刚刚学了定积分的一点皮毛…来玩一玩 废话不多说，Let’s start

设球的半径为 R R R 我们把球（我们通过半球来考虑）切成好多好多（ n n n片）薄片，就是一个一个的圆，设圆的半径分别为 r r r 面积

S ( r ) = π r 2 S(r)=\pi r^2 S(r)=πr2

到圆心距离为 x x x的圆的半径

f ( x ) = R 2 − x 2 f(x)=\sqrt{R^2-x^2} f(x)=R2−x2 ​

可以得到

V = 2 ∫ 0 R S ( f ( x ) ) d x V=2\int_{0}^{R}S(f(x))dx V=2∫0R​S(f(x))dx

= 2 ∫ 0 R S ( R 2 − x 2 ) d x =2\int_{0}^{R}S(\sqrt{R^2-x^2})dx =2∫0R​S(R2−x2 ​)dx

= 2 ∫ 0 R π ( R 2 − x 2 ) d x =2\int_{0}^{R}\pi(R^2-x^2)dx =2∫0R​π(R2−x2)dx

= 2 π ( ∫ 0 R R 2 d x − ∫ 0 R x 2 d x ) =2\pi(\int_{0}^{R}R^2dx-\int_{0}^{R}x^2dx) =2π(∫0R​R2dx−∫0R​x2dx)

= 2 π ( R 3 − ∫ 0 R x 2 d x ) =2\pi(R^3-\int_{0}^{R}x^2dx) =2π(R3−∫0R​x2dx)

下面我们来看以下 g ( x ) g(x) g(x)如何解决

g ( x ) = ∫ 0 R x 2 d x g(x)=\int_{0}^{R}x^2dx g(x)=∫0R​x2dx

= lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n ( i R n ) 2 × R n =\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}(\frac{iR}{n})^2\times\frac{R}{n} =n→∞lim​i=1∑n​(niR​)2×nR​

= lim ⁡ n → ∞ R 3 n 3 ∑ i = 1 n i 2 =\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2 =n→∞lim​n3R3​i=1∑n​i2

= lim ⁡ n → ∞ R 3 n 3 × 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) =\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{n^3}\times\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) =n→∞lim​n3R3​×61​n(n+1)(2n+1)

= lim ⁡ n → ∞ R 3 6 × ( 2 + 3 n + 1 n 2 ) =\lim_{n\to \infty}\frac{R^3}{6}\times(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}) =n→∞lim​6R3​×(2+n3​+n21​)

= R 3 3 =\frac{R^3}{3} =3R3​

最后代入 V V V，大功告成

V = 2 π ( R 3 − ∫ 0 R x 2 d x ) V=2\pi(R^3-\int_{0}^{R}x^2dx) V=2π(R3−∫0R​x2dx)

= 2 π ( R 3 − R 3 3 ) =2\pi(R^3-\frac{R^3}{3}) =2π(R3−3R3​)

= 4 3 π R 3 =\frac{4}{3}\pi R^3 =34​πR3

其实算出了 V V V的公式，球的表面积公式就不攻自破了。 只要对 V V V求导就好了 为什么呢？因为一个球变大了很小很小的一点点，不就相当于多了一层表面积吗

S = V ′ = 4 π R 2 S=V'=4\pi R^2 S=V′=4πR2