图7.1 中原胞基矢 （7.1） 倒格矢： （7.2）

证明见为知“石墨烯结构”

图1

布里渊区有两个角点： （7.3） 这两个点彼此是TR对，这个结论可以很容易地得到证明在六角BZ中，因为（这个等式从布里渊区的图证明）。

不会证明此结论

石墨烯最简单的紧束缚哈密顿量包括了最近邻点之间的跳跃。它是2X2哈密顿量，很容易地对角化在A、B位点的二次量子化算符基矢。对跳跃(见图7.1)，哈密顿量傅里叶变换在动量空间中为：

（7.4） (7.5）

不幸的是，此时哈密顿量不是布洛赫形式，即，其中，因为。我们能工作在这个基矢中并放弃布洛赫公式，但这将和前面章节中的结果不一致，并且would also preempt取代 the automatic identification of time reversal invariant points G/2 and -G/2, up to reciprocal lattice wavevectors。我们决定重建布洛赫公式通过对前面的哈密顿量作规范变换在B点， （7.6） (指数上应加一个负号，CB前面应该加一个i） 去得到布洛赫哈密顿量 其中

（7.7） 此规范变换使得布洛赫形式的哈密顿量对应于石墨烯晶格中轨道的不同规范选择。

由（7.7）证明过程知，（7.6）这样变换不会改变哈密顿量。 此（7.1)满足布洛赫定理

简单的紧束缚石墨烯哈密顿量显示了无质量狄拉克费米子的有趣物理。对于各向同性跳跃矩阵元（其实ta就是t1),在附近展开， 我们发现哈密顿量有狄拉克形式： （7.8） 在点（此K'不是（7.3）中的，而是=-K），有另一个狄拉克哈密顿量： （7.9）

如果不是将各向同性跳跃矩阵元取为1，而是t，则结果是将（7.8）、（7.9）中的3a/2变成3at/2。 以上两个公式证明：

在此问题中没有其他的狄拉克点。这些点的存在使得石墨烯是半金属，具有根本不同于绝缘体的性质，因为低能激发总是存在于这样一个系统中。 （7.8）、（7.9）就是二维无质量狄拉克或外尔哈密顿量，它们有锥形色散关系在K和K'点，如图2. 所以这些点称为狄拉克点，这些点的邻域称为能谷。σ矩阵反映了两个子晶格的赝自旋性质。而且，当考虑狄拉克点附近的低能激发时，我们发现会存在二重谷简并。引入ξ=±1来分别表示K和K'，则将（7.8）、（7.9）统一写成有效低能哈密顿量： （7.9.1）

图2 石墨烯的能量(能带结构)的推导就是将h（k）用久期方程求出能量，再在K点附近展开，可以得到能量与q的线性关系，具体见sunkai讲义，此求E的方法的成立原因在sunkai讲义紧束缚中有写。 求|Unk>的方法是将h（k）对应的矩阵方程求出本征态。但此方法成立的原因sunkai讲义中证明有问题，应从SSH模型笔记中的方法来证明。以后再证。 刘海文固体理论课还提到，两个狄拉克点的哈密顿量（7.8）、（7.9）还满足时间反演的Kramers定理： ，其实就是（7.10）

我们是通过对哈密顿量的展开来证明狄拉克点的存在，但所使用的哈密顿量不是一般性的。例如，它只包含具有C3对称性（即120度旋转对称性）的最近邻跳跃，它没有包括晶胞中位于A、B格点上的不同的势能等。加入小的微扰是否会导致狄拉克点能隙打开？若要保持系统是半金属，则允许加入什么扰动？若要打开能隙，则应加入什么扰动？ 所有这些问题需要去考虑石墨烯的对称性。

在A、B格点上具有相同的原子的六角格子有两个特征的对称性。一个是时间反演，它被提出：忽略了跳跃矩阵元的空间贡献，只要它们是实数。

从A跳跃到B和从B跳跃的A的跳跃t本来是互为复共轭关系，由于时间反演对称性，所以t=t∗，t是实数。

另一个是空间反演，它被提出：对于反演（其反演中心要么在晶胞键的中间，要么在六角格子的中心），如果晶格中的跳跃是对称的：它被清楚地提出在各向同性的跳跃情况。 具体见fig7.2：对于反演，1与反演之后的1，其跳跃t都是相同的。这就是空间反演对称性的含义。 下面分析这两个对称性对狄拉克费米子的影响，然后分析C3对称性的影响。

