兰勃特等角圆锥（Lambert Conformal Conic）投影正反变换

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兰勃特等角圆锥（Lambert Conformal Conic）投影正反变换

2024-07-16 18:57:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 引言

Johann Heinrich Lambert（译为兰勃特，或兰伯特），瑞士裔德国科学家、哲学家，他首次给出了π为无理数的严格证明。1772年提出两种球面向投影面投影方式：等角圆锥投影和等积方位投影。通常所说的兰勃特投影指的是等角圆锥投影。

兰勃特等角圆锥投影是设想用一个正圆锥切于或割于球面，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开成平面。投影后纬线为同心圆圆弧，经线为同心圆半径。兰勃特等角圆锥投影没有角度变形，经线长度比和纬线长度比相等。适于制作沿纬线分布的中纬度地区中、小比例尺地图。我国的分省图的兰伯特等角圆锥投影采用的两条标准纬度线为 $\phi_1$ =25度， $\phi_2$ =45度。

在北半球（左）和南半球（右）上以标准纬线显示了兰勃特等角圆锥投影。

2. 投影变换中所用符号

南方基准纬线： $\phi_1$

北方基准纬线： $\phi_2$

原点处纬度： $\phi_0$

原点处经度： $\lambda_0$

变换点纬度： $\phi$

变换点经度： $\lambda$

原点在投影坐标系中虚北向坐标： $N_0$

原点在投影坐标系中虚东向坐标： $E_0$

变换点假北向坐标： $N$

变换点假东向坐标： $E$

椭圆的长半轴： $a=6378137$ 米（WGS-84椭球体）

椭圆的短半轴： $b=6356752.3142$ 米（WGS-84椭球体）

椭圆的扁率： $\alpha = (a-b)/a$

椭圆的第一偏心率：

$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{2\alpha - \alpha^2}$

其它中间参数：

$m_1=\frac{\cos\phi_1}{\sqrt{1-e^2\sin^2\phi_1}}\qquad m_2=\frac{\cos\phi_2}{\sqrt{1-e^2\sin^2\phi_2}}$

$v_1=\left[\frac{1-e\sin\phi_1}{1+e\sin\phi_1} \right ]^{e/2}\qquad v_2=\left[\frac{1-e\sin\phi_2}{1+e\sin\phi_2} \right ]^{e/2}\qquad \\v_0=\left[\frac{1-e\sin\phi_0}{1+e\sin\phi_0} \right ]^{e/2}\qquad v=\left[\frac{1-e\sin\phi}{1+e\sin\phi} \right ]^{e/2}$