【第一章】【飞行器质心运动方程】

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【第一章】【飞行器质心运动方程】

2024-07-08 05:21:18| 来源: 网络整理| 查看: 265

1.1作用在飞行器上的外力

飞行器上外力可概括为：

①重力W；②推力T；③气动力A。其中③，气动力A由升力L、阻力D和侧力C组成。

特点：除了重力W过飞行器质心，一般情况下，其他外力不过质心。因此产生绕质心的力矩。

飞行器上外力矩可概括为：

①俯仰方向旋转力矩 M ；②偏航方向旋转力矩 N ；③滚转方向旋转力矩 L 。

一般在研究飞行器特性时，认为通过偏转操纵机构能够消除这些力矩；换言之，使作用在飞行器上的力矩始终保持平衡，外力矩为零，则外力都将通过质心。

1.1 作用在飞行器上的外力和外力矩 1.1.1升阻特性

由空气动力学可知：

气动力A由升力L、阻力D和侧力C的求解公式

其中的C_L，C_D，C_C，分别为升力、阻力、侧力系数。其值主要取决于马赫数Ma、雷诺数Re、迎角α、侧滑角β以及飞行器的外形。

（对于轴对称飞行器，例如导弹，侧力特性和升力特性是相同的；对于面对称飞行器，侧力只有在飞行器有侧滑飞行时才产生，一般来说β很小）

因此接下来主要讨论，升力和阻力特性。

1.升力特性

在给定飞行状态下，飞行器的升力由机翼（弹翼）、机身，平尾和舵面产生。

$C_{L}=C_{L,w,b}+C_{L,ht}+C_{L,\delta }$ ，其中， $C_{L.wb}$ 为翼身组合体升力系数； $C_{L.ht}$ 为平尾升力系数； $C_{L.\delta}$ 为升降舵偏转产生的升力系数。一般来说，升降舵产生的升力很小，主要作用是产生阻力。

全机的升力系数在小迎角范围内可表示为 $C_{L}=C_{L\alpha}(\alpha-\alpha_{0})$ ，其中 $C_{L\alpha}=\partial C_{L}/\partial \alpha$ 为全机升力系数斜率，是表征升力特性重要得到一个气动参数。（与之密切相关的有：飞行器气动外形和飞行马赫数）

其中 $\alpha_{0}$ 表示的是零升迎角（升力为0时，迎角的大小）

例如：不同展弦比 $\l$ 和后掠角 $χ$ 的飞机， $C_{L\alpha}$ 随 $Ma$ 的变化曲线也不相同。

1.2 不同 $χ$ 和 λ 时 $C_{L\alpha}$ 随 Ma 的变化曲线

$C_{L\alpha max}$ （最大升力系数）是表征升力特性的另一个重要气动参数。

$\alpha_{c}$ (临界迎角)是与最大升力系数相对应的迎角。

$C_{L.s}$ （允许升力系数）为为防止飞行器失速，规定的一个飞行器达到的最大升力系数。

失速前特点：

抖振：大多数飞行器在接近失速迎角 $\alpha_{s}$ 前，由于机翼处于不稳定的气流分离区内，或者在超过临界马赫数后激波位置不稳定，均会引起机翼不规则振动，这种现象称为机翼抖振。与之相对应的升力系数叫做 $C_{L.sh}$ 。（一般来说抖振的升力系数小于允许升力系数）

$C_{L.sh}、C_{L.\alpha}、C_{L.s}、C_{Lmax}、C_{L}$ 关系如图所示

1.3各类 $C_{L}$ 限制示意图

此外，飞行器在超声速飞行时，由于舵面操纵效率低，升力系数还要受到为保持俯仰平衡所需的舵面极限偏角 $\delta_{e.max}$ 的限制， $C_{L\delta.max}$ 随着 $Ma$ 增加而减小。

各种升力系数随着 $Ma$ 变化的规律：

对于一些机翼（或弹翼）与尾翼面积接近的飞行器，舵面偏转产生的 CL ．δ将不可忽略，在计算飞行性能和轨迹特性时，可近似通过俯仰力矩平衡条件，求得舵偏角与迎角之间的关系，即 $\delta_{e}=-\frac{C_{m\alpha}}{C_{m\delta}} \alpha$

其中 $C_{m\alpha},C_{m\delta}$ 分别为俯仰力矩系数对迎角和舵偏角的导数。

在计算舵偏角引起的升力后得出的全机升力系数称为平衡升力系数，用 $C_{L*}$ 表示。其相应的表达式为： $C_{L*}=C_{L\alpha.*}(\alpha-\alpha_{0})$

