均匀分布的点估计量 |
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均匀分布的点估计量
1.均匀分布
若随机变量 X ∼ F ( x ) = { 0 , o t h e r s x θ , x ∈ ( 0 , θ ) X\sim F(x)=\begin{cases}0\quad,others\\ \frac x \theta\quad,x\in(0,\theta)\end{cases} X∼F(x)={0,othersθx,x∈(0,θ)，则称随机变量 X ∼ U ( 0 , θ ) X\sim U(0,\theta) X∼U(0,θ)即 X X X服从 ( 0 , θ ) (0,\theta) (0,θ)的均匀分布 均匀分布的期望及方差 f ( x ) = d d x F ( x ) = { 0 , o t h e r s 1 θ , x ∈ ( 0 , θ ) f(x)=\frac d {dx}F(x)=\begin{cases}0\quad , others\\ \frac 1 \theta\quad ,x\in(0,\theta)\end{cases} f(x)=dxdF(x)={0,othersθ1,x∈(0,θ) E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0 θ x θ d x = θ 2 E(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx=\int_0^\theta \frac x \theta dx=\frac \theta 2 E(X)=∫−∞+∞xf(x)dx=∫0θθxdx=2θ D ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 f ( x ) d x − θ 2 4 = θ 2 12 D(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}x^2f(x)dx-\frac {\theta^2} 4=\frac {\theta^2} {12} D(X)=∫−∞+∞x2f(x)dx−4θ2=12θ2 2. θ \theta θ的极大似然估计设 ( X 1 , X 2 , … , X n ) (X_1,X_2,\dots,X_n) (X1,X2,…,Xn)是总体 X ( X ∼ U ( 0 , θ ) ) X(X\sim U(0,\theta)) X(X∼U(0,θ))的样本求 θ \theta θ的极大似然估计量 写出似然函数 L ( θ ) = ∏ i = 1 n f i ( x ) = ( 1 θ ) n ( θ ≥ m a x { X 1 , X 2 , … , X n } ) L(\theta)=\prod_{i=1}^nf_i(x)=(\frac 1 \theta)^n\quad(\theta\geq \mathop{max}\{X_1,X_2,\dots,X_n\}) L(θ)=i=1∏nfi(x)=(θ1)n(θ≥max{X1,X2,…,Xn})分析似然函数的增减趋势得出驻点 易得当 θ \theta θ越大时 L ( θ ) L(\theta) L(θ)越小故 θ \theta θ越小越好，故 θ ^ = m a x { X 1 , X 2 , … , X n } = X ( n ) \hat{\theta}=\mathop{max}\{X_1,X_2,\dots,X_n\}=X_{(n)} θ^=max{X1,X2,…,Xn}=X(n) 一般来说进行极大似然估计要先求出对数似然函数而后求导取驻点但在似然函数简单的情况下无需这样做，可以简单地对似然函数的单调性进行分析 3. θ \theta θ的矩估计量设 ( X 1 , X 2 , … , X n ) (X_1,X_2,\dots,X_n) (X1,X2,…,Xn)是总体 X ( X ∼ U ( 0 , θ ) ) X(X\sim U(0,\theta)) X(X∼U(0,θ))的样本求 θ \theta θ的矩估计量 X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i = E ( X ) = θ 2 \overline X=\frac 1 n\sum_{i=1}^{n}X_i=E(X)=\frac \theta 2 X=n1i=1∑nXi=E(X)=2θ 则 θ ^ = 2 X ‾ \hat{\theta}=2\overline X θ^=2X 4.总结对于均匀分布而言 θ \theta θ的极大似然估计量和矩估计量不一致 |
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