对无自旋费米子布洛赫哈密顿量，若系统有时间反演对称性，则： （7.10.1）

证明：bernvig第4章（4.14）[其中h(k)是数，不是矩阵]的证明过程中用了系统有时间反演对称性这个条件，故对矩阵形式的h(k)，应该也可以类似证明，在系统有时间反演对称性时，可以得到（7.10.1）成立。但我未证，没时间。

对时间反演算符T，还可以证明： （7.10.2）

证明：

由（7.10.1）、（7.10.2）得： （7.10）（刘海文固体理论课说这是Kramers定理）

（7.10）可以直接从（7.7）看出确实成立

已经知道（7.8），求（7.9）h(K'+q)=h(-K+q)，而由（7.10）知：。左边=，故，故 （7.11）

注意，只要在K、K'点，能隙有以下特殊的性质，则T本身不会阻止狄拉克费米子打开能隙： 如果在K点,而在K'点，，即这个系统保持了时间反演对称性。是质量项，它保持了TR对称性，但打开了一个能隙（可以通过久期方程法证明），物理意义：设A格点势能更大，B格点势能更小，则m代表了A格点上原子的势能与平均势能之差或平均势能与B格点势能之差。 以上就是说明了，虽然TR对称性仍然存在，但还是有能隙，说明TR对称性不能保护狄拉克点。

质量项:

例如六角晶格结构的氮化硼，由于A、B格点上有不同的原子，所以形成了有能隙的绝缘体。

一个问题:如果是石墨烯，A、B格点上都是碳原子，A、B格点的势能是否相同？以后再说。从后面内容及论文知，对A、B格点上都是碳原子，则A、B格点势能相等。

见fig.7.2。如果跳跃和位于格点的矩阵元在空间反演算符

(7.12) 的作用下没有改变，则哈密顿量也有空间反演对称性。 空间反演是幺正算符，它不包含复共轭算符，由于在反演下x和p都改变符号，故它使得[x,p]对易关系不变，这和时间反演情况不同，其中只有p在反演下改变符号。在以fig,7.2为反演中心的反演下，万尼尔算符变换： (7.13) 统一写成 （7.14）

从物理上理解，空间反演之前是在一个格点上产生粒子，反演之后是在反演之后的格点产生粒子，所以（7.13）成立。注意图1. 是σx的分量, （7.14）即

布洛赫算符在空间反演变换下： (7.15)

哈密顿量在空间反演下： ...... (7.16) 见（7.17）证明过程。

对于反演对称的石墨烯哈密顿量，即，则： (7.17)

系统有空间反演对称性，则的证明见曾书卷二292页。 (7.16)、（7.17）证明：

(7.17)只对A、B格点上势能相等、只考虑最近邻跳跃的情况成立。对BN，其A、B格点上势能不同，故有质量项，此时系统不具有空间反演对称性，(7.17)不成立。 空间反演对称性本身也不会保证狄拉克点的稳定性。如果在K点，我们打开能隙m，，若系统有空间反演对称性，则在K‘点， ，在K和K'点，质量项不同，所以这种质量项不是动量独立的。确实，这样一个质量项的全晶格实现由霍尔丹首先发现作为拓扑绝缘体的例子（陈绝缘体）。我们将在第8章分析它。

空间反演和时间反演分别不能保护狄拉克点的原因是它们都联系了一般的k到-k,因此不是真的施加了任何限制在一般k点的哈密顿量。 但是，当空间反演和时间反演对称性都存在时，它们联系了k和k，且在每个k点都分别对布洛赫哈密顿量施加了限制条件： (7.18)