显然，对于正常式布局飞行器， $C_{L\alpha.*}C_{L\alpha}$ ;对于鸭式布局飞行器， $C_{L\alpha.*}C_{L\alpha}$ ，其迎角也稍有变化。

2.阻力特性

飞行器阻力可以分为：摩擦阻力、诱导阻力、压差阻力、干扰阻力和激波阻力等。

按照与升力有关可分为：零升阻力（与升力无关的阻力称为零升阻力），升致阻力（由升力引起的阻力）。阻力系数表示为：

$C_{D}=C_{D0}+C_{Di}=C_{D0}+AC^2_{L}$

$C_{D0}$ 为零升阻力系数， $A$ 为升致阻力因子或称极曲线弯度系数，两者都是 $Ma$ 和 $Re$ 的函数。

超声速飞机的极曲线

从图上可见， $Ma$ 小于 $0.6$ ，空气压缩性影响不明显。随着 $Ma$ 的增加，压缩性影响逐渐加深，波阻逐渐增加，曲线向右侧移动。

下图（a）为 $C_{D0}$ 随 $Ma$ 的变化曲线。亚音速时 $C_{D0}$ 主要是摩阻系数，它随 $Ma$ 变化很小；跨声速时，由于波阻的出现，使 $C_{D0}$ 剧增；而在超声速以后，激波强度随着 $Ma$ 的增大而减小，波阻系数也将随之减小。

$C_{D0}$ 随着 $Ma$ 的变化曲线

升致阻力因子 $A$ 与机翼有效展弦比 $\l_{e}$ 成反比，即

$\l_{e}=\frac{\l}{1+S_{b} / S}$

其中 $\l$ 为机翼几何展弦比； $S_{b}$ 为机身和发动机短舱所占据的机翼面积。

$A$ 随着 $Ma$ 的变化曲线

超声速时，对于钝头机翼，在亚音速前缘情况下，由于前缘吸力存在， $A$ 值增加不多；而在超声速前缘情况下，前缘吸力消失。则 $A\approx \frac{1}{C_{L\alpha}} = \frac{\sqrt{Ma^2-1}}{4}$ ，如实线所示。

若机翼前缘不带弯度且尖锐，则在整个 $Ma$ 范围内， $A=1/C_{L\alpha}$ ，其变化如图虚线所示。

3.升阻比

综合评定飞行器升阻特性的重要气动参数是飞行器的升阻比 $K$ ，即 $K=\frac{C_{L}}{C_{D}}$

它主要取决于飞行的 $Ma$ 和迎角 $\alpha$ 。在 $Ma$ 一定的曲线上，升阻比 $K$ 即是纵坐标 $C_{L}$ 与横坐标 $C_{D}$ 之比。

从坐标原点画曲线的切线，切点处对应的升租比最大，称为最大升阻比 $K_{max}$ 。与 $K_{max}$ 相关的迎角和升力系数分别称为有利迎角 $\alpha_{opt}$ 和有利升力系数 $C_{L.opt}$ 。

$\frac{1}{K} = \frac{C_{D}}{C_{L}} = \frac{C_{D0}}{C_{L}}+AC_{L}$

在最大升阻比状态下，零升阻力系数等于升致阻力系数

当 $K= K_{max}$ 时，阻升比最小。现在对 $C_{L}$ 微分，令其等于零，即：

$\frac{d}{dC_{L}}(\frac{C_{D}}{C_{L}})=-\frac{C_{D0}}{C^2_{L}}+A=0$ ，即 $C_{D0}=AC^2_{L.opt}$

$C_{L.opt}=\sqrt{\frac{C_{D0}}{A}}$ ， $K_{max}=\frac{C_{L.opt}}{C_{D}}=\frac{1}{2\sqrt{AC_{D0}}}$

一般情况下， $C_{D0}$ 增加 $20％$ ， $K_{max}$ 减小 $10％$ ，而 $C_{L.opt}$ 增大 $10％$ .

$\frac{dC_{L.opt}}{C_{L.opt}}=\frac{1}{2}{\frac{dC_{D0}}{C_{D0}}}$ , $\frac{dK_{max}}{K_{max}}=\frac{1}{2}{\frac{dC_{D0}}{C_{D0}}}$

1.1.2发动机推力

1. 涡轮喷气发动机

涡轮喷气发动机由压气机、燃烧室、涡轮和尾喷管等主要部件组成，如图所示。

涡轮喷气发动机简图

按照动量定理，在尾喷管完全膨胀的条件下，可导出推力 $T$ 的表示式为

$T=m^,(V_{j}-V_{i})$

其中 $T$ ——推力（ $N$ ）；

$m^,$ ——进入发动机的空气质量流量 $(kg·s^{-1})$

$V_{j}$ ——尾喷管喷出的气流速度 $m·s^{-1}$

$V_{i}$ ——进入进气道的气流速度，即飞行速度 $m·s^{-1}$

推力 $T$ 是评价涡轮喷气发动机效率最主要的性能指标。其大小主要取决于空气质量流量 $m^,$ 和喷气流速度 $V_{j}$ 。而这些参数又与飞行速度、飞行高度和发动机转速有关。

