本記事は4次方程式の解の公式を解説する記事です。本記事を読むにあたり、3次方程式の解の公式について知っているとより理解が深まると思われますので、以下の記事も合わせてご覧ください。

本記事の目標は4次方程式の解の公式を導出し、紹介することです。その他に、3次方程式と4次方程式の解の公式の歴史についても紹介しようと思います。

「4次方程式の解の公式が早く知りたい！」という方は4次方程式の解法まで飛んでください。

2次方程式の解の公式は古くから知られていました。3次方程式のベキ根による解法は、デル・フェロ(del Ferro)、タルタリア(Tartaglia)、カルダノ(Cardano)、フェラーリ(Ferrari)により、15世紀に見つけられました。4次方程式のベキ根による解法はフェラーリにより同時期に見つかられました。3次方程式の開放に関してカルダノとタルタリアの間で激しい争いがあった、というのは数学界隈では有名な話です。

当時のイタリアでは数学に関して金銭を賭けた公開討論会のようなことがなされていました。そのような場合、方程式の解法を知っていることはとても有利に働きました。そのため、当事者が数学的事実を発見してもすぐに公表されることはありませんでした。

3次方程式のベキ根による解法を最初に見つけたのはデル・フェロであると言われています。デル・フェロはこの公式を発表することなく亡くなってしまいましたが、公式は弟子に託していました。その一人フィオルはこの公式を使って公開討論会に勝ち続けていました。3次方程式に開放があるという噂をもとにタルタリアは独力で3次方程式の解法を発見し、フィオルとの勝負でも勝利しました。

これを聞いたカルダノは、タルタリアから3次方程式の解の公式を教えてもらいました。しかし、後にカルダノはデル・フェロがすでに3次方程式の解法を得ていたという噂をもとにボローニャに行き、デル・フェロの養子のナーヴェに愛、デル・フェロの遺稿を見せてもらうことになります。その時点でタルタリアが3次方程式の解法の最初の発見者でないと判断したカルダノはタルタリアとの約束を守る必要がないと考えて、著書『アルス・マグナ(Ars Magna)』を発表しました。これは当然タルタリアを激怒させましたが、カルダノは著書の中で、3次方程式の解法はデル・フェロが見つけたものであり、また、タルタリアも独立して解法を発見していて、自らはタルタリアから解の公式を教わったことを書いています。

故に、現代的な価値観から言えば、カルダノの態度は責められないかもしれません。ただ、この公式が「カルダノの公式」として世の中に流布したのは、ある意味では間違ったことです。このせいでカルダノは悪者として扱われることも多いのです。この辺の事情に関しては、『カルダノの生涯』が詳しいです。

なお、タルタリアというのは「どもる人」というあだ名であり、本当の名はフォンタナといいます。彼は子どもの頃、フランス軍による襲撃を受けて、その負傷の後遺症でどもるようになりました。後には彼自身「タルタリア」を名乗るようになりました。

では、4次方程式の解法について説明します。

これは3次方程式の場合と同じです。【代数学の基礎シリーズ】群論編 その9と合わせてご覧いただくと良いと思います。\begin{eqnarray}f(x)&=&(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)(x-\alpha_4)\\ \tag{1}&=&x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4\end{eqnarray}とします。

なぜこの場合、すなわち4次の項の係数が1の場合を考えるかというと、3次方程式の場合と同じです。4次方程式\(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\)において、「4次方程式」という仮定から\(a\neq 0\)です。故に$$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\Longleftrightarrow x^4+\frac{b}{a}x^3+\frac{c}{a}x^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$$となるため、$$a_1=\frac{b}{a},\quad a_2=\frac{c}{a},\quad a_3=\frac{d}{a},\quad a_4=\frac{e}{a}$$と書き直すことで、(1)の状況を考えれば良いことになります。

3次方程式のときと同様に、簡単な計算で\begin{eqnarray}&&a_1=-\sum_{1\leq i\leq 4}\alpha_i,\\&&a_2=\sum_{1\leq i