证明：

一般地，两能级哈密顿量核的形式：

（7.19）写成此形式是因为

由（7.18）得： 得： （7.21）

故如果同时有时间反演和空间反演对称性，则没有σz质量项来打开能隙，所以狄拉克点是局域稳定的。这对狄拉克哈密顿量（7.8）、（7.9）意味着什么？如果在K点，哈密顿量是，我们不被允许去通过任何扰动给哈密顿量增加一个σz项。即使σx和σy项没有被两个对称性禁止，但如果扰动很小地改变了σx和σy项，则其实只是在k空间中移动了狄拉克点， （7.22） 故，在具有时间反演和空间反演对称性时，单个狄拉克点是局域稳定的，即没有小的微扰能打开能隙。大的微扰确实能打开能隙，但其打开能隙的原理有很大不同。 只要由时间和空间反演对称性保护的狄拉克费米子被禁止去打开能隙，则它们给了布洛赫波函数一个涡量，这和说贝里相位等于±π.(其中是贝里矢势，积分是对任何包围狄拉克点的回路积分）。因为矩阵σz是禁止的（无论乘一个常数项或甚至乘一个k的奇数或偶数次幂），因此在K和K’的哈密顿量都能写成矩阵： 。这样一个狄拉克费米子的贝里相位由给出，我们后面将证明此结论。注意σz的缺失是重要的，因为它允许我们写哈密顿量同时具有i,j=1,2而不是——in this case Aia would not be a square matrix （方阵）and defining a determinant (vorticity) would be impossible.The fact that vorticities can be defined when the dimension of the BZ(in this case,2)is equal to the codimension of the crossing (in this case, also 2 because we have two Pauli matrices)is no accident（偶然，意外）.The Wigner-vonNcumann classification says that a generic crossing has codimension 3—we need to tune three paramcters to obtain a degeneracy because there exist three anticommuting Pauli matrices whose coefficients need to be tuned to zero.However, the BZ provides for two parameters(kx， k,), which are tuned automatically, leaving us with only one tunableparameter needed to obtain a degeneracy.This would be the Dirac fermion mass,which would need to be fine-tuned to vanish.But, if time reversal and inversion are present, then the matrix that would couple to this remaining tunable parameter cannot exist, and degeneracies can happen without tuning-1.e., they arelocally stablc.The presence of inversion and time reversalis said to impose a reality condition on the Hamiltonian (the Hamiltonian can be made real by a gauge transformation). 后面还有一些内容，写得太简单，都不懂。由为知笔记brenevig第二章贝里曲率知，在K点，两能级系统，对负能带，贝里相位为pi。在K'点，...... 在计算此贝里相位时由两种方法，一种是第二章中由贝里曲率的另一表达式计算，一种是求本征态算： 。

Wigner-vonNcumann classification：

后面内容太简略，不懂

The stability of the Dirac nodes proved in the previous section is valid for any perturbation that respects T and I, as long as it is small. For example, we can break C3 and make the hopping on the bonds different, or we can add second and third nearest-neighbor hoppings. The second nearest-neighbor hopping does nothing because it is diagonal in the sublattice space (couples identical sublattices). What happens if the perturbation is large? What happens if we add large, arbitrary-range hopping terms in our Bloch Hamiltonian? It is clear that the Hamiltonian can be gapped. For example, pick\ta=\tb=0 in our graphene model, i.e., make a model of very anisotropic（各向异性） graphene with nonzero hopping in only one direction（即只在\tc方向上有跳跃）. The energy levels would then be土\tc （通过对（7.7）久期方程法可以得到）, thereby giving a fully gapped Hamiltonian. How did this happen? It turns out that Dirac modes can and will open a gap by coming together and annihilating at a TR-symmetric point; at this point, the dispersion has to be quadratic（二次的） in one direction.

为什么

This section analyzes this aspect of the problem. We show that if the Hamiltonian has C3 symmetry (on top of（在...之上） I and T), then the Dirac nodes are globally stable, and their position is fixed at the K and K' points in the BZ. If, however, C3 symmetry is broken, then the Dirac nodes can move off the K, K' points——and, upon large-enough perturbations, the two Dirac nodes can meet up and annihilate at a TR-invariant point in the BZ.

We now prove that, in the case where the Hamiltonian has the three symmetries T,I, and C3, the position of the Dirac nodes does not change and stays at （7.23） As stated previously, T and I guarantee the absence of σz terms in the Hamiltonian. However, with just T and I, the hopping can be anisotropic, the simplest example being a model with different nearest-neighbor hoppings. An extra C3 symmetry, i.e., rotation by 2π/3around a hexagon center in the lattice oI around the points A or B, adds extra constraints to the system. The C3 symmetry is manifest by(表现在） the fact that the hopping matrix elements must be invariant upon the cyclic change of （7.24）

图1

This C3 transformation is obvious if we take the2π/3rotation center to be either the center of the hexagon, one of the A-sites, or one of the B-sites. Note that this symmetry implies equal hopping parameters for the nearest-neighbor hopping A→B, but, in general, for nth next nearest-neighbor hopping, it does not imply equal hopping parameters. For example, for the hopping matrix element from site A to the third-nearest-neighbor site B (there are two third-nearest neighbor sites B, as given in fig.7.3), we have perfect C3 symmety even though the six matrix elements can break up into（分解为） two different matrix elements: （7.25） 其中。换句话说，C3对称性不要求对所有δ1,2,3的排列，t都相同，而仅对循环排列有要求对称性。从图7.3知，即使，但前面的项都符合C3对称性。

先分析最近邻哈密顿量，其中跳跃仅通过最近邻键发生。我们选择用（7.4）形式的哈密顿量而不用规范变换得到的（7.7）形式，因为这样C3对称性更容易施加。 （7.4）哈密顿量核的右上角的非对角元为： （7.26）