速度特性

在给定调节规律下，高度和转速一定时，发动机推力和耗油率随飞行速度或 $Ma$ 的变化关系，称为速度特性。

涡轮喷气发动机的转速特性曲线

涡轮喷气发动机速度特性曲线

这里可以考虑耗油率，控制智能体的油耗。

高度特性

发动机转速和飞行速度一定时，发动机推力和耗油率随飞行高度的变化关系，称为高度特性。

涡轮喷气发动机高度特性

其他空气喷漆发动机

（１）涡轮风扇发动机

（２）涡轮螺桨发动机

3.火箭发动机

火箭发动机简图

推进剂进入发动机时的速度为零，故推力公式可表示为

$T=m_{p}V_{j}+A_{j}(p_{j}-p_{0})$

$m_{p}$ ——推进剂的质量流量

$V_{j}$ ——燃气流在喷管出口处的速度

$A_{j}$ ——喷管出口处的面积

$p_{j}$ ——喷管出口处燃气的静压

$p_{0}$ ——— 喷管周围处大气静压

推力由 $m_{p}V_{j}$ （即为燃气流的反作用力）和 $A_{j}(p_{j}-p_{0})$ （即为静压力）组成。

1.2飞行器飞行操纵概念

飞行器在空中的运动，从力学的观点看决定于作用在飞行器上的外力。为实现飞行器的某些运动规律，如要求导弹按一定的导引规律飞向目标，并准确地命中目标；又如要求驾驶飞机接近目标、跟踪目标等，就必须改变作用在飞行器的力。

从前面介绍的作用在飞行器上的外力可知，重力 W 作用虽能引起轨迹变化，但其方向始终指向地心，不能人为改变，故称为不可控力 。余下的气动力 $A$ 和推力 $T$ ，是可以通过驾驶员或／和各类飞控系统（简称为自动器）操纵改变的，从而改变其飞行轨迹。故将这些力合成为 $N$ ，称为可控力，表示为 $N=A+T=L+D+C+T$

合力 $N$ 可以沿飞行速度方向和垂直速度方向分解为

$N_{n}=A_{n}+T_{n},A_{n}=L+C$ ; $N_{\t}=A_{\t} + T_{\t}= D+T_{\t}$

其中

① $N_{n}$ 为可控法向力。改变飞行器飞行速度方向。

② $N_{\t}$ 为可控切向力。改变飞行速度大小。

如将重力 $W$ 亦沿飞行速度方向和垂直速度方向分解为 $W_{n}$ 和 $W_{\t}$ ，那么有以下几种情况：

$1^。$ $W_{n}=N_{n}$ , $W_{\t}=N_{\t}$ 时，飞行处于平衡状态，飞行器将作等速直线飞行。

$2^。$ $W_{\t}N_{\t}$ ,飞行器将作减速直线飞行。

$3^。$ $W_{\t}N_{\t}$ ,飞行器将作加速直线飞行.

$4^。$ 当 $W_{\t}=N_{\t}$ ， $W_{n}N_{n}$ ,飞行器将向下方弯曲飞行。 $W_{n}N_{n}$ ,飞行器将向

上方弯曲飞行。

1.2.1 常规飞机的飞行操纵

这里指的常规飞机通常由机翼、机身和尾翼组成，且有一个纵向对称平面 ，即飞机左右构形对纵平面基本对称，故属于面对称飞行器 。

其操纵机构为升降舵、方向舵、副翼和油门杆 。

可控切向力的操纵可以通过油门杆调节发动机油门或反推力装置来改变推力切向分量 $T_{\t}$ ，或打开减速板增加阻力 D ，来达到增减飞行速度大小的目的。

可控法向力的控制常通过操纵升降舵改变飞机的俯仰姿态，形成迎角 α变化，从而改变；通过操纵副翼 ，则可改变飞机倾斜姿态，形成倾斜角 $\phi$ 变化，造成升力方向的改变，其水平分力的作用，使飞机水平方向轨迹发生变化升力 $L$ 的大小和方向，引起垂直方向的轨迹变化；通过操纵方向舵 ，会引起飞机的偏航姿态改变，形成侧滑角 $\beta$ 变化，从而产生侧力 $C$ ，同样可以引起水平方向的轨迹变化。

