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线性方程的几何意义
二元线性方程
该方程是一个二元线性方程组,包含两个方程,每个方程是一条直线,两条直线的交点就是该方程有唯一解,这就是二元线性方程的几何意义。 空间内不在同一直线上的三点构成一个平面,平面方程可表示为ax + by + cz = d。平面方程也称为三元线性方程。 方程x + 4y + z = 8,在xyz三个坐标轴上的截距分别是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8),下图是该函数在坐标轴上的示意图: 需要注意的是,平面是无限延伸的。 根据法向量求平面方程现在需要找到一个过原点的平面,它有一个过原点的法向量是。
如上图所示,P是所求平面上的向量,法向量N⊥OP,因此: 这就是平面方程。 再看一个稍微不同点的问题,一个平面的法向量是N,该平面经过P0(2, 1, -1),求该平面方程。 由于拥有同一个法向量,所以这是与上一个平面平行的平面: 平面上的任意点P1是(x, y, z),向量P0P1⊥N: 上面两个方程唯一的不同点就是ax + by + cz = d 中的d,其它参数对应了穿过原点的法向量,实际上,d两个平行平面的距离。根据这个特点,可以很快求得第二个平面方程:
示例 向量V = 与平面x + y + 3z = 5的关系? 平面的法向量N = ,容易看出,V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0,V⊥N,向量V与平面平行。需要注意的是,向量不是点(实际上向量有无数点),不同于(1, 2, -1),在没有特殊说明的情况下,可以认为向量从原点出发。如果向量V从原点出发,V经过点(1, 2, -1),但该点并不在平面上。 平面方程组的解 三元线性方程组 平面方程组也可能出现无解的情况,一种典型的情况是三个平面平行。如果P1∩P2≠φ,即二者相交于一条直线,根据P3的位置,平面方程组可能有唯一解,无解,或有无数解。下面是无数解和无解的情况: 无数解和无解 总结一下,如果P1与P2相交,它们的交线: 与P3相交于一点,则方程组有唯一解; 在P3上,则方程组有无数解; 与P3平行,且不在P3上,方程组无解。当然,如果P3与P1或P2中一个相同,则结集是一个平面。 点到平面的距离平面方程是ax + by + cz = d,平面外一点P = (x0, y0, z0),求该点到平面的距离。
PQ垂直于平面,现在要求PQ的长度,但是并不知道Q点的具体数值。 设P’ = (x1, y1, z1)是平面上的一点,现在将问题转换为向量: 向量QP是P’ P在法向量N方向上的分量,也就是P’ P与N相同方向的单位向量的点积。(可参考《线性代数笔记3——向量2(点积)》)设距离为D,则: 当然可以使用初中的代数知识求解线性方程组,这里主要讨论如何用矩阵求解。 消元法 首先将方程组以矩阵的方式表示: 该矩阵称为增广矩阵。由于是线性方程组,可以省略未知数: 现在可以对其进行消元,首先消去x,方法与普通代数法类似: 用同样的方法对y消元: 矩阵第三行对应-31z = 62,z = -2 最终可解得 可以看出,消元法本质上与初中的代数法没有区别,只是换了一种较为简单的表现形式,对于多元线性方程组,其消元过程十分繁琐。 矩阵法 这里需要使用列向量的概念,列向量是一个 n×1 的矩阵,即矩阵由一个含有n个元素的列所组成:列向量的转置是一个行向量,反之亦然。 将上面的方程组用矩阵和向量表示: 实际上可看作 x = b/A,有点意思了,可以通过一个除法运算直接求得方程的解。 解得 对于多元线性方程组,使用矩阵法求解比消元法简单的多。 我们用python求解消元法中的方程组 线性方程组在用矩阵向量法转换后,如果矩阵A是奇异矩阵,A-1没有定义,该方程组无解。对于二元线性方程组来说,其几何意义是两条平行的直线。 如
现在来看下面的矩阵: 如果把这个矩阵根据乘法展开,将得到两个矩阵: 这就可以看作是两个线性方程组:AX1 = b1,AX2 = b2 消元法求逆矩阵 上面的示例中, 我们的目标是将其变为IA-1: 求下面的平面方程: a) 已知平面的法向量N = ,平面过点(1, 0, -1) b) 平面过原点且平行于两个向量A = 和B = c) 平面过点P1(1, 2, 0), P2(3, 1, 1), P3(2, 0, 0) d) 平面与a中的平面平行,且经过点(1 , 2, 3)
a. 平面方程ax + by + cz = d,N = =,所以平面方程是x + 2y + 3z = d 将点(1, 0, -1) 代入平面方程,1 + 0 -3 = -2 = d 平面方程是 x + 2y + 3z = -2
b. 平面方程ax + by + cz = d ∵A,B过原点,且与平面平行,并且平面过原点 ∴A,B在平面上,d = 0 已知平面上两个个向量从同一点出发的向量,计算平面的法向量: 平面方程是 2x + y + 2z = 0 根据叉积计算法向量可参考《线性代数笔记4——向量3(叉积)》
c. 平面方程2x + y – 3z = d,取任意点代入,d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4
d. a的平面是x + 2y + 3z = -2,由于该平面平行于a,所以该平面是x + 2y + 3z = d。 将点(1 , 2, 3)代入,1 + 2×2 + 3×3 = 14 = d 平面方程是x + 2y + 3z = 14 示例2求原点到平面2x + y -2z = 4的距离。 总结 二元线性方程组的几何意义是平面上的两条直线,其解是二者的交点 三元线性方程组的几何意义是三维空间上的三个平面,可能存在唯一解、无数解或无解 平面方程用ax + by + cz = d,点到平面的距离 ![]()
作者:我是8位的 出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey 本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! |
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