等号是因为提出了一项 (7.26)中t前面的负号去掉

无能隙点可以通过解以下方程得到： （7.27）

现在我们证明，长程跳跃不但不能打开一个能隙在微扰理论中（这个结论在前面几节狄拉克点的局域稳定性中已经得到了），而且也不能移动狄拉克点,无论扰动有多大。但是，我们不能保证引入长程微扰后，BZ中其他无能隙点不会缺失。为了证明无能隙点是稳定的，我们必须证明当C3对称性存在时，任何非对角矩阵元在k=K点消失（如果确实如此，则时间反演对称性保证了这个矩阵元也将在K'点消失）。考虑A格点和从此A格点到其他格点的跳跃。跳跃有两种： 1） There are hoppings that go through an even number of bonds （i.e. the vector that links a certain A-site with the site we want to hop onto can be expressed as a linear combination of a total even number of ，，δ1，2，3——the number of δ1， δ2，δ3， when added, is even）。 These hoppings couple sites in the same sublattice, i. e,** A to A and B to B **Because we cannot have any σz matrix by T and I combined, the term induced by these hoppings must be diagonal and proportional to the identity matrix（this is true even if C3 symmetry is absent, just due to T and I）。

以上结论应该可以证明

Hence, these terms are just an energy shift, which breaks the perfect particle-hole symmetry of graphene but cannot open a gap at the Dirac points

particle-hole symmetry不知道是什么，以后再说

2）More importantly, there are hoppings that go through an odd number of bonds and that couple a-sites with B-sites. These are important and must be treated with care. Its obvious that on the graphene Lattice, ，，δ1，2，3 span the space, so any vector can be written in terms of them but more importantly, any vector coupling an A-site and a B-site can be written in the form （7.29） 其中n1,2,3是整数，重要的是其满足： （7.30）

1 mod 3表示3m+1，m是整数

The preceding is true because of the chosen vector orientation of ，，δ1，2，3。We write each n as a multiple of 3 plus a remainder（余数）： （7.31）

上面的字母应该是αi

根据C3对称性，联系A、B格点的非对角矩阵元是相对于δ的循环排列： （7.33） （7.33）是右上角矩阵元。对于奇数个键的情况，右上角矩阵元应该可以证明也类似于第三次近邻跳跃的情况，没时间，证略。

前面fig7.3举了例子说明C3对称性要求对第三次近邻的跳跃，δ1,2,3的循环排列有对称性，t相同。这里是对奇数个键的跳跃情况，应该也可以类似证明对循环排列有对称性，数学问题，没时间，证略。 （7.33）说明：

此矩阵元还可以写成： （7.34）等号右边还应乘一项e3ik·mδ3和t。

若考虑k=K这个使得最近邻矩阵元消失的特殊点。由于 (7.35) 其中i=1,2

在K点，（7.34）右上角矩阵元为：

因此，我们证明了，当C3,T,I对称性都考虑（都存在）时，对于任何A、B格点之间的跳跃，其矩阵元在k=K点都消失。我们说，狄拉克点被时间反演、空间反演对称性局域保护（我们将看到两个狄拉克点可以湮灭并打开能隙，所以它们不是被全局保护），而狄拉克点被C3对称性全局保护。

（注意偶数个键的跳跃都是同种格点之间的跳跃，如A到A，B到B，而奇数个键的跳跃是联系了A和B格点）

When C3 symmetry is broken (we assume T and I are unbroken), there is nothing that stops the Dirac points from moving away from K. K'. It is easy to see that in the limit of high anisotropy（各向异性，此时就破坏了C3对称性）, the graphene Hamiltonian is fully gapped. For example, for t3» t1 , t2 , we have （在任何点都有能隙2t2,K点也是，故破坏了狄拉克点) It is hence clear that the absence of C3 symmetry spoils(破坏） the protection of Dirac modes. However, we know that for small anisotropy ，the Dirac nodes are stable because of the proof in section 7.4.1. How do the Dirac nodes gap? In the anisotropic case, Dirac nodes come at points Ko (;i!: K) and -Ko related by TR invariance. As such, as long as Ko =f:. -Ko (mod b 1,2), the Dirac nodes are stable and cannot gap because of the vorticity that they carry. However, when:

C3对称性破缺这一节内容写得太简略，不懂，以后再说。

之前分析了具有周期性边界条件的石墨烯，并讨论了对称性和狄拉克点的稳定性。结果表明，石墨烯显示了神奇的物理，但只是对bulk（周期边界条件），而不是对边界。现在考虑边界，我们将发现这些分析会导致第一个拓扑绝缘体——陈绝缘体的存在。

