§3 柱面方程与柱面坐标

一 母线平行于坐标轴的柱面方程

1 定义：一动直线l在运动过程中，总是平行于一定方向V。，且总与一曲线c相交，则l的运动轨迹称为柱面，其中V。——柱面的方向，c——柱面的准线，l的任一位置——柱面的母线。

2 方程及特征：

定理：在空间坐标系下，三元方程F（x,y,z）=0为一母线，平行于z轴的柱面的方程 〈═〉该方程同解于一关于x,y的二元方程f（x,y）=0

证： "═〉"设三元方程F（x,y,z）为一母线平行于z轴的柱面Σ的方程，则Σ与面的交线c：〈═〉

其中f（x,y）≡F（x,y,0），可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M点的坐标满足f（x,y）=0， ∴f（x,y）=0是Σ的方程，从而F（x,y,z）=0与

f（x,y）=0同解。

"〈═"若F（x,y,z）=0同解于f（x,y）=0，记以c：为准线，母线平行于z轴的柱面为Σ，可以证明M（x,y,z）∈Σ〈═〉M的坐标满足f（x,y）=0

∴f（x,y）=0表示柱面Σ，从而F（x,y,z）=0亦表示柱面Σ

例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面和抛物柱面的图形如下：

(图2.4)

(图2.5)

(图2.6) (图2.7)

二 柱面坐标：

1 圆柱面的参数方程：

设圆柱面Σ的中心轴重合于z轴，半径=R

对P∈Σ，记P在x.y面上的投影为P′

θ=∠（i，OP′），则

r= = + = Rcosθi+Rsinθj+uk————矢量式参数方程

而 0≦θ