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复数的引入
追根求源，最初是为了求解没有实数根的二次方程。例如求解 x2+1=0 x 2 + 1 = 0 这个由实数组成的方程，显然没有实数根。 所以复数集可以看成实数集合的一个自然扩充。 首先引入一个“新数” i i 。使它满足 i2=−1i2=−1 也就是说 i i 是x2+1=0x2+1=0 的解。 我们再给复数定义： 形如 z=a+bi z = a + b i 的数就是复数。 其中 a a 和bb分别叫做复数 z z 的实部和虚部。 注意，bb才是虚部， bi b i 不是虚部。 记作： a=Re(z),b=Im(z) a = R e ( z ) , b = I m ( z ) 复数 z=a+bi z = a + b i 的分类当虚部 b=0 b = 0 时，复数 z z 是实数； 当虚部b!=0b!=0时，复数 z z 是虚数； 当虚部b!=0b!=0，且实部 a=0 a = 0 时，复数 z z 是纯虚数。 一些集合的记号 R——实数集，C——复数集R——实数集，C——复数集 P——虚数集，Q——纯虚数集 P — — 虚 数 集 ， Q — — 纯 虚 数 集 有下列关系： R∩P=ϕ R ∩ P = ϕ R∪P=C R ∪ P = C Q⊊P⊊C Q ⊊ P ⊊ C 复数相等的充分必要条件设两个复数分别为 z1=a+bi z 1 = a + b i , z2=c+di z 2 = c + d i ，而二者相等的充分必要条件是 a=c a = c 而且 b=d b = d 。 化虚为实是复数问题的通性通法 复数的运算法则对于两个复数 z1=a+bi z 1 = a + b i ， z2=c+di z 2 = c + d i z1+z2=(a+c)+(b+d)i z 1 + z 2 = ( a + c ) + ( b + d ) i z1−z2=(a−c)+(b−d)i z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i z 1 × z 2 = ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i z1z2=a+bic+di=(a+bi)×(c−di)(c+di)×(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2 z 1 z 2 = a + b i c + d i = ( a + b i ) × ( c − d i ) ( c + d i ) × ( c − d i ) = ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i c 2 + d 2 复数的运算定律复数的加法满足交换律，结合律。 也就是 z1+z2=z2+z1 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) 复数的乘法满足交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律。 也就是 z1×z2=z2×z1 z 1 × z 2 = z 2 × z 1 (z1z2)z3=z1(z2z3) ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 共轭复数 定义当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数。特别地，若复数的虚部不为零时，也称作互为共轭虚数。对于复数 z=a+bi(a、b∈R) z = a + b i ( a 、 b ∈ R ) ，它的共轭复数用 z¯=a−bi(a、b∈R) z ¯ = a − b i ( a 、 b ∈ R ) 来表示。 共轭复数有如下基本性质 (1)z1±z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯±z2¯¯¯¯¯ ( 1 ) z 1 ± z 2 ¯ = z 1 ¯ ± z 2 ¯ (2)z1z2¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯ z2¯¯¯¯¯ ( 2 ) z 1 z 2 ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯ (3)(z1z2)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=z1¯¯¯¯¯z2¯¯¯¯¯ ( 3 ) ( z 1 z 2 ) ¯ = z 1 ¯ z 2 ¯ (4)zn¯¯¯¯¯=(z¯¯¯)n ( 4 ) z n ¯ = ( z ¯ ) n (5)z+z¯¯¯=2Re(z),z−z¯¯¯=2iIm(z) ( 5 ) z + z ¯ = 2 R e ( z ) , z − z ¯ = 2 i I m ( z ) (6)z¯¯¯¯¯¯=z ( 6 ) z ¯ ¯ = z (7)z是实数的充分必要条件是z¯¯¯=z;z是纯虚数的充分必要条件是z¯¯¯=−z且z!=0 ( 7 ) z 是 实 数 的 充 分 必 要 条 件 是 z ¯ = z ; z 是 纯 虚 数 的 充 分 必 要 条 件 是 z ¯ = − z 且 z ! = 0 复数的几何形式复数 z z 和复平面上的点Z(a,b)Z(a,b)有着一一对应的关系，同时，复平面上的点 Z(a,b) Z ( a , b ) 和向量 OZ−→− O Z → 有着一一对应的关系。所以复数 z z 和向量OZ−→−OZ→有着一一对应的关系。 复数的模我们定义为对应向量的模。 也就是 |z|=a2+b2−−−−−−√ | z | = a 2 + b 2 关于复数的模，有如下的基本性质。 (1)zz¯¯¯=|z|2=|z¯¯¯|2 ( 1 ) z z ¯ = | z | 2 = | z ¯ | 2 ; (2)||z1|−||z2|≤|z1±z2|≤|z1|+|z2| ( 2 ) | | z 1 | − | | z 2 | ≤ | z 1 ± z 2 | ≤ | z 1 | + | z 2 | (3)|z|≥max{|Re(z)|,|Im(z)|} ( 3 ) | z | ≥ m a x { | R e ( z ) | , | I m ( z ) | } 例题已知复数 z1=(m−3)+(m−1)i,z2=(2m−5)+(m2+m−2)i z 1 = ( m − 3 ) + ( m − 1 ) i , z 2 = ( 2 m − 5 ) + ( m 2 + m − 2 ) i ，且 z1>z2¯¯¯¯¯ z 1 > z 2 ¯ ，试求实数 m m 的值。 解由z1>z2¯¯¯¯¯z1>z2¯可知， z1 z 1 、 z2¯¯¯¯¯ z 2 ¯ 都是实数。 也就是有： {m−1=0−(m2+m−2)=0 { m − 1 = 0 − ( m 2 + m − 2 ) = 0 解得 m=1 m = 1 因为 z1>z2¯¯¯¯¯ z 1 > z 2 ¯ ，所以 m−3 |
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