假设 n = k - 1 时成立 当 n = k 时，假设其中一个特征值为 λ 1 \lambda_1 λ1​，由引理1可知， λ 1 \lambda_1 λ1​必为实数，可以找到它对应的特征向量中的一个单位向量 η 1 \eta_1 η1​。另外再可以找到一个正交阵 T = ( η 1 , η 2 , ⋯   , η n ) T=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) T=(η1​,η2​,⋯,ηn​)。 T − 1 A T = ( T − 1 A η 1 , T − 1 A η 2 , ⋯   , T − 1 A η n ) T^{-1} A T = (T^{-1}A \eta_1, T^{-1}A \eta_2,\cdots, T^{-1} A \eta_n) T−1AT=(T−1Aη1​,T−1Aη2​,⋯,T−1Aηn​) 其中， A η 1 = λ 1 η 1 A\eta_1=\lambda_1\eta_1 Aη1​=λ1​η1​，所以 T − 1 A T T^{-1}AT T−1AT 可以表示为： T − 1 A T = ( T − 1 λ 1 η 1 , T − 1 A η 2 , ⋯   , T − 1 A η n ) T^{-1} A T = (T^{-1}\lambda_1 \eta_1, T^{-1}A \eta_2,\cdots, T^{-1} A \eta_n) T−1AT=(T−1λ1​η1​,T−1Aη2​,⋯,T−1Aηn​)

根据正交矩阵的定义， T − 1 T = E T^{-1}T = E T−1T=E，即： ( T − 1 η 1 , T − 1 η 2 , ⋯   , T − 1 η n ) = E (T^{-1}\eta_1,T^{-1}\eta_2,\cdots,T^{-1}\eta_n) = E (T−1η1​,T−1η2​,⋯,T−1ηn​)=E 由此可得： T − 1 η 1 = ( 1 , 0 , ⋯   , 0 ) T T − 1 η 2 = ( 0 , 1 , ⋯   , 0 ) T ⋯ T − 1 η n = ( 0 , 0 , ⋯   , 1 ) T T^{-1}\eta_1 = (1,0,\cdots,0)^T\\ T^{-1}\eta_2 = (0,1,\cdots,0)^T\\ \cdots\\ T^{-1}\eta_n = (0,0,\cdots,1)^T T−1η1​=(1,0,⋯,0)TT−1η2​=(0,1,⋯,0)T⋯T−1ηn​=(0,0,⋯,1)T 则： T − 1 A T = ( T − 1 λ 1 η 1 , T − 1 A η 2 , ⋯   , T − 1 A η n ) = ( λ 1 T − 1 η 1 , T − 1 A η 2 , ⋯   , T − 1 A η n ) = [ λ 1 α 2 ⋯ α n ⋮ 0 P n − 1 ⋮ ] \begin{align*} T^{-1} A T &= (T^{-1}\lambda_1 \eta_1, T^{-1}A \eta_2,\cdots, T^{-1} A \eta_n)\\ & = (\lambda_1T^{-1} \eta_1, T^{-1}A \eta_2,\cdots, T^{-1} A \eta_n) \\ & = \begin{bmatrix} \lambda_1&\alpha_2&\cdots&\alpha_n&\\ \vdots&&&&\\ 0&&P_{n-1}&&\\ \vdots&& &&\\ \end{bmatrix} \end{align*} T−1AT​=(T−1λ1​η1​,T−1Aη2​,⋯,T−1Aηn​)=(λ1​T−1η1​,T−1Aη2​,⋯,T−1Aηn​)= ​λ1​⋮0⋮​α2​​⋯Pn−1​​αn​​​ ​​ 由于 A A A 为实对称矩阵，所以 A T = A A^T = A AT=A，由于 T T T 为正交矩阵，所以 T − 1 = T T T^{-1} = T^T T−1=TT，则： ( T − 1 A T ) T = T T A T ( T − 1 ) T = T − 1 A ( T T ) T = T − 1 A T \begin{align*} (T^{-1}AT)^T & = T^TA^T(T^{-1})^T \\ & = T^{-1}A(T^T)^T \\ & = T^{-1}A T \end{align*} (T−1AT)T​=TTAT(T−1)T=T−1A(TT)T=T−1AT​ 也就是 T − 1 A T T^{-1} A T T−1AT 也是实对称矩阵，所以向量 ( α 2 , ⋯   , α n ) = 0 (\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=0 (α2​,⋯,αn​)=0，且 P P P 为 n − 1 n-1 n−1 阶实对称矩阵。

根据假设，存在可逆矩阵 T 2 T_2 T2​ 使得 T 2 − 1 P T 2 = ∧ n − 1 T_2^{-1}P T_2 = \wedge_{n-1} T2−1​PT2​=∧n−1​。

所以我们就可以找到一个可逆矩阵 T f T_f Tf​ ( T f T_f Tf​必然可逆，因为 ∣ T f ∣ = ∣ T 2 ∣ ≠ 0 |T_f|=|T_2|\neq 0 ∣Tf​∣=∣T2​∣=0）：

T f = T [ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 ⋮ ] T f − 1 = [ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 − 1 ⋮ ] T − 1 T f − 1 A T f = [ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 − 1 ⋮ ] T − 1 A T [ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 ⋮ ] = [ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 − 1 ⋮ ] [ λ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 P n − 1 ⋮ ] [ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 ⋮ ] = [ λ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 T 2 − 1 P n − 1 T 2 ⋮ ] = [ λ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ 0 ∧ n − 1 ⋮ ] \begin{align*} T_f &= T\begin{bmatrix} 1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2 && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} \\ T_f^{-1} &=\begin{bmatrix} 1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2^{-1} && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} T^{-1}\\ T_f^{-1}AT_f & =\begin{bmatrix} 1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2^{-1} && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix}T^{-1} A T \begin{bmatrix} 1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2 && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2^{-1} && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1&\cdots&0&\cdots\\ \vdots&&&&\\ 0&&P_{n-1}&&\\ \vdots&& &&\\ && && \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2 && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & T_2^{-1}P_{n-1}T_2 && \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&& && \\ 0 & & \wedge_{n-1}&& \\ \vdots&& && \\ && && \end{bmatrix} \end{align*} Tf​Tf−1​Tf−1​ATf​​=T ​1⋮0⋮​⋯​0T2​​⋯​​ ​= ​1⋮0⋮​⋯​0T2−1​​⋯​​ ​T−1= ​1⋮0⋮​⋯​0T2−1​​⋯​​ ​T−1AT ​1⋮0⋮​⋯​0T2​​⋯​​ ​= ​1⋮0⋮​⋯​0T2−1​​⋯​​ ​ ​λ1​⋮0⋮​⋯​0Pn−1​​⋯​​ ​ ​1⋮0⋮​⋯​0T2​​⋯​​ ​= ​λ1​⋮0⋮​⋯​0T2−1​Pn−1​T2​​⋯​​ ​= ​λ1​⋮0⋮​⋯​0∧n−1​​⋯​​ ​​

这就得到了A的相似对角阵了。

事实上，这个证明不仅证明了实对称矩阵必可相似对角化，还证明了实对称矩阵必可以使用正交矩阵相似对角化。

但是我感觉数学归纳法并没有触及到实对称矩阵可以相似对角化的本质，触及灵魂的证明我还在思考和寻找中。