我们分析具有边界的石墨烯。不用变换矩阵方法，我们将用哈密顿量直接对角化方法。正如之前，各向同性哈密顿量： （7.44） i,j在六角格子上，且我们假设无自旋费米子。对具有自旋的费米子，我们增加额外的自旋量子数。在fig7.5中，我们考虑开边界条件在y方向和周期边界条件在x方向。 We consider open-boundary conditions in the y-direction and periodic- boundary conditions in the x-direction as in figure 7.5， with “zigzag”（弯曲） chains（shown in the figure）oriented at an angle of π/6 angle with respect to the horizontal, represented by the color red in figure 7.5. Because we have distinct不同的 A and B sites in the unit cell, we can count them along one red chain（fig. 7.5）as even and odd 2j-1， 2j， 2j+1， 2j+2，...-sites. If we have periodic boundary conditions in the x-direction, we make the fourier transform (7.45)

where Nx is the number of sites in the x-direction. The diagonalization of the Hamiltonian proceeds easily （7.46） 其中a1=a3,a是石墨烯晶格常数。

只对奇数格点进行规范变换，则： （7.47）

设此链在y方向有2Ly个格点，其中格点1是在A子晶格（这些条件保证了格点2Ly是在B子晶格）。 当kx=π/a1时，在链的首尾两端的格点1和格点2Ly没有和二聚化链的bulk联系，如图7.7. 在这种情况，边界态： （7.48） 在这两个态电子不能跳跃，被束缚，只有势能，故在单电子哈密顿量中可以说E=0，因此是零边界模，而bulk是完全二聚化的。 当远离kx=π/a1时，边界模有能量的色散关系，但是在Ly→∞的极限，边界模能量变为零。证明： 满足上面2pi/3和4pi/3之间的k点在kx的角度就是狄拉克点。

为什么

这代表了，在热力学极限下，局域在j=1边界，能量E趋于0的边界态。 注：书中83页还说能量色散关系在kx空间是e−Ly的量级，但我不会证明，我认为从薛定谔方程得到的结果就是（7.49），对（7.49）进行计算我也没求出能量色散关系是e−Ly的量级这个结论。但从fig7.8知，此结论可能是对的。

第二个边界模是在j=Ly的边界态，同理得：

现在我们有了在热力学极限下边界模的图像。在bulk，所有能带的色散关系将投影到kx轴，所以“bulk”能带将是fat。它们将变成零能量在狄拉克锥或点。在狄拉克锥之间的每个点，它们将变成两个不分散的边界模在零能量，这联系了它们正如在图7.8. 它们局域在样品的一端和另一端，任何“能耦合在相对的边界的模”的局域微扰不能提高简并度，因为它必须穿过整个样品去耦合它们。

以上结论及图7.8，书中没有证明，fig7.8色散关系的得出还应学石墨烯的电子结构综述论文，bernevig书中没写。

如果在狄拉克点打开一个能隙，边界模会发生什么？ 在无自旋情况，一些可能性： 情况1：首先，增加一项给了不同势能在A、B格点的项。正如在BN的情况。此项： （7.63） 其中m>0，m称为空间反演对称性破缺质量，或semenoff质量。The edge modes that terminate（have high amplitude）on sites A will go up in energy, whereas the edge modes that terminate on sites B will go down in energy. We hence have the situations in figures 7. 11， 7.12， 7.13 and 7 14， depending on whether the terminations are A-B, B-A, A-A, or B-B。 情况2：增加一项破坏了时间反演对称性并在系统中打开了能隙的一项。称为Haldane质量；因为到目前为止我们不知道如何将其加到晶格，所以我们加它在狄拉克费米子质量的能级，which, per sections 7.3.2 and 7.3. 1， means we need to add a mass of opposite sign to the Dirac fermions at K and K'. This mass term is a k-space-dependent term which cannot be looked at as a term that adds energy on localized sites. It is not an on-site term(即势能项）. As such, the edge modes will do completely different things than in the case of a BN-type（inversion-breaking）mass. We have seen that in the inversion-breaking case, the edge modes remain linked to the Dirac mass； i. e, the mass is identical at both cones, and the edge modes still connect the cones on the same side of the gap In the T-breaking case, a similar thing happens, but because the mass is negative at one cone and positive at the other cone, the edge modes will connect one cone with anothcr by crossing the gap, as in figures 7.15-7.18. The Hall conductance can be inferred推断 if we know where the edge modes in the figure are situated（位于） （i. e, on which side of the Laughlin cylinder）， but it can be only ±1. Thus, it is clear that a topological insulator with nonzero Hall conductance and that maintains lattice translational symmetry exists. We will find one in the next chapter.

以上写得太简略，不懂