频谱感知[1]作为一种频谱共享技术，可以缓解日益严峻的频谱资源紧张问题，而能量检测技术是实现频谱感知的主要方法.

通过研究发现，对于宽频带信号系统来说，当信噪比及信号占用率一定时，能量检测算法是否达到性能指标要求，主要取决于观测时长的长短以及判决门限的选取.目前针对有关宽频带信号能量检测中门限设定问题，提出了多种门限设定准则，工程中比较常用的有恒虚警概率准则(CFAR，constant false alarm rate)、恒检测概率准则(CDR，constant detection rate)以及最小错判概率准则[2-3].经过分析，上述准则都无法达到指标要求的检测性能.

笔者首先从宽频带信号能量检测模型入手，通过数学推导得出最小代价门限的闭式解，并在检测性能约束的条件下分析了性能指标对能量检测最优判决门限的限制；依据上述分析结合时域观测时长的长短给出宽频带信号能量检测的最优判决门限选取准则；通过仿真结果验证了结论的正确性.

宽频带信号能量检测的流程如图 1所示.

图 1中每一路采样信号的判决都是一个二元假设检验问题

其中：k=1, 2, …, N，为一次采样的点数，X(k)为信号，W(k)为噪声，Y(k)为频域信号的第k个频点样值，有

图 1中每一路采样信号的判决统计量为

假设高斯白噪声均值为零，方差为σw2，信号的平均功率为σs2，若观测时间Nt足够大，根据中心极限定理，每一路采样信号的判决统计量T近似服从高斯分布(Gaussian distribution)

根据以上分布，虚警概率Pf和检测概率Pd可用高斯Q(·)函数表示为

其中Vth为判决门限.

假设噪声误判为信号的代价损失系数为Cf，信号误判为噪声的代价损失系数为Cm，信号频点占用率为η，信噪比为，则总代价损失函数R为

为使R最小化，对R求导可得

令R′=0得

将式(8) 方程中的参数表示为

则原方程变为Vth2－AVth－B=0，解得

经过分析可得最小代价门限，相关分析类似于文献[3]中求最小错判率门限的分析

值得注意的是，当Cf=Cm=1时，最小代价门限便退化成了文献[4]中描述的最小错判率门限.

用Pd, des表示检测概率指标，Pf, des表示虚警概率指标.由虚警概率约束条件Pf≤Pf, des，可得门限的下限值Vth, CFAR

即，Vth, CFAR也就是由恒虚警概率准则得到的恒虚警率门限.同理，根据第2个约束条件Pd≥Pd, des可得门限的上限值

Vth, CDR即由恒检测概率准则得到的恒检测率门限.在一定的Pd, des和Pf, des性能约束下的能量检测，需要满足关系式Vth, CFAR≤Vth≤Vth, CDR.令Vth, CFAR=Vth, CDR，在一定信噪比条件下，检测性能约束下宽频带能量检测所需的最小观测时长为

若要满足关系式Vth, CFAR≤Vth, CDR，此时观测时长应满足关系式Nt≥N0.

检测性能约束下的宽频带信号能量检测，最优判决门限的选取应该是在满足虚警概率和检测概率指标要求的前提下，尽量使总的代价损失最小.上述问题建模为

首先给出检测性能约束条件下宽频带能量检测最优判决门限的选取准则.

当时域观测时长Nt < N0时，采用任何门限判决都不能同时满足Pd, des, Pf, des的指标要求，此时没有最优判决门限；当Nt≥max(N1, N2)时，最优判决门限为Vth, mincost；当N1 < Nt < N2时，最优判决门限为Vth, CDR；当N2 < Nt < N1时，最优判决门限为Vth, CFAR.最优判决门限由式(16) 给出.

其中，, , , .

为了使检测性能达到Pd, des和Pf, des的指标要求，时域观测时长应满足关系式(8).当Nt < N0时，检测性能约束下的宽频带能量检测可选门限的上限值已经比下限值小，所以不存在某个判决门限Vth可以同时满足Pd, des和Pf, des的指标要求，即当Nt < N0时，没有最优判决门限可选.