常规飞机飞行操纵原理 1.2.2 现代飞机的飞行操纵

现代飞机除了具有常规飞机的飞行操纵特点外，还可以利用发动机喷流转向产生推力分量，直接形成推力法向分量 $T_{n}$ 。若推力矢量不通过质心，还将改变飞机姿态，起到常规飞机升降舵和方向舵的操纵作用，改变法向力 $L,C$ 。由于其受外界气流影响比气动舵面要小，故适用于大迎角时的飞行操纵。

推力矢量的控制是通过喷管转向来实现的。目前采用的推力矢量喷管有二元收敛-扩散喷管和三元轴对称喷管。喷管上下摆动，可实现俯仰操纵；喷管左右摆动，可实现偏航操纵。如在喷管出口处安装一些可以转动的舵面，常称为燃气舵，在喷流作用下，这些舵也可起到空气舵的作用。

推力矢量操纵机构简图 1.2.3 导弹的飞行操纵

有翼导弹的外形大致可以分成两类：对称导弹和轴对称导弹。

面对称导弹的飞行操纵与飞机非常类似，不再重复。

轴对称导弹的构形特点是其导弹上每一部分相对弹体纵轴均匀对称，通常由两对弹翼、两对全动舵面和弹身组成。弹翼和舵面沿弹身周围均匀分布，在空中可呈 $“+”$ 或者 $“\times ”$ 形状，决定于发射、挂置和操纵等条件。

对于舵面按 $“+”$ 字形布局的导弹 ，偏转水平舵改变导弹的俯仰姿态 ，形成迎角，从而改变升力的大小和方向；通过偏转方向舵 ，改变导弹的偏航姿态 ，形成侧滑角 ，使侧向力大小和方向发生变化 。同时偏转水平舵和方向舵，则可产生导引导弹至空间的任何方向的法向力，如图所示。

对于舵面按 $“\times ”$ 字形布局的导弹，偏转 Ⅰ ，Ⅲ 舵面，导弹在 Ⅱ ～Ⅳ 舵面方向上产生法向力；偏转 Ⅱ ，Ⅳ 舵面，导弹在 Ⅰ ～ Ⅲ 舵面方向产生法向力。同时偏转两对舵面，可以产生导引导弹至空间任何方向的法向力。同样，为保持导弹的正常操纵，要求导弹滚转姿态保持稳定，即可保持导弹在空中 $“\times ”$ 字形不变。这可通过两侧舵面反向偏转实现。

导弹的飞行操纵原理 1.3常用的坐标轴系及其转换1.3.1 常用的坐标轴系1. 地面坐标系 $O_{g}x_{g}y_{g}z_{g}$

地面坐标系 2. 机体坐标系 $Ox_{b}y_{b}z_{b}$

飞机牵连铅垂地面固定坐标系

机体坐标系：其中 $Ox_{b}$ 轴载飞行器对称平面内，平行于机身轴线或者机翼的平均气动弦线。

气动力矩：三个分量（滚转力矩 $L$ ，偏航力矩 $N$ ，俯仰力矩 $M$ ）是对机体坐标系的三根轴定义的。

半机体坐标系 $Ox_{i}y_{i}z_{i}$ ：

半机体坐标系

稳定坐标系 $Ox_{s}y_{s}z_{s}$ ：

稳定坐标系 3. 气流坐标系 $Ox_{a}y_{a}z_{a}$

原点O位于质心， $Ox_{a}$ 沿飞机速度方向； $Oz_{a}$ 在飞机对称面内，垂直于 $Ox_{a}$ 指向下方； $Oy_{a}$ 垂直于 $Ox_{a}$ 、 $Oz_{a}$ 所在平面指向右方；符合右手系建立规定。

气动力三个分量（升力、阻力、侧力）是根据风轴系定义的，其中升力与阻力分别沿 $Oz_{a}$ $Ox_{a}$ 的负向。

4. 航迹坐标系 $Ox_{k}y_{k}z_{k}$

航迹坐标系 1.3.2 坐标转换矩阵

地轴坐标系转换到机体坐标系：

1.3.3 常用坐标系之间的关系

机体坐标系相对于飞机牵连铅垂地面固定坐标系的夹角。（欧拉角）

飞行速度矢量相对于体轴系的夹角

行速度矢量相对于地面的夹角

1、地面坐标系与机体坐标系

机体坐标系 $Ox_{b}y_{b}z_{b}$ 相对于地面坐标系 $Ox_{g}y_{g}z_{g}$ 的方位，或者说飞行器在空中的姿态，常用三个欧拉角表示。具体如下图所示。

