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复数 如果您已经学习过复数相关知识,请跳过本页面。 学习复数知识需要一部分向量基础,如果并未学习过向量知识请移步 向量页面。 复数¶ 引入¶注:下面的引入方法来自人教版高中数学 A 版必修二。 从方程的角度看,负实数能不能开平方,就是方程 \(x^2+a=0 (a>0)\) 有没有解,进而可以归结为方程 \(x^2+1=0\) 有没有解。 回顾已有的数集扩充过程,可以看到,每次扩充都与实际需求密切相关。例如,为了解决正方形对角线的度量,以及 \(x^2-2=0\) 这样的方程在有理数集中无解的问题,人们把有理数集扩充到了实数集。数集扩充后,在实数集中规定的加法运算、乘法运算,与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律。 依照这种思想,为了解决 \(x^2+1=0\) 这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数 \(\mathrm{i}\),使得 \(x=\mathrm{i}\) 是方程 \(x^2+1=0\) 的解,即使得 \(\mathrm{i}^2=-1\)。 思考:把新引进的数 \(\mathrm{i}\) 添加到实数集中,我们希望数 \(\mathrm{i}\) 和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算,并希望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法对加法满足分配律。那么,实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢? 依照以上设想,把实数 \(b\) 与 \(\mathrm{i}\) 相乘,结果记作 \(b\mathrm{i}\);把实数 \(a\) 与 \(b\mathrm{i}\) 相加,结果记作 \(a+b\mathrm{i}\)。注意到所有实数以及 \(\mathrm{i}\) 都可以写成 \(a+b\mathrm{i}(a,b\in \mathbb{R})\) 的形式,从而这些数都在扩充后的新数集中。 定义和分类¶哇哦我们定义的数的性质这么好! 我们定义形如 \(a+b\mathrm{i}\),其中 \(a,b\in \mathbb{R}\) 的数叫做 复数,其中 \(\mathrm{i}\) 被称为 虚数单位,全体复数的集合叫做 复数集。 复数通常用 \(z\) 表示,即 \(z=a+b\mathrm{i}\)。这种形式被称为 复数的代数形式。其中 \(a\) 称为复数 \(z\) 的 实部,\(b\) 称为复数 \(z\) 的 虚部。如无特殊说明,都有 \(a,b\in \mathbb{R}\)。 对于一个复数 \(z\),当且仅当 \(b=0\) 时,它是实数,当 \(b\not = 0\) 时,它是虚数,当 \(a=0\) 且 \(b\not = 0\) 时,它是纯虚数。 纯虚数,虚数,实数,复数的关系如下图所示。 性质¶ 几何意义¶我们知道了 \(a+b\mathrm{i}\) 这样类似的形式的数被称为复数,并且给出了定义和分类,我们还可以挖掘一下更深层的性质。 我们把所有实数都放在了数轴上,并且发现数轴上的点与实数一一对应。我们考虑对复数也这样处理。 首先我们定义 复数相等:两个复数 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\) 是相等的,当且仅当 \(a=c\) 且 \(b=d\)。 这么定义是十分自然的,在此不做过多解释。 也就是说,我们可以用唯一的有序实数对 \((a,b)\) 表示一个复数 \(z=a+b\mathrm{i}\)。这样,联想到平面直角坐标系,我们可以发现 复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应。好了,我们找到了复数的一种几何意义。 那么这个平面直角坐标系就不再一般,因为平面直角坐标系中的点具有了特殊意义——表示一个复数,所以我们把这样的平面直角坐标系称为 复平面,\(x\) 轴称为 实轴,\(y\) 轴称为 虚轴。我们进一步地说:复数集与复平面内所有的点所构成的集合是一一对应的。 我们考虑到学过的平面向量的知识,发现向量的坐标表示也是一个有序实数对 \((a,b)\),显然,复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 对应复平面内的点 \(Z(a,b)\),那么它还对应平面向量 \(\overrightarrow{OZ}=(a,b)\),于是我们又找到了复数的另一种几何意义:复数集与复平面内的向量所构成的集合是一一对应的(实数 \(0\) 与零向量对应)。 于是,我们由向量的知识迁移到复数上来,定义 复数的模 就是复数所对应的向量的模。复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 的模 \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)。 于是为了方便,我们常把复数 \(z=a+b\mathrm{i}\) 称为点 \(Z\) 或向量 \(\overrightarrow {OZ}\),并规定相等的向量表示同一个复数。 