杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式 |
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杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式
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杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式
贡献者： ACertainUser; addis 本文处于草稿阶段。1 在本文中，我们假定材料是弹性的、线性的、各向同性的，且所有变形都发生在弹性限度内。 1. 杨氏模量；广义胡克定律（单向拉伸）
图 1：在外力下材料变形
如同弹簧的胡克定律 $$F=k \Delta x~,$$ 当材料被垂直于截面的单向外力拉伸时，我们有广义胡克定律 \begin{equation} \sigma = E \varepsilon~. \end{equation} 其中 $\sigma$ 是应力，$\varepsilon$ 是应变，$E$ 被称为杨氏模量（Young's modulus），也叫杨氏模数或者弹性模量，是用于衡量材料弹性的力学属性，物理含义类似弹簧的劲度系数 $k$。杨氏模量具有压强的量纲（国际单位：帕斯卡）。更准确地说，由于应力与应变都是局域量，材料不同位置的应力、应变情况可以不同，因此广义胡克定律对 “单个微元” 成立，其使用的应力、应变都是单个微元的应力、应变。如果外力在截面上分布均匀，那么应力化为 $\sigma=\frac{F}{A}$，应变为 $\varepsilon=\frac{\Delta l}{l_0}$，在材料内部是处处相同的，此时广义胡克定律简化为： \begin{equation} E = \frac{FL_0}{A\Delta L}~. \end{equation} 其中 $F$ 是受力，$L_0$ 是原长，$A$ 是横截面积，$\Delta L$ 是伸长或压缩的长度。通常我们假设 $\Delta L \ll L_0$，因为和弹簧一样，过大的形变会导致非线性效应。 例 1一根横截面直径为 $2r = 2 \,\mathrm{mm} $ 的钢丝，松弛长度为 $L_0 = 1 \,\mathrm{m} $，已知该钢丝的杨氏模量为 $E = 200 \,\mathrm{GPa} $，要将其拉长 $\Delta L = 1 \,\mathrm{mm} $ 需要在两端施加多大的力？ 解：横截面为 $A = \pi r^2$，将各个量代入式 2 解的张力为 $F = 628.3 \,\mathrm{N} $。这也意味着，将一个 $60 \,\mathrm{kg} $ 的成年人挂在铁丝上，才能勉强将其拉长 $1 \,\mathrm{mm} $。危险动作请勿模仿！ 2. 泊松比玩过橡皮条的你会发现，当你在一个方向上拉伸橡皮时，橡皮在另外两个方向往往也会上缩短。这种现象是普遍的，这意味着，如图 1 所示，材料即使只在 $x$ 方向上受力，在 $y,z$ 方向上也会产生变形。这被称为 “柏松现象”，也是弹性力学的另一个基本假设。 \begin{equation} -\varepsilon_z= \nu \varepsilon_x~. \end{equation} 负号表示变形的方向，$\nu$ 被称为柏松比 (Poisson's Ratio)。$\nu$ 一般为正值，但一些结构特殊的材料的 $\nu$ 可以是负数。根据弹性力学的相关理论可确定 $\nu$ 的理论范围。 3. 剪切模量；广义胡克定律（单向剪切）
图 2：材料发生剪切变形
当材料受到一组平行于截面的剪切外力时，材料也会发生形变，只不过发生的是剪切变形。类似地，有 \begin{equation} \tau=2G\varepsilon~. \end{equation} 其中 $\tau$ 是剪应力，$\varepsilon$ 是切应变，$G$ 是剪切模量，或第一 Lame 常数。剪切模量并不是独立的物理量，他取决于材料的杨氏模量与泊松比。 \begin{equation} G = \frac{E}{2(1+\nu)}~. \end{equation}在工程上，这个公式也记为 $\tau=G\gamma$。$\gamma$ 是工程剪应变，工程剪应变仅仅是相应切应变的 $2$ 倍。 1. ^ 本文参考维基百科相关页面与 Callister 的 Material Science and Engineering An Introduction。 致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
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