例4．

已知：如图3-4，在ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CMAD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）

分析：题设中给出了角平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作ABD关于AD的对称AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作ACM关于CM的对称FCM，然后只需证DF=CF即可。

练习：

1．

已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，且CEAE于E，连接DE，求DE。

2．

已知BE、BF分别是ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AFBF于F，AEBE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC

（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。

1

2

A

C

D

B

例4

如图，AB>AC,

∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

例5

如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。

B

D

C

A

A

B

E

C

D

例6

如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

练习：

1.

已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：ABC是直角三角形。

C

A

B

2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DCAC

A

B

D

C

1

2

3．已知CE、AD是ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD

A

E

B

D

C

4．已知：如图在ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+AD

A

B

C

D

三

由线段和差想到的辅助线

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、

已知如图1-1：D、E为ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.

证明：（法一）

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）

在BDM中，MB+MD>BD；（2）

在CEN中，CN+NE>CE；（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

AB+AC>BD+DE+EC

（法二：图1-2）

延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在ABF和GFC和GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）

GF+FC>GE+CE（同上）（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。

分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是EDC的外角，

∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∠BDC>∠BAC

证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是ABD的

外角，∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∠BDF+

∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD为ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF。

分析：要证BE+CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，

在DBE和NDE中：

DN=DB（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

ED=ED（公共边）

DBE≌NDE（SAS）

BE=NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：CF=NF

在EFN中EN+FN>EF（三角形两边之和大于第三边）

BE+CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点

求证：AB-AC>PB-PC。

分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在PNB中，PB-PN

即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）

在AB上截取AN=AC连接PN,在APN和APC中

AN=AC（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

APN≌APC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）

在BPN中，有PB-PN

BP-PC

证明：（补短法）

延长AC至M，使AM=AB，连接PM，

在ABP和AMP中

AB=AM（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

ABP≌AMP（SAS）

PB=PM（全等三角形对应边相等）

又在PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)

AB-AC>PB-PC。

D

A

E

C

B

例1．如图，AC平分∠BAD，CEAB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，

求证：∠ADC+∠B=180º

例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。

D

C

B

A

求证：BC=AB+DC。

M

B

D

C

A

例4如图，已知RtABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DMAB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。

1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。

E

D

C

B

A

2.如图，ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的异侧，

BDAE于D，CEAE于E。求证：BD=DE+CE

四

由中点想到的辅助线

口诀：

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，

因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。

ΔCDF的面积为。

（二）、由中点应想到利用三角形的中位线

例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。

证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，

ME是ΔBCD的中位线，

MECD，∠MEF=∠CHE，

MF是ΔABD的中位线，

MFAB，∠MFE=∠BGE，

AB=CD，ME=MF，∠MEF=∠MFE，

从而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中线应想到延长中线

例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD和ΔEBD中，

AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，

ΔACD≌ΔEBD，AC=BE，

从而BE=AC=3。

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，

BD===，故BC=2BD=2。

例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

证明：延长AD到E，使DE=AD。

仿例3可证：

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

又∠1=∠2，

∠1=∠E，

AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜边中线的性质

例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。

证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。

AB//DC，

∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，

∠1=∠2，

在ΔADE和ΔBCE中，

DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，

ΔADE≌ΔBCE，AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。

证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

ΔBEF≌ΔBEC，EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

ΔABD≌ΔACF，BD=CF，BD=2CE。

注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。

（六）中线延长

口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例一：如图4-1：AD为ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CF>EF。