并且由向量的知识我们发现,虚数不可以比较大小(但是实数是可以的)。 运算¶ 加法与减法¶我们规定,复数的加法规则如下: 设 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\),那么 \[ z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\mathrm{i} \]很明显,两个复数的和仍为复数。 考虑到向量的加法运算,我们发现复数的加法运算符合向量的加法运算法则,这同样证明了复数的几何意义的正确性。 同样可以验证,复数的加法满足交换律和结合律。即: \[ z_1+z_2=z_2+z_1\\ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) \]减法作为加法的逆运算,我们可以通过加法法则与复数相等的定义来推导出减法法则: \[ z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\mathrm{i} \]这同样符合向量的减法运算。 乘法与除法¶我们规定,复数的乘法规则如下: 设 \(z_1=a+b\mathrm{i},z_2=c+d\mathrm{i}\),那么 \[ \begin{aligned} z_1z_2&=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})\\ &=ac+bc\mathrm{i}+ad\mathrm{i}+bd\mathrm{i}^2\\ &=(ac-bd)+(bc+ad)\mathrm{i} \end{aligned} \]可以看出,两个复数相乘类似于两个多项式相乘,只需要把 \(\mathrm{i}^2\) 换成 \(-1\),并将实部与虚部分别合并即可。 复数确实与多项式有关,因为复数域是实系数多项式环模掉 \(x^2+1\) 生成的理想。(这句话不明白其实也没有关系) 复数的乘法与向量的向量积形式类似,是由于复数集是数环。 于是容易知道,复数乘法满足交换律,结合律和对加法的分配律,即: \[ z_1z_2=z_2z_1\\ (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)\\ z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 \]由于满足运算律,我们可以发现实数域中的 乘法公式在复数域中同样适用。 除法运算是乘法运算的逆运算,我们可以推导一下: \[ \begin{aligned} \frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}&=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{(c+d\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}\\ &=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm{i} &(c+d\mathrm{i}\not =0) \end{aligned} \]为了分母实数化,我们乘了一个 \(c-d\mathrm{i}\),这个式子很有意义。 我们定义,当两个虚数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为 共轭复数。通常记 \(z=a+b\mathrm{i}\) 的共轭复数为 \(\bar z=a-b\mathrm{i}\)。我们可以发现,两个复数互为共轭复数,那么它们 关于实轴对称。 由于向量没有除法,这里不讨论与向量的关系。 辐角和辐角主值¶如果设定实数单位 \(1\) 作为水平正方向,虚数单位 \(\mathrm{i}\) 作为竖直正方向,得到的就是直角坐标视角下的复平面。 表示复数 \(z\) 的位置,也可以借助于极坐标 \((r, \theta)\) 确定。前文已经提到了 \(r\) 为复数 \(z\) 的模。 从实轴正向到 非零 复数 \(z=x+\mathrm{i}y\) 对应向量的夹角 \(\theta\) 满足关系: \[ \tan \theta=\frac{y}{x} \]称为复数 \(z\) 的 辐角,记为: \[ \theta= \operatorname{Arg} z \]任一个 非零 复数 \(z\) 有无穷多个辐角。借助开头小写的 \(\operatorname{arg} z\) 表示 其中一个特定值,满足条件: \[ -\pi0\)。辐角主值:\(\operatorname{arg} \operatorname{exp} z=y\)。 加法定理:\(\operatorname{exp} (z_1+z_2)=\operatorname{exp} (z_1)\operatorname{exp} (z_2)\)。 周期性:\(\operatorname{exp} z\) 是以 \(2\pi \mathrm{i}\) 为基本周期的周期函数。如果一个函数 \(f(z)\) 的周期是某一周期的整倍数,称该周期为 基本周期。 这里将复指数函数记为 \(\operatorname{exp}\),是为了与下文的一般指数函数做区分。 