下面对Nt≥N0的情况进行讨论.通过对代价函数R的导数分析可知，判决门限在区间(-∞, Vth, 1)内变化时代价函数R单调递增，判决门限在区间(Vth, 1, Vth, 2)变化时代价函数R单调递减，判决门限在区间(Vth, 2, ∞)变化时代价函数R单调递增.因此可以根据可选门限的下限值Vth, CFAR和上限值Vth, CDR与Vth, 1和Vth, 2之间的相对大小关系分情况进行讨论.首先通过反证法证明不等式

证明 假设Vth, CFAR≤Vth, 1，即

将A和Vth, CFAR的表达式代入式(18) 可得

式(19) 左边为小于0的项，右边为大于0的项，而左边却大于等于右边，由此得出矛盾，不等式Vth, CFAR>Vth, 1得证.

因为Vth, CFAR>Vth, 1，所以根据Vth, CFAR、Vth, CDR与Vth, 2之间的相对大小关系可分成3种情况进行讨论.

情况1 Vth, CFAR≤Vth, 2≤Vth, CDR

在Vth, CFAR≤Vth, 2≤Vth, CDR的情况下，判决门限Vth=Vth, mincost可以同时满足Pd, des和Pf, des的指标要求.由2.1节代价函数R的导数分析可知，判决门限Vth在区间(Vth, CFAR, Vth, 2)内变化时，代价函数R单调递减，Vth在区间(Vth, 2, Vth, CDR)内变化时代价函数R单调递增，所以Vth, 2是代价函数R在区间(Vth, CFAR, Vth, CDR)内的全局最小值点，此时应该选Vth, 2作为最优判决门限，即Vth, opt=Vth, 2=Vth, mincost.

根据不等式Vth, CFAR≤Vth, 2可得

令Nt=t2, t>0，并且将参数表示为

将以上参数代入式(20) 并令其等于0可得

解得：.

将G、D的表达式代入t1可证得，所以t1舍去，得.若要满足Vth, CFAR≤Vth, 2，应满足关系式.

同样根据不等式Vth, CFAR≤Vth, CDR可得

令Nt=t2, t>0，并且将参数表示成

将参数代入式(23) 中可得t2+Et+F=0, t>0.解出，同样可证得，所以t1舍去，得t=，因此若满足Vth, 2≤Vth, CDR，Nt应满足.

经过以上分析可知，当Nt≥max(N1, N2)时，关系式Vth, CFAR≤Vth, 2≤Vth, CDR成立，此时应选最小代价门限作为最优判决门限，即Vth, opt=Vth, mincost.

情况2 Vth, 2Vth, CDR可得NtVth, CFAR可得Nt>N1，即当N1

当频点占用率η=0.1时，将相关参数代入式(11) 可得最小代价门限Vth, mincost=95.795 7，此时Vth, mincost>Vth, CDR，属于N1 图 6 图 6 图 6 检测概率

对图 4中的3条曲线对比可知，采用最小代价门限进行判决所引起的代价损失最小.通过图 5的虚警概率曲线可知，此时采用最小代价门限进行判决的虚警概率Pf始终高于Pf, des，即Pf>Pf, des.在此种情况下采用最小代价门限进行判决，虽然所造成的代价损失最小，但却不能满足虚警概率指标要求，因此不能选为最优判决门限.

由图 5和图 6可知，采用恒检测率门限和恒虚警率门限进行判决时，虚警概率和检测概率都可以满足指标要求，即Pf≤Pf, des且Pd≥Pd, des.由图 4的代价损失曲线对比可以看出，采用恒虚警率门限进行判决所引起的代价损失要比采用恒检测率门限判决造成的代价损失小.所以此时最优判决门限应为既可以满足性能指标要求又可使代价损失相对较小的恒虚警率门限.仿真结果与2.3节中的最优判决门限选取准则一致.

对于N1