证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在BDE和CDM中，

BD=CD（中点定义）

∠1=∠5（对顶角相等）

ED=MD（辅助线作法）

BDE≌CDM（SAS）

又∠1=∠2，∠3=∠4（已知）

∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）

∠3+∠2=90°

即：∠EDF=90°

∠FDM=∠EDF=90°

在EDF和MDF中

ED=MD（辅助线作法）

∠EDF=∠FDM（已证）

DF=DF（公共边）

EDF≌MDF（SAS）

EF=MF（全等三角形对应边相等）

在CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）

BE+CF>EF

上题也可加倍FD，证法同上。

注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。

例二：如图5-1：AD为ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

分析：要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE

AD为ABC的中线（已知）

BD=CD（中线定义）

在ACD和EBD中

BD=CD（已证）

∠1=∠2（对顶角相等）

AD=ED（辅助线作法）

ACD≌EBD（SAS）

BE=CA（全等三角形对应边相等）

在ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）

AB+AC>2AD。

练习：

1

如图，AB=6，AC=8，D为BC

的中点，求AD的取值范围。

B

A

D

C

8

6

2

如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。

B

E

C

D

A

3

如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AMDC。

D

M

CD

ED

AD

BD

4，已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

A

B

D

C

E

F

5．已知：如图AD为ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC

五

全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

1)

遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

2)

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

3)

遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4)

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

（一）、倍长中线（线段）造全等

1：（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

2：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

中考应用

（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．

（1）如图①

当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是

，

线段AM与DE的数量关系是

；

（2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0

（二）、截长补短

1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC

2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：

5:如图在ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

中考应用

（08海淀一模）

（三）、平移变换

1.AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证＞.

2：如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

（四）、借助角平分线造全等

1：如图，已知在ABC中，∠B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2：（06郑州市中考题）如图，ABC中，AD平分∠BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.

中考应用

（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

(第23题图)

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

A

C

E

F

B

D

图①

图②

图③

（2）如图③，在ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（五）、旋转

1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2：D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）

当绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）

若AB=2，求四边形DECF的面积。

3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为

；

中考应用

（07佳木斯）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．

当绕点旋转到时（如图1），易证．

当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

（图1）

（图2）

（图3）

（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.

(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;

(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.

（09崇文一模）在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.

探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．

图1

图2

图3

（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是

；

此时

；

（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III）

如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，

若AN=，则Q=

（用、L表示）．

六

梯形的辅助线

口诀：

梯形问题巧转换，变为和。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。

通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。常见的几种辅助线的作法如下：

作法

图形

平移腰，转化为三角形、平行四边形。

平移对角线。转化为三角形、平行四边形。

延长两腰，转化为三角形。

作高，转化为直角三角形和矩形。

中位线与腰中点连线。

（一）、平移

1、平移一腰：

例1.

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.

求CD的长.

解：过点D作DE∥BC交AB于点E.

又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形.

所以DE＝BC＝17，CD＝BE.

在RtDAE中，由勾股定理，得

AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.

所以AE＝8.

所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.

即CD＝8.

例2如图，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

解：过点B作BM//AD交CD于点M，

在BCM中，BM=AD=4，

CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，

所以BC的取值范围是：

5－4

2、平移两腰：

例3如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

所以

3、平移对角线：

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面积．

解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点．

A

B

D

C

E

H

AD∥BC

四边形ACED是平行四边形

BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4

在DBE中，

BD=3，DE=4，BE=5

∠BDE=90°．

作DHBC于H，则

．

例5如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：ACBD。

解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，

易得四边形BCED是平行四边形，

则DE=BC，CE=BD=，

所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，

所以在ACE中，，

从而ACCE，于是ACBD。

例6如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，

则四边形ACED是平行四边形，

即。

所以

由勾股定理得

（cm）

（cm）

所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。

（二）、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

例7如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

解：延长BA、CD交于点E。

在BCE中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

例8.

如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.

判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

解：四边形ABCD是等腰梯形.

证明：延长AD、BC相交于点E，如图所示.

AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，

DAB≌CBA.

∠DAB＝∠CBA.

EA＝EB.

又AD＝BC，DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.

而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，

∠EDC＝∠EAB，DC∥AB.

又AD不平行于BC，

四边形ABCD是等腰梯形.