地面坐标系与机体坐标系的关系

偏航角 $\psi$ ：机体轴 $Ox_{b}$ 在水平面 $Ox_{g}z_{g}$ 投影的与 $Ox_{g}$ 的夹角，规定右偏航为正。

俯仰角 $\theta$ ：机体轴在与水平面的夹角。

滚转角 $\phi$ ：机体轴包含 $Ox_{b}$ 的轴右滚转时与铅锤面的夹角。

其中从地面坐标系到机体坐标系的转换矩阵原理：

（1）首先让地面坐标系 $Ox_{g}y_{g}z_{g}$ 绕 $Oz_{g}$ 方向转过 $\psi$ （可以理解为先让机头摆正）。

（2）摆正机头，然后坐标系 $Ox^{’}_{g}y^{’}_{g}z_{g}$ 绕 $Oy_{g}$ 轴转过 $\theta$ ，让地面坐标系的 $Ox_{g}$ 与机体坐标系的 $Ox_{b}$ 重合。

（3）最后让第二次旋转后的坐标系绕 $Ox_{g}/Ox_{b}$ ，旋转 $\phi$ ，让机头旋转和机体坐标系重合，此时可将地面坐标系和机体坐标系重合。

从 $Ox_{g}y_{g}z_{g}$ 到 $Ox_{b}y_{b}z_{b}$ 的转换矩阵为： $L_{bg}=L_{x}(\phi)L_{y}(\theta)L_{z}(\psi)$

转换矩阵

2、地面坐标系与航迹坐标系

航迹坐标系相对地面坐标系的方位，根据两坐标轴系定义，其中 $O_{z_{k}}$ 和 $O_{z_{g}}$ 均位于垂直平面内，故只存在两个欧拉角 。

其中航迹坐标系一个坐标平面平行于水平面。可以将其先绕着 $Oz_{g}$ 旋转 $\psi_{a}$ (航迹方位角)摆正到速度在水平面的投影，然后将机头绕 $Oy_{g}$ 旋转 $\theta_{a}$ （爬升角）和速度方向相同。

$L_{kg}=L_{z}(\psi_{a})L_{y}(\theta_{a})$

地面坐标系与航迹坐标系

地面坐标系与航迹坐标系的关系

3.航迹坐标系与气流坐标系

航迹坐标系与气流坐标系间的相互关系，在无风情况下，其 $Ox_{a}$ 和 $Ox_{k}$ 是同轴的，因此只存在速度滚转角 $\phi_{a}$

$L_{ak}=L_{x}(\phi_{a})$

转换矩阵

4、地面坐标系与气流坐标系

气流坐标系相对地面坐标系的方位，明显地由三个欧拉角来确定（这个是速度方向与地面坐标的夹角） $\psi_{a}、\theta_{a}、\phi_{a}$

可以先从地面坐标系到航迹坐标系，然后再从航迹坐标系到气流坐标系。

$L_{ag} = L_{ak}L_{kg}=L_{x}(\phi_{a})L_{y}(\theta_{a})L_{z}(\psi_{a})$

地面坐标系与气流坐标系

但是，一般 $\psi_{a}、\theta_{a}、\phi_{a}$ 在后面一般用 $\chi 、\gamma、\mu$ 来表示。

5.气流坐标系与机体坐标系

也就是速度与机体轴之间的关系。

①迎角（AOA） $\alpha$ （速度在机体轴上方为正）

②侧滑角（SSA-side slip angle） $\beta$ (右侧为正)

$L_{ab}=L_{y}(\alpha)L_{z}(\beta)$

气流坐标系与机体坐标系

气流坐标系与机体坐标的关系 1.4飞行器质心运动方程

由理论力学可知，飞行器质心运动的描述，可用动量定理来表示。

$m\frac{dV}{dt}=F$ ，其中m 为飞行器质量，V 为飞行器飞行速度矢量，F为作用于质心处外力的合力矢量。对于飞行器速度、飞行高度不很大的情况，可以忽略地球曲率和自转带来的影响 ，平面地球坐标系可近似作为惯性坐标系。

1.4.1 一般动坐标系中质心动力学方程

取原点位于飞行器质心的一动坐标系 $Oxyz$ ,它相对惯性坐标系 $Ox_{g}y_{g}z_{g}$ 有一转动角速度 $\omega$ 。质心的绝对速度 $V$ ，如图所示。

动系相对于惯性坐标系的关系

将速度 $V$ 和角速度 $\omega$ 分别投影在动坐标系上，则有

$V=V_{x}i+V_{y}j+V_{z}k$

$\omega=\omega_{x}i+\omega_{y}j+\omega_{z}k$

由于 $\omega$ 存在，其方向将随着时间变化。

现在考虑速度 $V$ 的微分，即质心的绝对加速度，为

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV_{x}}{dt}i+\frac{dV_{y}}{dt}j+\frac{dV_{z}}{dt}k+V_{x}\frac{di}{dt}+V_{y}\frac{dj}{dt}+V_{z}\frac{dk}{dt}$

