洛必达法则和反常积分

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洛必达法则和反常积分

2024-07-17 10:46:14| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 洛必达法则

L' Hospital's Rule: 洛必达法则：

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim _{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

它主要处理0除以0不定式或无穷除以无穷不定式：

$\frac{0}{0} \quad \text{or} \quad \frac{\infty}{\infty} \quad \text{indeterminate form}$

它提供了计算不定式极限的技巧，包括一些新型的极限，例如：

$\begin{cases} x \ln x & \text{ when } x \rightarrow 0^+ \\ x e^{-x} & \text{ when } x \rightarrow \infty \\ x^x & \text{ when } x \rightarrow 0^ \end{cases}$

证明：

假设

$\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}$

无法直接处理，即：

$\text{f(a) = g(a) = 0}$

那么，计算极限的技巧为：

$\begin{align*} \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x) / (x-a)}{g(x) / (x-a)} \\ &= \frac{ \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}} \quad \text{because f(a)=g(a)=0} \\ &= \frac{f'(a)}{g'(a)} \end{align*}$

例子：

新型极限的处理，需要先将它转换为不定式：

$\lim _{x \rightarrow 0^+} x \ln x = \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = 0$

$\begin{align*} \lim _{x \rightarrow \infty} x e^{-Px} &= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{e^{-Px}}{\frac{1}{x}} =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-P e^{-Px}}{\frac{-1}{x^2}} \qquad \text{error} \\ &= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{e^{Px}} \\ &= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{P e^{Px}} = \frac{1}{\infty} \\ &= 0 \end{align*}$

$\lim _{x \rightarrow 0} x^x = \lim _{x \rightarrow 0} e^{x \ln x} = e^{\lim _{x \rightarrow 0} x \ln x} = 1$

一些表达式增长速度的比较：

$\ln x x^Pe^xe^{x^2}$

2. 反常积分

Improper Integrals:

$\int _a ^{\infty} f(x) dx = \lim _{N \rightarrow \infty} \int _a ^N f(x) dx$

正常积分：积分上限N是固定的

反常积分：积分上限N趋于无穷

收敛(converge)：如果极限存在，就称反常积分收敛，否则称反常积分发散(diverge)

例1：

$\begin{align*} \int _0 ^{\infty} e^{-kx} dx &= \lim _{N \rightarrow \infty} \int _0 ^N e^{-kx} dx \\ &= \lim _{N \rightarrow \infty} (- \frac{1}{k} e^{-kx} | _0 ^N) \\ &= \frac{1}{k} \end{align*}$

因此，该反常积分收敛

例2：

$\int _{-\infty} ^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

例3：

$\int _1 ^{\infty} \frac{dx}{x} = \ln x | _1 ^{\infty} = \infty$

$\int _1 ^{\infty} \frac{dx}{x^P} = \frac{x^{-P+1}}{-P+1} | _1 ^{\infty} = \frac{\infty ^{-P+1}}{-P+1} - \frac{1}{-P+1}$

当 0

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