好久没更新了。这次咱更个容易点的。

介绍一下齐次化在圆锥曲线大题中的应用。

但是这种方法存在不给分的可能，下一篇专栏我再介绍一种替代方法。

其实很容易。

我们知道，对于二元齐次方程，我们可以通过一些变换把它变成关于y/x的方程。

当我们需要讨论y/x的关系时就可以构造齐次式来求解。

由于我们研究的是圆锥曲线所以我们往往会得到一个二次方程。

所以使用它的条件就是已知信息要能用关于y/x的韦达定理表示。

刚刚讲的在高考中应该是可以直接使用的。

真正的争议点就在于建立已知问题和y/x的关系上。

有些情况会用到平移变换，而这在高中能否直接使用存在争议。

说了那么多你可能也没看懂。

下面用一个实例帮助你理解。

这题呢有常规解法。

大致思路就是:利用OQ1与OQ2垂直，设点和直线y=kx+m得到k，m，b的关系。

根据OD与Q1Q2垂直，设点，我们还能得到k，m和D点的关系。

根据以上两个关系求得轨迹方程。

计算量比齐次化的方法稍微大很小一丢丢。

这道题给了两个垂直，其实就是两个向量垂直。(垂直我个人建议转化为向量垂直，利用点积为0，避免斜率不存在的分类讨论)

对于Q1Q2来说，用向量表示要两个点

再加上表达OD的一个点

总共要3个点才能表达垂直关系。

而OQ1和OQ2垂直只需要两个点。

咱们优先考量OQ1和OQ2垂直

设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)

就有x1x2+y1y2=0

也就是

但是这个变换不等价与原来的式子。

请自行检验x1，x2为0的情况。(常规方法也需要的)

然后我们就构造出了一个关于y/x的结果，而且恰好是韦达定理形式的。

接下来才是齐次化的精髓。

用1的代换构造齐次式。

我们刚刚要单独拎出来检验的是x1，x2为0的时候，也就是Q1Q2斜率不存在的情况。

因此我们可以考虑设Q1Q2:y=kx+m

因为这种方程加上刚刚的检验可以包括所有的直线。

然后我们联立直线和椭圆。

精髓来了啊。

变换直线方程为1=F(x，y)的形式。

把椭圆方程中不是二次的单项式都乘以1或1的平方。(一次式乘1，常数项乘1的平方)

代换得到

化简得到

我不小心用了两个k，现在我们把直线方程中的k换成n

即Q1Q2:y=nx+m

两边同除以x²得到

其中k为OQ1,OQ2的斜率。

我们知道它们的乘积为-1

于是由韦达定理

接下来我们再利用OD写直线方程。

设D(x3，y3)于是

Q1Q2:

对比系数代入关系式化简就能得到轨迹方程

3x²+3y²=2b²

没错，这玩意是个圆。

看好这个哈。

这个很重要。

这道题的特征在于给了两个斜率的关系，而且这个关系能用韦达定理表达。

这种问题都可以用齐次化来尝试解决。

但是我们需要把斜率转化为y/x的形式，这里就需要用一个有争议的方法。

平移变换。

记住口诀 左加右减，上减下加

就能平移椭圆。

(可以通过二元函数F(x，y)的平移来证明)

我们直接把P点平移到坐标原点。

这样新的斜率就能表达为y/x了。

原来的椭圆就转化为了

设直线为mx+ny=1

联立，齐次化，化简得到

根据韦达定理

m=0.5+n

反代回直线方程就是

由题意上式恒成立，所以x=2，y=-2

再平移回去就得到定点为(2，-1)

下面是常规解法

除此之外当然也有我之后会介绍的替代解法——构造同构式。

之后再说。

本期内容到此结束。

接下来呢，我打算再更新一些圆锥曲线的方法。

比如解决双斜率情况的第二种方法——构造同构式

点差法及其拓展结论

定比点差法

定比分点公式与韦达定理

和差公式

硬解定理

等效判别式

圆锥曲线的第二定义

抛物线的平均性质

椭圆、双曲线的第三定义

圆锥曲线的极坐标方程、参数方程

行列式求解二元一次方程组

附:平面法向量速求法、三角形面积的坐标表达

别看我这边写了这么多，但是我没那么多时间更新完。

还有一种重要方法——仿射变换

我先不加入投票，这种方法也有不给分的可能。

以后应该还会介绍。

暂时就说这么多吧。