（三）、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

例9如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。

解：连结BD，

由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；

由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，

所以RtBAD≌RtBED，

得AD=DE。

（四）、作梯形的高

1、作一条高

例10如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

证：过点D作DGAB于点G，

则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，

求：(1)腰AB的长；(2)梯形ABCD的面积．

A

B

C

DD

ED

FD

解：作AEBC于E，DFBC于F，又AD∥BC，

四边形AEFD是矩形，

EF=AD=3cm

AB=DC

在RtABE中，∠B=60°，BE=1cm

AB=2BE=2cm，

例12如图，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。

在RtABE和RtDCF中，

因为AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。

在RtBDF和RtCAE中

由勾股定理得BD>AC

（五）、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

例13如图，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE=（AB＋CD）①

在AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以

②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

例14如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2）。

证：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFD≌CFG

则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是BDG的中位线

从而EF//BG，且

因为AD//BG，

所以EF//AD，EF

3、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，

∠BAD=900，E是DC上的中点，连接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

解：分别延长AE与BC

，并交于F点

∠BAD=900且AD∥BC

∠FBA=1800－∠BAD=900

又AD∥BC

∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等)

∠AED=∠FEC

（对顶角相等）

DE=EC

（E点是CD的中点）

ADE≌FCE

（AAS）

AE=FE

在ABF中∠FBA=900

且AE=FE

BE=FE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

在FEB中

∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+

∠FEB=2∠CBE

A

B

D

C

E

F

例16、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，ABBC，E是CD中点，试问：线段AE和BE之间有怎样的大小关系？

解：AE=BE，理由如下：

延长AE，与BC延长线交于点F．

DE=CE，∠AED=∠CEF，

∠DAE=∠F

ADE≌FCE

AE=EF

ABBC，

BE=AE．

例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E为DC中点，EFAB于F点，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面积．

解：如图，过E点作MN∥AB，分别交AD的延长线于M点，交BC于N点．

A

B

C

D

E

F

M

N

DE=EC，AD∥BC

DEM≌CNE

四边形ABNM是平行四边形

EFAB，

S梯形ABCD=SABNM=AB×EF=15cm2．

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

1.

若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm，35cm，则它的腰长为__________cm.

2.

如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，则此等腰梯形的周长为（

）

A.

19

B.

20

C.

21

D.

22

3.

如图所示，AB∥CD，AEDC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，则梯形ABCD的面积为（

）

A.

130

B.

140

C.

150

D.

160

*4.

如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.

5.

如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

6.

如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ACBD，AD＋BC＝10，DEBC于E，求DE的长.

7.

如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.

**8.

如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中点，且AD＋BC＝CD，则DE与CE有何位置关系？（2）E是∠ADC与∠BCD的角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？

1．圆中作辅助线的常用方法：

（1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。

（2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

（3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。

（4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。

（5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BDOA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。

②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得RtABE。

图1（上）

图1（下）

（6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径，

（7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。

（8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。

（9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。

（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。

例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。

解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500

B是弧AC的中点

弧AB=弧BC

AB==BC

又OA=OB=OC

AOB≌BOC（S.S.S）

图2

∠OBC=∠ABO=500

∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800

∠CBD=1800

-

500-

500

∠CBD=800

答:∠CBD的度数是800.

例题2:如图3,在圆O中,弦AB、CD相交于点P，求证：∠APD的度数=（弧AD+弧BC）的度数。

证明：连接AC，则∠DPA=∠C+∠A

∠C的度数=弧AD的度数

∠A的度数=弧BC的度数

∠APD=（弧AD+弧BC）的度数。

图3

一、造直角三角形法

1.构成Rt,常连接半径

例1.

过O内一点M

,最长弦AB

=

26cm,最短弦CD

=

10cm

,求AM长;

2.遇有直径,常作直径上的圆周角

例2.

AB是O的直径,AC切O于A,CB交O于D,过D作O的切线,交AC于E.

求证:CE

=

AE;

3.遇有切线,常作过切点的半径

例3

.割线AB交O于C、D,且AC=BD,AE切O于E,BF切O于F.

求证:∠OAE

=

∠OBF;

4.遇有公切线,常构造Rt(斜边长为圆心距,一直角边为两半径的差,另一直角边为公切线长)

例4

.小

O1与大O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和O1、O2切于点B、C和D、E，并相交于P，∠P

=

60°。

求证：O1与O2的半径之比为1：3；

5．正多边形相关计算常构造Rt

例5.O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共部分的面积.

