【高数】Abel定理,幂级数的和收敛半径,不同幂级数收敛半径的比较,缺项幂级数的解法 |
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目录 一、收敛区间及收敛点 二、收敛半径的变化 三、借助正项级数敛散性求幂级数收敛区间 四、缺项幂级数的解法 五、小结 一、收敛区间及收敛点,现对该形式的幂级数进行如下讨论。 1. 幂级数的收敛区间,对称中心是x0,收敛半径是R。 2. 经有限次的逐项求导或积分,不改变收敛半径R和收敛去间(x0-R, x0+R),但收敛域可能改变。 即收敛区间端点处的敛散性可能会改变。 3. 由Abel定理,若x1处收敛(x1≠x0),那么满足 |x-x0||x1-x0| 时的敛散性。 若x2处发散(x1≠x0),那么对满足 |x-x0|>|x2-x0| 的任何x值,均发散。 可简单理解为,已知一个收敛点,那么其他离收敛区间的中心更近的,就绝对收敛。比发散点更远的,就发散。 这部分是不是很像正项级数的比较审敛法,是的!事实上,当我们代入两个确定的x值时,比如x1和x3,而x3更近。此时,二者都是常数项函数,我们取绝对值,研究其是否绝对收敛。那么自然就有x1的级数>x3代入后的,又因为“大级数收敛则小级数收敛”,所以这个必然就收敛。 突然发现,幂级数和正项级数存在联系,这为我们求幂级数的收敛区间提供了线索,见标题二。 《2018考研数学中幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域》:http://kaoyan.xdf.cn/201706/10687275.html 文章给出了 x^n 及 (x-x0)^n 两种形式幂级数的Abel定理,以及例题。 4. 由3推出,当某点处条件收敛时,该点必然为区间端点。反之未必! 因为收敛区间的端点,是条件收敛或发散的。 二、收敛半径的变化1. 幂级数的和 《关于2个幂级数和的收敛半径的说明》:https://www.docin.com/p-1179115014.html 两个幂级数相加减,收敛半径 ≥ 原来的收敛半径的较小值。 2. 幂级数之间的比较:如级数a的通项|x2-x0| 的任何x值,均发散。 4. 当某点处条件收敛时,该点必然为区间端点。反之未必! 5. 缺项幂级数的解法: 思路一:代入通项时,注意脚标。思路二:变量替换。思路三:把 x 当成参数,按正项级数做。 |
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