高等数理统计(part8)

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高等数理统计(part8)

2024-07-14 00:07:25| 来源: 网络整理| 查看: 265

学习笔记,仅供参考,有错必纠

文章目录 UMRUE和UMVUE引理3.2.4(唯一性)引理3.2.5(最优性)引理3.2.5(Lehmann-Scheffe)L-S定理求 g ( θ ) g(\theta) g(θ)的UMRUE无偏估计可能不唯一,可能不存在,也可能不合理定义3.2.9(一致最小均方误差)定义3.2.11(一致最小方差无偏估计)定理3.2.12定理3.2.13(UMVUE特征定理1)定理3.2.14(UMVUE特征定理2)定理:UMVUE特征定理3(Lehmann-Scheffe定理)定理3.2.19(UMVUE唯一性)

UMRUE和UMVUE 引理3.2.4(唯一性)

在这里插入图片描述

引理3.2.5(最优性)

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引理3.2.5(Lehmann-Scheffe)

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L-S定理求 g ( θ ) g(\theta) g(θ)的UMRUE

应用L-S定理求 g ( θ ) g(\theta) g(θ)的UMRUE,前提是假定完备充分统计量存在以及 g ( θ ) g(\theta) g(θ)的UMRUE存在.

直接法

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无偏估计可能不唯一,可能不存在,也可能不合理

在这里插入图片描述

对于均匀分布 U ( 0 , θ ) U(0, \theta) U(0,θ),其矩估计是无偏的,而极大似然估计是有偏的,但偏差不大,且矩估计的方差明显大于极大似然估计的方差,因此,从实际应用角度考虑,极大似然估计应优于矩估计,比较准则正是均方误差准则.

定义3.2.9(一致最小均方误差)

在这里插入图片描述

无偏准则与均方误差准则是从两个不同角度考察一个估计量优劣的,但当二者发生矛盾时,更应重视均方误差准则.有时一致最小均方误差估计并不存在,为了找到一个一致最小均方误差估计,通常通过缩小估计类来求得。

定义3.2.11(一致最小方差无偏估计)

在这里插入图片描述 注:UMVUE是无偏估计类中方差最小的估计,虽然UMVUE是一个很好的估计,但对于某些分布族或参数,其UMVUE不一定存在.

为了方便计算UMVUE,先给出如下一个定理。

定理3.2.12

在这里插入图片描述

从定理可以看出,当找到充分统计量后,任一个无偏估计都可以得到改进.

同时,为找到UMVUE,仅需在充分统计量的无偏估计类中寻找.但这一定理并没有告诉我们如何才能得到UMVUE.下一定理将回答这一问题.

引入如下两个无偏估计类: 在这里插入图片描述

定理3.2.13(UMVUE特征定理1)

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定理3.2.14(UMVUE特征定理2)

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

应用UMVUE特征定理1的主要步骤包括: 在这里插入图片描述

应用UMVUE定理2(适用于T的分布容易计算,T为充分统计量)的主要步骤包括:

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定理:UMVUE特征定理3(Lehmann-Scheffe定理)

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

定理3.2.19(UMVUE唯一性)

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