二、欲用垂径定理常作弦的垂线段

例6.

AB是O的直径,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.(1)求证:EC

=

DF;

(2)若AE

=

2,CD=BF=6,求O的面积;

三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形

例7.

AB是O直径,弦CDAB,M是上一点,AM延长线交DC延长线于F.

求证:

∠F

=

∠ACM;

四、切线的综合运用

1．已知过圆上的点，常_________________

例8.如图，

已知：O1与O2外切于P，AC是过P点的割线交O1于A，交O2于C，过点O1的直线AB

BC于B.求证：

BC与O2相切.

例9.如图，AB是O的直径，AE平分∠BAF交O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延长线于D点，且交AB于C点．

求证：CD与O相切于点E．

2.两个条件都没有,常___________________

例10.

如图，AB是半圆的直径，

AMMN，BNMN，如果AM+BN＝AB，求证:

直线MN与半圆相切；

例11.等腰ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.

求证:AC与D相切;

例12．菱形ABCD两对角线交于点O，O与AB相切。

求证：O也与其他三边都相切；

五、两圆相关题型

1．两圆相交作_____________________

例13.O1与O2相交于A、B，过A点作直线交O1于C点、交O2于D点，过B点作直线交O1于E点、交O2于F点.

求证:CE∥DF;

2.相切两圆作________________________

例14.

O1与O2外切于点P,过P点的直线分别交O1与O2于A、B两点，AC切O1于A点，BC交O2于D点。

求证：∠BAC

=

∠BDP；

3．两圆或三圆相切作_________________

例15.以AB=6为直径作半O,再分别以OA、OB为直径在半O内作半O1与半O2，又O3与三个半圆两两相切。

求O3的半径；

4．一圆过另一圆的圆心，作____________

例16.两个等圆O1与O2相交于A、B

两点，且O1过点O2，过B点作直线交O1于C点、交O2于D点.

求证：ACD是等边三角形；

六、开放性题目

例17．已知：如图，以的边为直径的交边于点，且过点的切线平分边．

（1）与是否相切？请说明理由；

（第23题）

（2）当满足什么条件时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．

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教学拾萃（一）

（一）一般方法：全等三角形的性质；2线段的垂直平分线或角平分线的性质；3等腰三角形的性质或“三线合一”的性质；4特殊四边形的性质；成比例线段；6圆中垂径定理，或切线长定理，或在同圆（等圆）中，等弧对等弦、弦心距等则弦等、弦等则弦心距等；7中间量传递；8计算证明

（二）特殊方法：方程法、面积法、三角函数法、补形法、反证法、同一法

大多数题有多种解法，需要对各种解法进行优化，找出最直接、最简单的一种有些题还需要用两种或两种以上的方法合并解决

例 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上

（）如图，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；

（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：AEF是等边三角形

分析与解 （）如图3，连结AC，在菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得ABC是等边三角形因为E是BC的中点，根据“三线合一”，可得AEBC因为∠AEF=60°，所以∠FEC=90°-∠AEF=30°，∠CFE=80°-∠FEC-∠C=80°-30°-20°=30°，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF

（2）如图4，连结AC，可得ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°因为AD∥BC，所以∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，所以∠AEB=∠AFC根据“AAS”定理，证得AEB≌AFC，所以AE=AF又因为∠EAF=60°，所以AEF是等边三角形

点评 此题主要运用了数形结合思想，合理构造辅助线，继而利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质证明线段相等

例2 如图，在ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F（）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；（2）求证：BE=DF

分析与解 （）根据平行四边形性质推出AD=BC，AB=CD，根据“SSS”证出ABC≌CDA；根据平行线性质推出∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，根据“AAS”证出AFD≌CEB；推出∠AEB=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据“AAS”证出ABE≌CDF；

（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAF=∠BCE因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，所以AFD≌CEB（AAS），所以BE=DF