复三角函数(也简称 三角函数)的定义,是 欧拉公式: \[ \cos z=\frac{\operatorname{exp} (iz)+\operatorname{exp} (-\mathrm{i}z)}{2} \] \[ \sin z=\frac{\operatorname{exp} (iz)-\operatorname{exp} (-\mathrm{i}z)}{2\mathrm{i}} \]有关欧拉公式的更多介绍,可以参考两个视频:欧拉公式与初等群论、微分方程概论 - 第五章:在 3.14 分钟内理解 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}\)。 复三角函数在实数集上与实三角函数的定义完全一致。在复平面上拥有性质: 奇偶性:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数。 三角恒等式:通常的三角恒等式都成立,例如平方和为 \(1\),或者角的和差公式等。 周期性:正弦与余弦函数以 \(2\pi\) 为基本周期。 零点:实正弦与实余弦函数的全体零点,构成了复正弦与复余弦函数的全体零点。这个推广没有引进新的零点。 模的无界性:复正弦与复余弦函数,模长可以大于任意给定的正数,不再像实正弦与实余弦函数一样被限制在 \(1\) 的范围内。 复数的三种形式¶借助直角坐标系的视角以及极坐标系的视角,可以写出复数的三种形式。 复数的 代数形式 用于表示任意复数。 \[ z=x+y\mathrm{i} \]代数形式用于计算复数的加减乘除四个运算比较方便。 复数的 三角形式 和 指数形式,用于表示非零复数。 \[ z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta)=r \operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta) \]这两种形式用于计算复数的乘除两个运算以及后面的运算较为方便。如果只用高中见过的函数,可以使用三角形式。如果引入了复指数函数,写成等价的指数形式会更加方便。 多值函数¶在复数集之上定义的函数,函数值可能不再是一个具体的复数值,而是一个集合。 一个例子,上述定义的辐角函数 \(\operatorname{Arg} z\) 就是这样。辐角函数的函数值是 \(\operatorname{Arg} z=\{\operatorname{arg} z +2k\pi | k\in Z\}\),为一个集合。 如果对于每一个复数自变量,只有唯一的复数函数值与其对应,称为 单值函数。上述指数函数和三角函数都是单值函数。 如果对于某些复数自变量,有多于一个的复数函数值与其对应,这样的函数称为 多值函数。 多值函数的函数值为集合,值域为函数值集合的集合。多值函数常常首字母大写,并规定一个对应首字母小写的单值函数称为 主值。 复对数函数¶规定 复对数函数(也简称 对数函数)是复指数函数的反函数。可以解得: \[ \operatorname{Ln} z=\ln{|z|}+\mathrm{i} \operatorname{Arg} z \]对数函数的定义域为 非零 复数。由于辐角函数是多值函数,因此对数函数也是多值函数。相应地,记 对数函数的主值 为: \[ \ln z=\ln{|z|}+\mathrm{i} \operatorname{arg} z \]于是对数函数可以记为: \[ \operatorname{Ln} z=\{\ln z +2k\pi \mathrm{i}| k\in Z\} \]复对数函数拥有性质: \[ \operatorname{Ln}(z_1z_2)=\operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2 \]这个性质与实对数函数相同。而对数函数的主值不满足该性质。 一般指数函数¶一般指数函数 定义为: \[ a^z=\operatorname{exp} (z \operatorname{Ln} a) \]对于任意的 非零 复数 \(a\),一般指数函数是多值函数。 上述定义式展开是这样的: \[ a^z=\operatorname{exp} (z \operatorname{Ln} a)=\operatorname{exp} (z\ln a +2k\pi \mathrm{i}z)=\operatorname{exp} (z\ln a)\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}z) \]一般指数函数的多值性来源于底数辐角的多值性。以实数单位 \(1\) 为底的指数函数应当是: \[ 1^z=\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}z) \]以 \(1\) 为底的指数函数不恒为 \(1\),而是一个多值函数。这是因为 \(1\) 的辐角不一定是 \(0\),于是根据复数乘法「模相乘辐角相加」的规则,指数的结果也是多值的。只有式中 \(k\) 为 \(0\) 的时候才不恒为 \(1\),即只有主值恒为 \(1\)。 于是一般指数函数可以记为: \[ a^z=\operatorname{exp} (z\ln a) 1^z \]可以把指数函数的主值部分与其他部分以乘积的形式分开。 以自然对数 \(\mathrm{e}\) 为底的指数函数应当是: \[ \mathrm{e}^z=\operatorname{exp} z 1^z \]单值函数 \(\operatorname{exp}\) 是以自然对数 \(\mathrm{e}\) 为底的指数函数的主值。