拉普拉斯变换（Laplace transform）是傅里叶变换的 Plus 版本，它在傅里叶变换的基础条件上进行优化，使得对于任意情况的函数都能做拉普拉斯变换。

拉普拉斯正变换的定义如下 \[ F(s)=\int^{+\infty}_0f(t)e^{-st}dt \] 其中，\(s=\sigma+\mathrm{j}\omega\) 是一个复平面上的数。

拉氏变换的唯一条件是 \(\sigma>0\)，即 \(s\) 是复数平面中右半平面的数。

拉普拉斯逆变换的定义如下 \[ \newcommand{\j}{\mathrm{j}} f(t)=\frac{1}{2\pi\j}\int^{\sigma+\j\infty}_{\sigma-\j\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}{s} \] 在复变函数中，我们将 \(f(t)\) 称作原函数，\(F(s)\) 称作象函数（像函数），它们自己构成一对互逆变换，常记作 \(\mathscr{L}[f(t)]\) 和 \(\mathscr{L}^{-1}[F(s)]\)。

\[ u(t)\to \frac{1}{s} \]

\[ e^{-at}\to \frac{1}{a+s} \]

\[ t^n\to \frac{n!}{s^{n+1}} \]

简单的有， \[ t\to \frac{1}{s^2}\\ t^2\to \frac{2!}{s^3} \]

\[ \delta(t)\to 1 \]

特别地，如果是 \(t=t_0\) 时刻的冲激函数，此时有 \[ \delta(t-t_0)\to e^{st_0} \] 这是拉氏变换的时移特性。

\[ K_1f_1(t)+K_2f_2(t)\to K_1F_1(s)+K_2F_2(s) \]

比如说 \(f(t)=\sin{(\omega t)}\) 的拉氏变换，考虑 \[ \sin{\omega t}=\frac{e^{\mathrm{j}\omega t}-e^{-\mathrm{j}\omega t}}{2\mathrm{j}} \] 同时有 \[ e^{\mathrm{j}\omega t}\to \frac{1}{s-\mathrm{j}\omega}\\ e^{-\mathrm{j}\omega t}\to \frac{1}{s+\mathrm{j}\omega} \] 那么由叠加性可解 \[ \sin{\omega t}=\frac{1}{2\mathrm{j}}[\frac{1}{s-\mathrm{j}\omega}-\frac{1}{s+\mathrm{j}\omega}]=\frac{\omega}{s^2+\omega^2} \]

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t)\to sF(s)-f(0) \]

其中，\(f(0)\) 是 \(f(t)\) 在 \(t=0\) 时的起始值。

\[ \int^t_{-\infin} f(\tau)\mathrm{d}\tau\to \frac{F(s)}{s}+\frac{f^{-1}(0)}{s} \]

其中，\(f^{-1}(0)\) 是 \(\int^0_{-\infin} f(\tau)\mathrm{d}\tau\)。

可以看出，如果 \(f(t)\) 是零初值函数，那么

当 \(F(s)\) 除以 \(s\) 时，相当于对原函数积分；

当 \(F(s)\) 乘以 \(s\) 时，相当于对原函数微分。

所以我们也会将 \(\frac{1}{s}\) 称作积分环节；\(s\) 称作微分环节。

同时，在频域上也有相关的性质。 \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}F(s)\to -tf(t)\\ \int^\infin_sF(s)\mathrm{d}s\to\frac{f(t)}{t} \]

\[ f(t-t_0)\cdot u(t-t_0)\to F(s)\cdot e^{-st_0} \]

换句话说，当你在时域平移时，频域会乘以 \(e^{-st_0}\)（增强或减弱）。

\[ f(t)e^{-at}\to F(s+a) \]

\[ f(at)\to \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) \]

相当于时域缩小 \(a\) 倍，频域就会扩大 \(a\) 倍，反之亦然。

\[ \lim_{t\to0}f(t)=\lim_{s\to\infty}s\cdot F(s) \]

即时域的初值可以转化为频域的终值。

\[ \lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}s\cdot F(s) \]

即时域的终值可以转化为频域的初值。

\[ f_1(t)*f_2(t)\to F_1(s)F_2(s) \]

与傅里叶变换一样，时域卷积可以转化为频域乘积。

同理，频域卷积也相当于时域乘积 \[ \frac{1}{2\pi\mathrm{j}}[F_1(s)*F_2(s)]\to f_1(t)f_2(t) \]

一般来说一个拉氏正变换的结果一般是有理分式，即 \[ F(s)=\frac{a_ms^m+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots+a_0}{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots+b_0} \] 其中，\(a_i,b_i\) 均为实数，\(m,n\) 均为正整数。

同时，我们也可以改写成另一种形式，即 \[ F(s)=\frac{a_m(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{b_n(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)} \] 我们把 \(z_1,z_2,\cdots,z_m\) 称作 \(F(s)\) 的零点；而 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 称作 \(F(s)\) 的极点。

考虑对于所有有理式可因式分解（或部分分解）为 \[ F(s)=\frac{K_1}{s-p_1}+\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots \] 那么自然我们可以运用公式对其进行逆变换 \[ f(t)=K_1e^{p_1t}+K_2e^{p_2t}+\cdots \]

考虑因式分解后的结果中，我们主要求的是未知量 \(K_1,K_2,\cdots\)，那么不妨对式子进行变形 \[ (s-p_1)F(s)=K_1+(s-p_1)\frac{K_2}{s-p_2}+\cdots \] 那么当 \(s=p_1\) 时的值，就是 \(K_1\) 的值，即 \[ (p_1-p_1)F(p_1)=K_1 \] 考虑如下函数的逆变换 \[ F(s)=\frac{10(s+2)(s+5)}{s(s+1)(s+3)} \] 假设其形式是 \[ F(s)=\frac{K_1}{s}+\frac{K_2}{s+1}+\frac{K_3}{s+3} \] 那么 \[ K_1=sF(s)|_{s=0}=\frac{10\times(0+2)\times(0+5)}{(0+1)(0+3)}=\frac{100}{3} \] 同理 \[ K_2=-20,K_3=-\frac{10}{3} \] 那么得到因式分解结果为 \[ F(s)=\frac{100}{3s}-\frac{20}{s+1}-\frac{10}{3(s+3)} \] 那么其逆变换结果 \[ f(t)=\frac{100}{3}-20e^{-t}-\frac{10}{3}e^{-3t} \] 特别地，如果极点有重根，例如 \[ F(s)=\frac{1}{s(s+1)^2} \] 那么将会考虑分解为 \[ F(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2} \] 然后同理，依次计算 \[ A=\lim_{s\to0}sF(s)=1\\ B=\lim_{s\to1}(s+1)^2F'(s)=-1\\ C=\lim_{s\to1}(s+1)^2F(s)=1 \] 那么有逆变换结果 \[ f(t)=1-e^{-t}+te^{-t} \] 更扩展的，假设是 \(n\) 阶重根（极点），那么计算 \[ K_n=\frac{1}{(n-1)!}\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}^{n-1}s}(s+p_n)^nF(s) \]

考虑公式 \[ \newcommand{\j}{\mathrm{j}} f(t)=\frac{1}{2\pi\j}\int^{\sigma+\j\infty}_{\sigma-\j\infty}F(s)e^{st}\mathrm{d}{s} \] 拉普拉斯逆变换等于 \(F(s)e^{st}\) 的所有留数之和。

记在 \(s=p_i\) 极点处的留数为 \(r_i\)，那么 \[ F(s)\to \sum^n_{i=1}r_i \] 一般不作考点。