再往上是研究生课题，往往是代数、几何和分析要一起上：微分流形、代数几何、随机动力学等等。

这个科技树的三级，和小学、初中、高中数学很相似，一层学不通，下一层看天书。

如何学习

适量做题

千万千万千万不要狂做题。玩过即时战略游戏的同学都知道，低级兵造几个就行了，要攒钱出高级兵才能在后期取胜，低级兵不仅攻击力低，还没有好玩的魔法，它们存在的意义在于让你有能力熬到后期。上面列举了那么多课程，你先花5年做完吉米诺维奇六本数学分析习题集，你就30岁了，后面的二级课程还没开始学呢。因此，做一些课后习题，帮助你复习、思考、维持大脑运转就行，要不断地向后学。如果完全学不懂了，返回来做习题帮自己理清头绪。

了解思想

数学的精髓不是做题的数量，而是掌握思想。每一个数学分支都有自己的主线思想和方法论，不同分支也有相互可供对比和借鉴的思维方式。留意它，模仿它，琐碎的知识就串成了一条项链，你也就掌握了一门课。思想并不是读一本教材就能轻易了解的，你要读好几本书，了解一些应用才能体会。举两个例子：

微积分的主线有这么几条：认识到微观和宏观是有联系的，微分用来刻画事物如何变化，它把细节放大给你看，而积分用来刻画事物的整体性质；微分和积分有时是描述一个现象的不同方式，这一点你在数学分析书中可能不容易发现，但是如果学点物理，就会发现麦克斯韦方程组同时有等价的微分形式和积分形式；积分变换能够建立不同空间之间的的联系，建立空间和空间边界的联系，这就是Stokes定理，这个公式最迟要在微分流形中你才能一窥全貌。

矩阵是空间中线性变换的抽象，线性代数这门课的全部意义在于研究如何表达、化简、分类空间线性变换算子。学习线性代数时很多人不理解SVD分解有什么用，但如果你以后继续从事研究工作，就会发现SVD分解是最有用的代数工具之一。比如优化论的一个核心目标是建立一个模型，让它对真实世界中的现象的预测能够尽量准确，对这些模型的求解往往要通过SVD分解来实现，如果你对矩阵理论比较了解，以后在工程上也会感到得心应手。

渐进式迂回式学习，对比学习

很多时候，只读一本书，可能由于作者在某处思维跳跃了一下，以后你就再也跟不上了。学习数学的一个诀窍，就是你同时拿到好几本国际知名教材，相互对比着看，或者看完一本然后再看同一主题的另一本书，已经熟悉的内容跳过去，如果看不懂了，停下来思考或者做做习题，还是不懂则往后退一退，从能看懂的部分向前推进，当你看的多了，就会发现一个东西出现在很多地方，对它的理解就加深了。举两个例子：

外微分这个东西，国内有的数学分析书里可能不介绍，我第一次遇到是在彭家贵的《微分几何》里，觉得这是个方便巧妙的工具；后来读卓里奇的《数学分析》和 Rudin 的《数学分析原理》，都讲了这个东西，可见在西方外微分是一个基础知识。你要读懂它，可能要首先理解矩阵，明白行列式恰好是空间体积在矩阵的变换下拉伸的倍数，具有双线性结构。最后，当你读微分流形后，将发现外微分是获得流形上的 Stokes 定理的工具。

点集拓扑学这个东西，搞应用用不到。但是但凡你想往深处学，这一门学科就必须要掌握，因为它提供对诸如开集、紧集、连续、完备等数学基本概念的精准刻画。往后学泛函分析、微分流形，没有这些概念你将寸步难行。学习拓扑学最好的教材是 Munkres 的旷世名著《拓扑学》，脑子里有了相关概念再去读其他教材，或多或少又会接触到同样的概念，你的理解就加深了。比如读 Rudin 的《泛函分析》，开始就是介绍线性拓扑空间，前面的知识你就能用上了。

建立不同学科的联系

看到一个东西在很多地方用，你对它的理解就加深了，慢慢也就能体会到这个东西的精妙，最后你会发现所有的基础学科相互交织，又在后续应用中相互帮助，切实体会到它们真的很基础，很有用。这是一种体会数学乐趣的途径。

关注应用学科

没有什么比应用更能激发你对新知识、新工具的渴望。找一些感兴趣的应用学科教材，读一读，开阔眼界，为自己的未来积累资源。以下结合自己的专业（计算机视觉）和爱好谈谈一些优秀的专业书籍：

学了微积分，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》，了解力、热、光、时空的奥秘；学了偏微分方程，就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》，了解电的奥秘。学了矩阵论，可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》，了解成像的奥秘，编程实现图像序列的三维重建。学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派，这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域，成就了两本经典著作 Pattern Recognition And Machine Learning 和 The Elements of Statistical Learning ，读了它们，我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服。 Ray Tracing from the Ground Up 是一本介绍如何用光线追踪技术渲染真实场景的书，把一些虚拟物体放在一个虚拟的场景中，用虚拟的摄像头拍摄图片，生成逼真的照片，它的基础就是一点点微积分和矩阵......