由图可知，单位矢量导数 $di/dt$ ，应该是矢量 $i$ 端点的速度。此时矢量曲线是绕 $\omega$ 旋转的一个园，故可得

$\frac{di}{dt}=\omega\times i$ ; $\frac{dj}{dt}=\omega\times j$ ; $\frac{dk}{dt}=\omega\times k$

把上述关系带入式中，质心的绝对加速度可表示为

$\frac{V}{t}=\frac{\delta V}{\delta t}+\omega\times V$

而 $\frac{\delta V}{\delta t}=\frac{dV_{x}}{dt}i+\frac{dV_{y}}{dt}j+\frac{dV_{z}}{dt}k$

其中 $\delta V/\delta t$ 为动系角速度 $\omega=0$ 时的加速度，即相当于观察者站在动坐标系中所看到的质心加速度； $\omega \times V$ 为由于存在角速度 $\omega$ 使 $V$ 相对于动坐标系方向发生变化而产生的加速度； $dV/dt$ 为质心的绝对加速度，即观察者在地面坐标系上所看到的加速度。

在动坐标系中表示的质心动力学矢量形式为：

$m(\frac{\delta V }{\delta t}+\omega \times V)=F$

同样将合力矢量 $F$ 用动坐标系上的投影表示为

$F=F_{x}i+F_{y}j+F_{z}k$

在动坐标系上投影的质心运动学标量有如下形式：

质心动力学标量

在研究飞行器性能、轨迹特性时，常采用航迹坐标系上投影的质心动力学方程。

1.4.2 航迹坐标系中质心动力学方程

在推导航迹坐标系中的质心动力学方程时，只要将速度、角速度及合外力在航迹坐标系 $Ox_{k}y_{k}z_{k}$ 中的投影直接代入上式即可。根据航迹轴系定义， $Ox_{k}$ 轴取飞行器质心运动方向，故

$V_{x}=V,V_{y}=V_{z}=0$

航迹坐标系与地面坐标系的相对位置，可先以角速度 $\dot{\psi_{a}}$ 绕 $Oz$ 轴转动，再绕当时的 $Oy$ 轴以角速度 $\dot{\theta_{a}}$ 转动而形成。因此航迹坐标系相对地面坐标系的角速度可表示为

$\omega = \dot{\psi_{a}}+\dot{\theta_{a}}$

通过转换矩阵，上式在航迹轴系的投影可以表示为

航迹坐标系相对地面坐标系的角速度

作用在飞行器质心上的外力中发动机推力 $T$ 一般位于飞行器对称平面内，有时会与机体轴 $Ox_{b}$ 构成安装角 $\varphi$ 。为此先将 $T$ 投影在机体轴系上，可表示为

$[T_{x}\ T_{y}\ T_{z}]^T_{k}=[Tcos\varphi \ 0 \ -Tsin\varphi]^T$

随后通过转换矩阵 $L_{kb}=L_{ka}L_{ab}=L_{ak}^TL_{ab}$ ,得到推力 $T$ 在航迹坐标系上的投影

$\begin{bmatrix}T_{x}\\T_{y}\\T_{z}\\\end{bmatrix} = L_{kb}\begin{bmatrix}T cos\varphi \\0\\- Tsin\varphi \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\alpha + \varphi)cos\beta\\sin( \alpha + \varphi)sin\phi_{a}-cos(\alpha + \varphi)sin\beta cos\phi_{a}\\-sin(\alpha + \varphi)cos\phi_{a}-cos(\alpha +\varphi)sin(\beta )sin(\phi_{a})\\\end{bmatrix}$

空气动力 $A$ 一般在气流坐标系中定义，分别用升力 $L$ 、阻力 $D$ 、和侧力 $C$ 表示，即

$[A_{x}\ A_{y}\ A_{z}]^T_{a}=[-D\ C\ -L]^T$

同样，通过转换矩阵 $L_{ka}=L^T_{ak}$ 得到气动力在航迹坐标系上的投影

$\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\\\end{bmatrix}=L_{ka}\begin{bmatrix}-D\\C\\-L\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-D\\Ccos\phi_{a}+Lsin \phi_{a} \\ Csin\phi_{a}-Lcos\phi_{a}\\\end{bmatrix}$