点评 本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用主要考查了学生运用性质进行推理的能力当然，问题（2）也可以通过证明ABE≌CDF解决关键只要能找到分别有BE、DF为对应边的两个全等三角形

例3 如图6，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EFAB于点F，EF交BD于点G，设AD=a，BC=b

（）求CD的长度（用a，b表示）；

（2）求EG的长度（用a，b表示）；

（3）试判断EG与FG是否相等，并说明理由

分析与解 （）因为AB为半圆的直径，∠DAB=∠ABC=90°，所以DA、BC为半圆O的切线又因为CD与以AB为直径的半圆相切于点E，所以DE=DA=a，CE=CB=b，所以CD=a+b

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）　 A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根　 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根　2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（）　 A． B． C． D． 　3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） 　 A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥　4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） 　 A． B． C． D． 　5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） 　 A． 1 B． 2 C． 4 D． 8　6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）　 A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0　7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） 　 A． B． C． 1 D． 2　8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） 　 A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π） 　10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．　11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为． 　12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=，F2015（4）=；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．　14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 　15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．　16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．　17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 　18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 　19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．　20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．　21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 　22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=；tan∠AOD=； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=．　23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．　24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）． 　25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（）　 A． 有两个不相等的实数根 B． 有两个相等的实数根　 C． 没有实数根 D． 无法确定是否有实数根考点： 根的判别式． 分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A．点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．　2．在RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为（）　 A． B． C． D． 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．解答： 解：RtABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，sinA= = ．故选A． 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边：斜边=a：c．　3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） 　 A． 长方体 B． 正方体 C． 圆柱 D． 圆锥考点： 由三视图判断几何体． 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：D．点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．　4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） 　 A． B． C． D． 考点： 概率公式． 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答： 解：六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，抽到的座位号是偶数的概率是： = ．故选C．点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．　5．如图，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB=4，则A1B1的长为（） 　 A． 1 B． 2 C． 4 D． 8考点： 位似变换． 专题： 计算题．分析： 根据位似变换的性质得到 = ，B1C1∥BC，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把OC1= OC，AB=4代入计算即可．解答： 解：C1为OC的中点，OC1= OC，ABC和A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形， = ，B1C1∥BC， = ， = ，即 = A1B1=2．故选B．点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．　6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）　 A． y1＜0＜y2 B． y2＜0＜y1 C． y1＜y2＜0 D． y2＜y1＜0考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答： 解：A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，y1=﹣ ，y2=﹣ ，x1＜0＜x2，y2＜0＜y1．故选B．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．　7．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，ODAC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EFAB于F．若AC=2，则OF的长为（） 　 A． B． C． 1 D． 2考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据垂径定理求出AD，证ADO≌OFE，推出OF=AD，即可求出答案．解答： 解：ODAC，AC=2，AD=CD=1，ODAC，EFAB，∠ADO=∠OFE=90°，OE∥AC，∠DOE=∠ADO=90°，∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∠DAO=∠EOF，在ADO和OFE中， ，ADO≌OFE（AAS），OF=AD=1，故选C．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出ADO≌OFE和求出AD的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．　8．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于点O．点E为线段AC上的一个动点，连接DE，BE，过E作EFBD于F，设AE=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） 　 A． 线段EF B． 线段DE C． 线段CE D． 线段BE考点： 动点问题的函数图象． 