找有趣的书看

数学家写的书有时是比较死板的，但是总有一些教材，它们的作者有强烈的欲望想向你展示"这个东西其实很有趣"，"这个东西完全不是你想的那个样子"等等，他们成功了。还有些作者，他们喜欢把一个东西在不同领域的应用，和不同东西在某一领域的应用集中展示给你看。这样的书会提供给你充足的乐趣读下去。典型代表就是图灵出版的一套“图灵数学·统计学丛书”，这一套书实在是太棒了，比如《线性代数应该这样学》《复分析：可视化方法》《微分方程、动力系统与混沌导论》，个人认为都是学数学必读的经典教材，非常非常有趣。

多读书，读好书

如果只有一句话概括如何培养数学能力，那么就是这一句：多读书，读好书。不要只看一本，找三本不同作者的书，对比着看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，记下来，说不定在另一本书的某个地方就从另一个角度说到了这个东西。如果你以后还要往后学，现在看到的每一个基础定理，以后还会用到。每一本基础书，你今天放弃，明天还要乖乖重头再来。要像读经文一样，交叉阅读对比不同教材内容的异同。

推荐教材（其实就是我读过的觉得好的书）——

第一级

第二级

第三级

◆ 微分流形方向

◆ 交换代数与代数几何

◆ 微分方程

在这里想多说几句。虽然我在数学系，但是研究方向是计算机视觉，读数学书对我来说纯粹是消遣，和打游戏没什么区别。这些教材可能在专业人士的眼里只能算是入门基础，但是在我看来它们相当难，读着很吃力，并且提供的观点相当高级，因此我把它们归为“第三级”数学。

我对微分流形一直很感兴趣，最开始看的是 Do Carmo 的《黎曼几何》，没有读懂。我后来琢磨，原因可能是没有做习题。后面我看了各种各样的书，包括 Do Carmo 的另一本小册子 Differential Forms and Applications ，Dodson 的 Tensor Geometry ，还有 Bishop 的 Tensor Analysis on Manifolds 等，对相关概念有了一定认识，但是还是感到有些困惑。直到读到 Boothby 的《微分流形与黎曼几何》才让我真正感觉到自己弄懂了。这本书写的非常罗嗦，也比较厚，这正是我需要的——一本专门为玩票和健忘家所写，不停反复强调各种概念，证明详细的书。后来我又回头去读最开始读不懂的那本 Do Carmo 的《黎曼几何》，其中有一半我已经懂了，另外一半当我静下心来仔细琢磨，发现作者虽然证明简略，但是复杂的部分却一点没省，如果仔细思考，完全能够掌握。后来我又读了 A. Zee 的 Einstein Gravity in a Nutshell 。这是一本讲相对论的书，把微分流形和相对论、牛顿力学、变分法串了起来。作者在书里一遍又一遍地反复讲解各种概念，阅读体验极佳。

大概几个月前，我对交换代数和代数几何产生了兴趣。因为有 Munkres《拓扑学》和 Artin《代数》的基础，我就买了本 Risenbud 的 Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry ，这本书评价很棒，作者的态度也很友好，论述清晰，但我还是感到难以阅读，只好尝试看其他相关教材，包括 Zariski 的 Commutative Algebra ，AtiYah 和 Macdonald 的小册子 Introduction to Commutative Algebra 以及 Matsumura 的 Commutative Ring Theory 。这些书都非常有名，虽然也可以继续往下读，但我还想再挑挑。

数学家可能喜欢这种风格，比如 Altman 和 Kleiman 在 A Term of Commutative Algebra 一书里就表达了对 AtiYah 和 Macdonald 处理交换代数的手段的赞赏，大意是应该用尽量简洁的语言把各种概念一股脑地抛给读者，让读者自己消化，但是并不对我的胃口。最终，我找到了 Rotman 的 An Introduction to Homological Algebra ，毫不夸张地说，这是我读过的最好的代数教材，作者在证明定理时，甚至不喜欢用“类似可证”这样的话，坚持把各种细节都写出来，并且几乎每证明完一个定理就迫不及待地给出几个例子帮助我理解。我在网上看到一些人评价这本书“非常罗嗦”，“应该直接从第五章开始看”的言论，这些评价并不适合我，这本书对我的帮助是那些简洁的书所不能替代的，其提供的高级观点正是我期望在“消遣”中体验的。此外，Rotman 还有一本1000页的 Advanced Modern Algebra ，涵盖了近现代代数领域所有基础知识，可能值得一读。