重力 $mg$ 的方向沿着地面坐标系 $Oz_{g}$ 方向给出，再用转换矩阵可得在航迹坐标系上的投影

$m\begin{bmatrix}g_{x}\\ g_{y}\\ g_{z}\\\end{bmatrix}=L_{kg}m\begin{bmatrix}0\\ 0\\ g\\\end{bmatrix} = m \begin{bmatrix}-gsin\theta_{a} \\0 \\ gcos\theta_{a} \\\end{bmatrix}$

将速度、角速度和各外力的投影式均代入式后，最终得出航迹坐标系中的飞行器质心动力学方程组的标量形式

对于气动坐标系与地面坐标系的夹角，可以将 $\phi_{a}、\theta_{a}、\psi_{a}$ 换成 $\chi 、 \gamma 、 \mu$ 来表示

$m\frac{dV}{dt} = Tcos(\alpha +\varphi) -D-mgsin\gamma\\mVcos \gamma \frac{d\chi}{d\t}= T [sin(\alpha +\varphi)sin\mu -cos(\alpha +\varphi)sin\beta cos\mu ] + Ccos\mu + Lsin\mu\\-mV\frac{d\gamma}{dt }=T[-sin(\alpha +\varphi)cos\mu -cos(\alpha +\varphi)sin\beta sin\mu]+Csin\mu - Lcos\mu +mgcos\gamma$

发动机推力矢量 1.4.3 飞行器质心运动学方程

为确定飞行器在空间的飞行轨迹，还需要建立飞行器质心的运动学方程。首先将飞行速度 $V$ 投影至地面坐标系

$\begin{bmatrix}V_{x}\\V_{y}\\V_{z}\\\end{bmatrix} = L_{gk}\begin{bmatrix}V\\0\\0\\\end{bmatrix} = L^T_{kg}\begin{bmatrix}V\\0\\0\\\end{bmatrix}$

随后考虑到地轴系速度分速分别是质心空间坐标的微分,并利用转换矩阵式，即可得

$\frac{dx_{g}}{dt} = Vcos\gamma cos \chi\\ \frac{dy_{g}}{dt} = Vcos\gamma sin \chi\\ \frac{dz_{g}}{dt} = -Vsin\gamma$

该方程组描述了质心空间位置随时间的变化规律。

1.4.4 飞行器质心运动方程讨论

1.方程的封闭情况

从上面导出的飞行器质心运动方程组共由六个方程组成，即三个质心动力学方程和三个质心运动学方程。

$\frac{dx_{g}}{dt} = Vcos\gamma cos \chi\\ \frac{dy_{g}}{dt} = Vcos\gamma sin \chi\\ \frac{dz_{g}}{dt} = -Vsin\gamma$

方程的未知数由上两式可知，有表示速度大小和方向的 $（V, \chi, \gamma）$ ，质心在空间位置的 $(x_{g},y_{g},z_{g})$ ，航迹轴系与体轴系之间相互位置的 $(\alpha,\beta,\mu)$ 。作用在飞行器质心上的外力，是一些参数的函数。其中

气动力 $A = f(V,H,\alpha,\beta,\delta_{a},\delta_{r},\delta_{e})$

其中 $\delta_{a}$ 为副翼偏角， $\delta_{r}$ 为方向舵偏角， $\delta_{e}$ 为升降舵偏角；

发动机推力 $T=f(V,H,\delta_{p})$

其中 $\delta_{p}$ 为油门杆得到位置

重力 $W=f(H)$

可见，这些外力除了与已列出的运动参数有关外，还与操纵机构偏角 $(\delta_{a},\delta_{r},\delta_{e},\delta_{p})$ 有关。因此整个质心运动方程组共有未知数十三个。显然未知数与方程式的个数不封闭，必须补充其他方程，才能求解得出运动轨迹。

这里应指出的是，在研究飞行器性能、轨迹时，飞行器是近似作为一个质点来处理的，认为作用在飞行器的外力矩始终处于平衡状态，实际上隐含了三个关系式，即力矩平衡方程

$\sum\nolimits L=0, \sum\nolimits M = 0, \sum\nolimits N = 0$

余下的四个未知数，显然与飞行器的操纵有关。对于无控飞行器来说，操纵变量为零或为常值，此时在给定初始条件下，即可通过方程组联立求解，得出相应的轨迹运动。但对于可控飞行器来说，则必须根据其操纵特点，给出相应的附加关系式，才能保证未知数和方程式封闭。

