设z0是解析函数f(z)的孤立奇点，f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数C-称为f(z)在z0处的留数。记作Res[f(z),z0]

连通留数与复积分的桥梁 设 函 数 f ( z ) 在 区 域 D 内 除 有 限 个 孤 立 奇 点 z   1   ， z   2   ， ⋅ ⋅ ⋅ , z   n   外 处 处 解 析 ， C 是 包 围 各 奇 点 的 一 条 正 向 简 单 闭 曲 线 ， 那 么 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z~1~，z~2~，···, z~n~外处处解析，C是包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z 1 ，z 2 ，⋅⋅⋅,z n 外处处解析，C是包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ∮ C f ( z ) = 2 π i ∑ k = 1 n R e s [ f ( z ) , z ] . \oint_Cf(z) = 2\pi i \sum_{k=1}^nRes[f(z),z]. ∮C​f(z)=2πik=1∑n​Res[f(z),z].

如果已知奇点的类型，更方便求留数：

如果 f （ z ） f（z） f（z）在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远在内），则 f （ z ） f（z） f（z）在各点的留数和为零。