举了上面两个例子其实就是想说，读比较难的数学书时货比三家会对人很有帮助。推荐大家去下载美国研究生数学教材系列 Graduate Texts in Mathematics(GTM)，有约300本教材。

科普教材

阅读各个领域最有趣、最活泼、最让你长知识、最重视应用、文笔最易懂的教材和书籍

最后想说，数学是一个无底洞，会消耗掉你宝贵的青春。一无所知的你可能励志搞懂现代数学，但是多会半途却步，同时剩下的时间又不够精通另一门科学。而且即使你精通纯数学，没有几篇好文章也并不容易找工作。

我的建议是在阅读数学的过程中开拓眼界，纯数学和应用数学学科都看看，找到感兴趣、应用广泛、工作好找（来钱）的方向再一猛扎下去成为你的事业。比如数学扎实，编程能力也强的人就很有前途。

作者上文中提到的图书，我们在这里也为大家附上其中部分经典书单：

不朽的数学经典

（点击下方单本书名可查看与购买）

《基础拓扑学》

作者：[英]马克·阿姆斯特朗 | 译者：孙以丰

《纯数学教程（第9版）》

作者：[英]戈弗雷·哈代 | 译者：张明尧

《不等式（第2版）》

作者：[英]戈弗雷·哈代 , [英]约翰·李特尔伍德 , [美]乔治·波利亚 | 译者：越民义

《矩阵计算（第4版）》

作者：Gene H.Golub , Charles F.Van Loan | 译者：程晓亮

《复分析：可视化方法》

作者：[美] 特里斯坦·尼达姆 | 译者：齐民友

《伊藤清概率论（修订版）》

作者：[日] 伊藤清 | 译者：闫理坦

《基础拓扑学（修订版）》经典拓扑学入门图书，国外知名高校拓扑学指定教材，作者主要介绍了拓扑空间中的拓扑不变量，以及相应的计算方法。本书涉及点集拓扑、几何拓扑、代数拓扑中的各类方法及其应用，139 个图示及 350 个难度各异的思考题，培养几何直观能力。本书内容浅易，注重抽象理论与具体应用相结合。

《纯数学教程（第9版）》是一部百年经典，在20世纪初奠定了数学分析课程的基础。书中对数学分析这一基础课程的重要内容——微积分学进行了系统的阐述，对很多经典的数学给出了严谨的证明方法，是 Hardy 数学思想智慧的结晶。另外，书中收集了许多极富思考价值的练习题，值得一提的是，还收集了当年英国剑桥大学荣誉学位考试所采用的试题。

《不等式（第2版）》是哈代、李特尔伍德、波利亚合著的一部经典之作，作者详尽地讨论了分析中常用的一些不等式，涉及初等平均值、任意函数的平均值和凸函数理论、微积分的各种应用、无穷级数、积分、变量积分的一些应用、关于双线性形式和多线性形式的一些定理、希尔伯特不等式及其推广等内容。

《矩阵计算（第4版）》是已故美国科学院院士、美国工程院院士吉恩·戈卢布（Gene H. Golub）等人的经典巨著，是矩阵计算领域的标准性参考文献，系统介绍了矩阵计算的基本理论和方法，内容包括：矩阵乘法、矩阵分析、线性方程组、正交化和最小二乘法、特征值问题、Lanczos 方法、矩阵函数及专题讨论等。

书中的许多算法都有现成的软件包实现，每节后附有习题，并有注释和大量参考文献．第4 版增加约四分之一内容，反映了近年来矩阵计算领域的飞速发展。

《复分析：可视化方法》是在复分析领域产生了广泛影响的一本著作。作者独辟蹊径，用丰富的图例展示各种概念、定理和证明思路, 十分便于读者理解, 充分揭示了复分析的数学美。书中讲述的内容有作为变换看的复函数、默比乌斯变换、微分学、非欧几何学、环绕数、复积分、柯西公式、向量场、调和函数等。

《伊藤清概率论（修订版）》是日本数学家伊藤清创作的现代概率论著作。书中以最小限度的预备知识为前提，以简练的笔法系统讲解了测度论基础，以及现代概率论的基础体系与概念，为引导读者理解“随机过程”，特别是 Markov 过程做了细致准备。此外，本书还展示了“伊藤引理”的构想原点，收录了概率论发展的历史过程。对于背景知识较为薄弱的读者，作者则从各章的主要脉络上，为其准备了一条了解现代概率论轮廓的轻快之路。

—THE END—

编辑 ∑Gemini

来源：好玩的数学

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