复变函数:复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数 |
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实变函数(高等数学)主要内容: 微积分(一元、二元、多元)级数理论常微分方程复变函数: 研究对象:自变量为复数的函数主要任务:研究复变数之间的相互依赖关系,具体地就是复数域上的微积分主要内容:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。 一、复数基本知识 1.1 复数基本概念对任意两实数x, y,称 z = x + i y z=x+iy z=x+iy 或 z = x + y i z=x+yi z=x+yi 为复数,其中 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1 , i i i 称为虚部 复数 z z z 的实部 R e ( z ) = x Re(z)=x Re(z)=x,虚部 I m ( z ) = y Im(z)=y Im(z)=y 复数的模: ∣ z ∣ = x 2 + y 2 ≥ 0 |z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0 ∣z∣=x2+y2 ≥0 复数相等: z 1 = z 2 ⟺ x 1 = x 2 , y 1 = y 2 z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2 z1=z2⟺x1=x2,y1=y2,其中 z 1 = x 1 + i y 1 , z 2 = x 2 + i y 2 z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2 z1=x1+iy1,z2=x2+iy2 z = 0 ⟺ R e ( z ) = I m ( z ) = 0 z=0\iff Re(z)=Im(z)=0 z=0⟺Re(z)=Im(z)=0 一般两个复数不能比较大小。 共轭复数:若 z = x + i y z=x+iy z=x+iy,称 z ‾ = x − i y \overline{z}=x-iy z=x−iy 为 z z z 的共轭复数。 1.2 复数的几何表示 1.2.1 用点表示:z = x + i y ⟺ z=x+iy \iff z=x+iy⟺ 复平面上的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 复平面上横坐标轴称为实轴,纵坐标轴称为虚轴。 1.2.2 用向量表示:z = x + i y ⟺ O P → = { x , y } z=x+iy\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\} z=x+iy⟺OP ={x,y} 此时我们用向量 O P → \overrightarrow{OP} OP 来表示 z = x + i y z=x+iy z=x+iy。复数的模是向量的长度 ∣ z ∣ = ∣ O P → ∣ = x 2 + y 2 |z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=∣OP ∣=x2+y2 。而复数的幅角指向量与正实轴之间的夹角 θ = A r g z = ( O P → , x ) \theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x) θ=Argz=(OP ,x)( t a n ( A r g z ) = y x tan(Argz)={y\over x} tan(Argz)=xy),注意当z=0时,幅角无意义,且幅角是无穷多的: A r g z = θ = θ 0 + 2 k π Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi Argz=θ=θ0+2kπ,其中满足 − π < θ 0 < π -\pi |
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