分析： 作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G，分别找出线段EF、CE、BE最小值出现的时刻即可得出结论．解答： 解：作BNAC，垂足为N，FMAC，垂足为M，DGAC，垂足为G． 由垂线段最短可知：当点E与点M重合时，即AE＜ 时，FE有最小值，与函数图象不符，故A错误；由垂线段最短可知：当点E与点G重合时，即AEd＞ 时，DE有最小值，故B正确；CE=AC﹣AE，CE随着AE的增大而减小，故C错误；由垂线段最短可知：当点E与点N重合时，即AE＜ 时，BE有最小值，与函数图象不符，故D错误；故选：B．点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．　二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为　3π　cm2．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题．分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答： 解：由S= 知S= × π×32=3πcm2．点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式S= ．　10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为　24　m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， = ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．　11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为　x1=﹣2，x2=1　． 考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答： 解：抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．　12．对于正整数n，定义F（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：F（6）=62=36，F（123）=f（123）=12+32=10．规定F1（n）=F（n），Fk+1（n）=F（Fk（n））．例如：F1（123）=F（123）=10，F2（123）=F（F1（123））=F（10）=1．（1）求：F2（4）=　37　，F2015（4）=　26　；（2）若F3m（4）=89，则正整数m的最小值是　6　．考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 新定义．分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答： 解：（1）F2（4）=F（F1（4））=F（16）=12+62=37；F1（4）=F（4）=16，F2（4）=37，F3（4）=58，F4（4）=89，F5（4）=145，F6（4）=26，F7（4）=40，F8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此F2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，F4（4）=89=F18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．　三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　14．如图，ABC中，AB=AC，D是BC中点，BEAC于E，求证：ACD∽BCE． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题．分析： 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到ADBC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答： 证明：AB=AC，D是BC中点，ADBC，∠ADC=90°，BEAC，∠BEC=90°，∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，ACD∽BCE．点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．　15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　16．抛物线y=2x2平移后经过点A（0，3），B（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 计算题．分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点A和点B的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点A（0，3），B（2，3）分别代入得 ，解得 ，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．　17．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A，B两点，A点的横坐标为2，ACx轴于点C，连接BC．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数y= 图象上的一点，且满足OPC与ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得ABC的面积，再结合OPC与ABC的面积相等求得P点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，点A坐标为（2，4），点A在反比例函数y= 的图象上，k=2×4=8，反比例函数的解析式为y= ；（2）ACOC，OC=2，A、B关于原点对称，B点坐标为（﹣2，﹣4），B到OC的距离为4，SABC=2SACO=2× ×2×4=8，SOPC=8，设P点坐标为（x， ），则P到OC的距离为| |， ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，P点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标、在（2）中求得P点到OC的距离是解题的关键．　18．如图，ABC中，∠ACB=90°，sinA= ，BC=8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值． 考点： 解直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题．分析： （1）在ABC中根据正弦的定义得到sinA= = ，则可计算出AB=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD= AB=5；（2）在RtABC中先利用勾股定理计算出AC=6，在根据三角形面积公式得到SBDC=SADC，则SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，于是可计算出BE= ，然后在RtBDE中利用余弦的定义求解．解答： 解：（1）在ABC中，∠ACB=90°，sinA= = ，而BC=8，AB=10，D是AB中点，CD= AB=5；（2）在RtABC中，AB=10，BC=8，AC= =6，D是AB中点，BD=5，SBDC=SADC，SBDC= SABC，即 CD•BE= • AC•BC，BE= = ，在RtBDE中，cos∠DBE= = = ，即cos∠ABE的值为 ．点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．　19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题．分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答： 解：（1）由已知得：m≠0且=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，x2＜0，x2= ＜0，即m＜0， ＞﹣1， ＞﹣1，即m＞﹣2，m≠0且m≠2，﹣2＜m＜0，m为整数，m=﹣1．点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．　20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）y=﹣10x2+180x+400，y=﹣10（x﹣9）2+1210．1≤x≤10的整数，x=9时，y=1210．答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．　21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在O上，AD与O相切，射线AO交BC于点E，交O于点F．点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF．（1）求证：直线PC是O的切线；（2）若AB= ，AD=2，求线段PC的长． 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接OC，由AD与O相切，可得FAAD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是O的切线；（2）首先由勾股定理可求得AE的长，然后设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r，则可求得半径长，易得OCE∽CPE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段PC的长．解答： （1）证明：连接OC．AD与O相切于点A，FAAD．