复数列是每一项均为复数的数列，是实数列在复数形式下的推广。

称复平面上的点集 E {\displaystyle E} 中的一个无穷点列 { z n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ z_n \}_{n=1}^\infty} 收敛到 z 0 {\displaystyle z_0} ，如果 ∀ ε > 0 , ∃ N ( ε ) ∈ N + {\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+} ，当 n > N {\displaystyle n > N} 时，有 | z n − z 0 | M > 0 , { z n } n = 1 ∞ ⊂ N M ( z 0 ) {\displaystyle \exists M > 0, \{ z_n \}_{n=1}^\infty \subset N_M (z_0)} ；点列如果收敛，那必然只会收敛到一点，这一点称为该收敛点列的极限点。

一个复数列 { z n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ z_n \}_{n=1}^\infty} 收敛到 z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_0 = x_0 + \text{i} y_0} 当且仅当这个数列的实部和虚部对应的实数列 { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ x_n \}_{n=1}^\infty} 与 { y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ y_n \}_{n=1}^\infty} 分别收敛到 x 0 {\displaystyle x_0} 以及 y 0 {\displaystyle y_0} ，这是因为 | x n − x 0 | ⩽ | z n − z 0 | , | y n − y 0 | ⩽ | z n − z 0 | {\displaystyle |x_n - x_0| \leqslant |z_n - z_0|, |y_n - y_0| \leqslant |z_n - z_0|} 以及 | z n − z 0 | ⩽ | x n − x 0 | + | y n − y 0 | . {\displaystyle |z_n - z_0| \leqslant |x_n - x_0| + |y_n - y_0|.}

同时，复数列收敛也有 Cauchy 收敛准则，它是说一个复数列 { z n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ z_n \}_{n=1}^\infty} 收敛的充要条件是 ∀ ε > 0 , ∃ N ( ε ) ∈ N + {\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+} ，当 n > N {\displaystyle n > N} 时，有 | z n + p − z n | . {\displaystyle |z_{n+p} - z_n| < \varepsilon, p = 1,2,\cdots.}

如果一个复数列 { z n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ z_n \}_{n=1}^\infty} 收敛，那么 { | z n | } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ |z_n| \}_{n=1}^\infty} 亦收敛，反之不真。但是，下述充要条件是成立的： { z n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ z_n \}_{n=1}^\infty} 收敛于 r e i θ , r ⩽ 0 , θ ∈ R {\displaystyle r\text{e}^{\text{i}\theta}, r \leqslant 0, \theta \in \R} 的充要条件是模长数列和辐角数列分别收敛，即 lim n → ∞ | z n | = r , lim n → ∞ arg ⁡ z n = θ {\displaystyle \lim_{n \to \infty} |z_n| = r, \lim_{n \to \infty} \arg z_n = \theta} 。辐角数列收敛的确切含义是对于每个 Arg ⁡ z n {\displaystyle \operatorname{Arg} z_n} ，总可以选取适当的一个值 arg ⁡ z n {\displaystyle \arg z_n} ，使得 { arg ⁡ z n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{ \arg z_n \}_{n=1}^\infty} 收敛到 θ . {\displaystyle \theta.}

聚点定理可以引入到复数列中，即一个有界的复数列一定有一个收敛子列。

一个无穷点列不以 z 0 {\displaystyle z_0} 为极限，是指 ∃ ε 0 > 0 , ∀ N ∈ N + {\displaystyle \exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \N^+} ，当 n > N {\displaystyle n > N} 时，有 | z n − z 0 | > ε 0 . {\displaystyle |z_n - z_0| > \varepsilon_0.} 一个无穷点列没有极限，是指 ∃ ε 0 > 0 , ∀ N ∈ N + {\displaystyle \exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \N^+} ， ∀ z 0 ∈ C {\displaystyle \forall z_0 \in \C} 当 n > N {\displaystyle n > N} 时，有 | z n − z 0 | > ε 0 . {\displaystyle |z_n - z_0| > \varepsilon_0.}

如果一个数列发散到无穷，称它有广义极限 ∞ {\displaystyle \infty} ，记作 lim n → ∞ z n = ∞ {\displaystyle \lim_{n \to \infty} z_n = \infty} ，等价于 ∀ M > 0 , ∃ N ∈ N + {\displaystyle \forall M > 0, \exists N \in \N^+} ，当 n > N {\displaystyle n > N} 时 | z | > M {\displaystyle |z| > M} ，这种数列是无界的。实际上， lim n → ∞ z n = ∞ {\displaystyle \lim_{n \to \infty} z_n = \infty} 等价于 lim n → ∞ | z n | = ∞ . {\displaystyle \lim_{n \to \infty} |z_n| = \infty.}

可以证明，等比数列 { a 0 z n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{ a_0 z^n \}_{n=0}^{\infty}} 可以推广到复数列中，当 a 0 , z ∈ C , | z | k = 0 n a 0 z k = a 0 ( 1 − z n ) 1 − z {\displaystyle \sum_{k=0}^n a_0 z_k = \dfrac{a_0(1-z^n)}{1-z}} ，一般的，有