2、理想操纵关系式

飞行器的操纵过程是通过操纵机构（舵面、油门杆）偏转，改变法向力和切向力大小来实现

的。当飞行器期望的运动参数与实际的瞬态运动参数不相符时，即存有误差时，就发出控制信号。例如控制飞行器的俯仰角系统，其误差可写成

$\Delta \theta=\theta_{*}-\theta$

其中 $\theta_{*}$ 为期望的值， $\theta$ 为实际瞬时态，此时通过偏转升降舵来消除误差，可近似地表示为

$\Delta \delta_{e}=K_{\theta}(\theta_{*}-\theta)$

其中 $K_{\theta}$ 为操纵系统的传递系数。

由此可知，与操纵有关的方程应该是操纵机构与运动参数之间的关系。在研究飞行器性能，初步设计飞行轨迹时，可假设操纵系统能无误差地工作，飞行器的运动参数能按所期望的规律变化。这样，其误差关系式表示为

$\varepsilon _{i}=x_{*}-x=0 \ \ (i=1,2,3,4)$

其中 $x_{*}$ , $x$ 分别表示期望的和瞬态的运动参数。

这些关系式称为理想操纵关系式。它保证飞行器沿着预定轨迹飞行。习惯上，常用第一和第二个理想操纵关系式来控制飞行器的飞行速度方向 ；第三个理想操纵关系式用来保持正常操纵的协调关系 ；第四个操纵关系式则用来控制飞行器飞行速度的大小 。

例如，轴对称飞行器的导弹保持等速直线飞行时，其理想操纵关系可表示为

$\varepsilon _{1}=\gamma_{*}-\gamma=0\\ \varepsilon _{2}=\chi_{*}-\gamma=0\\ \varepsilon _{3}=\mu=0\\ \varepsilon _{4}=V_{*}-V=0$

式中第一式为俯仰方向控制；第二式为偏航方向控制；第三式保持滚转姿态，即保证操纵机构正常工作；第四式控制飞行速度。

又如，面对称飞行器作正常盘旋时，其理想操纵关系为

$\varepsilon _{1}=\gamma=0\\ \varepsilon _{2}=\mu_{*}-\mu=0\\ \varepsilon _{3}=\beta=0\\ \varepsilon _{4}=V_{*}-V=0$

显然，式中第一式保持俯仰方向不变；第二式为通过倾斜实现偏航方向控制；第三式保持无侧滑的协调操纵；第四式控制飞行速度。

实际飞行过程中，要实现无误差操纵，则要求操纵系统的传递系数中的 Kθ 为无穷大，这是不可能的。但其操纵方程仍然是操纵机构与运动参数之间的关系，写成一般约束方程形式为

$\varphi_{1}( ··· \varepsilon_{i} ···\delta_{i}··· )=0\\ \varphi_{2}( ··· \varepsilon_{i} ···\delta_{i}··· )=0\\ \varphi_{3}( ··· \varepsilon_{i} ···\delta_{i}··· )=0\\ \varphi_{4}( ··· \varepsilon_{i} ···\delta_{i}··· )=0$

操纵方程的具体形式，决定于飞行操纵任务，详细内容见第9-12章。

3.质量变化方程

对于大型飞行器，特别是某些导弹，其燃油量很大，因此在飞行过程中飞行器质量变化较大；一方面新的空气不断地进入发动机，另一方面燃气流又连续地向后喷出，随之飞行器质量、构形都随着时间变化。此时飞行器运动规律应由变质量动力学来确定，比起刚体飞行器动力学要复杂些。

但在工程上常采用所谓“固化原理”处理，即在任意瞬时，把变质量物体设想为虚拟刚体，所有的质点被固化在虚拟刚体上，刚体将由瞬时的所有质点组成。采用“固化原理”假设后，就可把所研究的瞬态变质量物体的运动方程写成常质量刚体的运动方程形式。此时飞行器质量则应视作变量，其变化规律为

$\frac{dm}{dt}=m_{f}=\frac{\s T} g{}$

由此可知，质心运动方程为：

$\frac{dx_{g}}{dt} = Vcos\gamma cos \chi\\ \frac{dy_{g}}{dt} = Vcos\gamma sin \chi\\ \frac{dz_{g}}{dt} = -Vsin\gamma$

$\varepsilon _{i}=x_{*}-x=0 \ (i=1,2,3,4)\\ \frac{dm}{dt}=m_{f}=\frac{\s T} g$

1.4.5 质心在铅垂平面内的运动方程

在研究飞行器性能和轨迹特性时，常把飞行器质心运动分为在铅垂平面内的运动和在水平平面内的运动两部分。所谓飞行器质心在铅垂平面的飞行是指飞行器不倾斜、无侧滑，飞行器对称平面与质心运动轨迹所在的铅垂平面相重合的飞行。此时飞行速度矢量和作用于质心上的外力均位于对称平面内，故这种飞行又称对称飞行 。在此条件下，前面建立的方程可相应地简化。

1、动力学方程

显然，对称飞行的条件为

$\phi=\mu=0,\beta=0,\frac{d\chi}{dt}=0$