四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，FABC．FA经过圆心O，F是 的中点，BE=CE，∠OEC=90°，∠COF=2∠BAF．∠PCB=2∠BAF，∠PCB=∠COF．∠OCE+∠COF=180°﹣∠OEC=90°，∠OCE+∠PCB=90°．OCPC．点C在O上，直线PC是O的切线．（2）解：四边形ABCD是平行四边形，BC=AD=2．BE=CE=1．在RtABE中，∠AEB=90°，AB= ， ．设O的半径为r，则OC=OA=r，OE=3﹣r．在RtOCE中，∠OEC=90°，OC2=OE2+CE2．r2=（3﹣r）2+1．解得 ，∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．OCE∽CPE， ． ． ． 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．　22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CDAB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AECD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=　 　；tan∠AOD=　5　； 解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=　 　．考点： 相似形综合题． 分析： （1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由ACO∽DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在RtAFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF= ，AB= ，由AOE∽BOF，可以求出AO= ，在RtAOF中，可以求出OF= ，故可求得tan∠AOD．解答： 解：（1）如图所示： 线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD． AD=DE=2，AE=2 ．CDAE，DF=AF= ．AC∥BD，ACO∽DBO．CO：DO=2：3．CO= ．DO= ．OF= ．tan∠AOD= ．（3）如图3所示： 根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF= = ，AB= = ．FB∥AE，AOE∽BOF．AO：OB=AE：FB=5：2．AO= ．在RtAOF中，OF= = ．tan∠AOD= ．点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．　23．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质． 专题： 综合题；数形结合；分类讨论．分析： （1）只需将点A、B的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点B的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点C和D的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点D或C时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答： 解：（1）反比例函数y= 的图象经过点A（1，4）、B（m，n），k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点B，n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为C、D，解 ，得： 或 ，点C（﹣2，﹣2），点D（2，2）．①若a＞0，如图1， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点D时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点C时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣ ．|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣ ．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣ ．点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．　24．如图1，在ABC中，BC=4，以线段AB为边作ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．考点： 几何变换综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出ADE≌BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EMAF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FME= ，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．解答： 解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1， ∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2， 设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∠ADB=∠CDE=90°，∠ADE=∠BDC，在ADE与BDC中， ，ADE≌BDC，AE=BC，∠AED=∠BCD．DE与BC相交于点H，∠GHE=∠DHC，∠EGH=∠EDC=90°，线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，EF=CB=4，EF∥CB，AE=EF，CB∥EF，∠AEF=∠EGH=90°，AE=EF，∠AEF=90°，∠AFE=45°，AF= =4 ；②如图2，过E作EMAF于M，由①知：AE=EF=BC，∠AEM=∠FME= ，AM=FM，AF=2FM=EF×sin =8sin ．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．　25．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则S=mn为图形W的测度面积．例如，若图形W是半径为1的O，当P，Q分别是O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当P，Q分别是O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S=　1　；②如图4，当ABx轴时，它的测度面积S=　1　；（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的值为　2　；（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA|•|OB|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB|•|OC|求解即可；（2）先确定正方形有测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC|•|BD|求解．（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．解答： 解：（1）①如图3， OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，它的测度面积S=|OA|•|OB|=1，故答案为：1．②如图4， ABx轴，OA=OB=1．AB= ，OC= ，它的测度面积S=|AB|•|OC|= × =1，故答案为：1．（2）如图5，图形的测度面积S的值， 四边形ABCD是边长为1的正方形．它的测度面积S=|AC|•|BD|= × =2，故答案为：2．（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，当A，B或B，C都在x轴上时，如图6，图7， 矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AHx轴于点E，过C点作CFx轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形， 当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的值为m=EF，|y1﹣y2|的值为n=GF．图形W的测度面积S=EF•GF，∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∠CBF=∠BAE，∠AEB=∠BFC=90°，AEB∽BFC， = = = ，设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，在RTAEB中，AE2+BE2=AB2，16a2+16b2=16，即a2+b2=1，b＞0，b= ，在ABE和CDG中， ABE≌CDG（AAS）CG=AE=4a，EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，图形W的测度面积S=EF•GF=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积S取得值12+25× = ，a＞0，b＞0， ＞0，S＞12，综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤ ．点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值．