真正以 \(\mathrm{e}\) 为底的指数函数是多值函数,而 \(\operatorname{exp}\) 是一个形式上的记号,没有幂的含义。 一般幂函数与复数乘方开方¶一般幂函数 定义为: \[ z^a=\operatorname{exp} (a \operatorname{Ln} z) \]一般幂函数的取值情况需要分类讨论。将上述定义式展开: \[ z^a=\operatorname{exp} (a \operatorname{Ln} z)=\operatorname{exp} (a(\ln z +2k\pi \mathrm{i}))=\operatorname{exp} (a\ln z) \operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}a) \]根据 \(a\) 的取值,分三种情形。 如果 \(a\) 为无理数或者虚数,\(\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}a)\) 的值有无限多个,此时一般幂函数是多值函数,并且函数值集合为无限集。 如果 \(a=n\) 为整数,此时有: \[ \operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}a)=\operatorname{exp} (2(kn)\pi \mathrm{i}a)=1 \]此时 \(z^a\) 是单值函数。复数的整数次幂(乘方)是单值函数。 如果 \(a=\frac{q}{p}\) 为有理数,其中 \(\gcd(q, p)=1\),此时有: \[ \operatorname{exp} (2k\pi ia)=\operatorname{exp} (2k\pi \mathrm{i}\frac{q}{p}) \]只能取 \(p\) 个不同的值,即 \(k\) 为 \(0\) 到 \(p-1\) 之间的值。这 \(p\) 个不同的值将单位圆周 \(n\) 等分,就是下文的单位根。 此时 \(z^a\) 是多值函数,并且可以取到有限的 \(p\) 个不同的值。复数的有理数次幂(开方)是多值函数,函数值集合为有限集。 这里引入一个经典结论。根据复数乘法,模相乘,辐角相加,也可以用来计算乘方和开方(整数次幂与有理数次幂)。如果 \(z=r \operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta)\),则有: \[ z^n=r^n(\operatorname{exp} (\mathrm{i}\theta))^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta) \]当模为 \(1\) 的时候,就得到 棣莫弗定理(De Moivre's formula): \[ (\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)^n=\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta \]非零复数 \(z\) 的 \(n\) 次方根共有 \(n\) 个,沿中心在原点,半径为 \(r^\frac{1}{n}\) 的圆周均匀分布,即构成内接于该圆周的正 \(n\) 边形的 \(n\) 个顶点。 单位根¶称 \(x^n=1\) 在复数意义下的解是 \(n\) 次复根。显然,这样的解有 \(n\) 个,称这 \(n\) 个解都是 \(n\) 次 单位根 或 单位复根(the \(n\)-th root of unity)。根据复平面的知识,\(n\) 次单位根把单位圆 \(n\) 等分。 设 \(\omega_n=\operatorname{exp} \frac{2\pi \mathrm{i}}{n}\)(即幅角为 \(2\pi \over n\) 的单位复数),则 \(x^n=1\) 的解集表示为 \(\{\omega_n^k\mid k=0,1\cdots,n-1\}\)。 如果不加说明,一般叙述的 \(n\) 次单位根,是指从 \(1\) 开始逆时针方向的第一个解,即上述 \(\omega_n\),其它解均可以用 \(\omega_n\) 的幂表示。 性质¶单位根有三个重要的性质。对于任意正整数 \(n\) 和整数 \(k\): \[ \begin{aligned} \omega_n^n&=1\\ \omega_n^k&=\omega_{2n}^{2k}\\ \omega_{2n}^{k+n}&=-\omega_{2n}^k\\ \end{aligned} \]推导留给读者自证。这三个性质在快速傅里叶变换中会得到应用。 本原单位根¶为什么说,上述 \(n\) 个解都是 \(n\) 次单位根,而平时说的 \(n\) 次单位根一般特指第一个? 特指第一个,是为了在应用时方便。 在解方程的视角看来,满足 \(\omega_n\) 性质的不止 \(\omega_n\) 一个,对于 \(\omega_n\) 的若干次幂也会满足性质。 称集合: \[ \{\omega_n^k\mid 0\le k |
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