矩阵的秩（Rank）

2024-07-01 05:13:20| 来源: 网络整理| 查看: 265

定义

一个矩阵 A 的列秩是 A 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 A 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 A 的秩。通常表示为 r(A)，rank(A) 或 rk(A)。

可替代定义用行列式定义

设 A 为 m*n 矩阵，若 A 至少有一个 r 阶非零子式，而其所有 r+1 阶子式全为零，则称 r 为 A 的秩。

性质 m × n 矩阵的秩不大于m且不大于n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m, n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。只有零矩阵有秩 0。A的秩最大为 min(m,n)。如果方块矩阵 A 是可逆的，当且仅当 A 有秩 n（也就是 A 有满秩）。A 的秩等于 r，当且仅当存在一个可逆的 m*m 矩阵 X 和一个可逆的 n*n 矩阵 Y 使得 $XAY=\begin{bmatrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ 。西尔韦斯特不等式：如果 A 是一个 m*n 的矩阵，且 B 是 n*k 的矩阵，则 $rank(A)+rank(B)-n\leq rank(AB)$ 。如果 AB，ABC 和 BC 有定义，则 $rank(AB)+rank(BC)\leq rank(B)+rank(ABC)$ 。 $rank(A+B)\leq rank(A)+rank(B)$ 。如果 A 是实数上的矩阵，那么 $rank(A^{T}A)=rank(AA^T)=rank(A)=rank(A^T)$ 。如果 A 是复数上的矩阵，那么 $rank(A)=rank(\overline{A})=rank(A^T)=rank(A^*)=rank(A^*A)$ 。举例

计算矩阵 A 的秩最容易的方法就是高斯消元法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变化不会改变矩阵的秩。

$A=\begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 & 3\\ -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 &2 & 2\\ 3 & 6 & 2 & 5 \end{bmatrix}$ ，可以看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍，而第 4 纵列-等于第 1 和第 3 纵列的总和。第 1 和第 3 纵列是线性无关的，所以 A 的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行阶梯形矩阵： $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ ，它有两个非零的横行。

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