前文

Dubins 曲线推导(基于向量的方法)

前文已经从向量的角度进行了Dubins曲线公式的推导，这篇博客主要基于这篇论文《Classification of the Dubins set》介绍基于几何的关系下的dubins曲线公式，论文每一种情况都有详细的推导，因此这里只给出每种情况的公式，推导过程大家参考论文即可。

dubins路径集合为 { L S L ， R S R ， R S L ， L S R ， R L R ， L R L } \{LSL， RSR， RSL， LSR， RLR， LRL\} {LSL，RSR，RSL，LSR，RLR，LRL}。 L L L表示向左转的圆弧运动， R R R表示向右转的圆弧运动， S S S表示沿直线运动。

设起点为 s ( x i , y i , α i ) s\left(x_{i}, y_{i}, \alpha_{i}\right) s(xi​,yi​,αi​) ，终点为 g ( x g , y g , β g ) g\left(x_{g}, y_{g}, \beta_{g}\right) g(xg​,yg​,βg​) ， 先坐标变换将起点平移至原点，并旋转 θ \theta θ 角，则终点也落在 x \mathrm{x} x 轴上，起点和终点的坐标为 s ( 0 , 0 , α ) , g ( d , 0 , β ) s(0,0, \alpha), g(d, 0, \beta) s(0,0,α),g(d,0,β) ，其中: θ = atan ⁡ 2 ( y g − y i x g − x i )   m o d   { 2 π } D = ( x i − x g ) 2 + ( y i − y g ) 2 d = D / R α = ( α i − θ )   m o d   { 2 π } β = ( β g − θ )   m o d   { 2 π } (1) \tag{1} \begin{gathered} \theta=\operatorname{atan} 2\left(\frac{y_{g}-y_{i}}{x_{g}-x_{i}}\right) \bmod\{2\pi\} \\ D=\sqrt{\left(x_{i}-x_{g}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{g}\right)^{2}} \\ d=D / R \\ \alpha= \left(\alpha_{i}-\theta\right) \bmod\{2\pi\} \\ \beta= \left(\beta_{g}-\theta\right) \bmod\{2\pi\} \end{gathered} θ=atan2(xg​−xi​yg​−yi​​)mod{2π}D=(xi​−xg​)2+(yi​−yg​)2 ​d=D/Rα=(αi​−θ)mod{2π}β=(βg​−θ)mod{2π}​(1)

几点说明：

其中 θ \theta θ 为起点和终点航向角度差，上面的角度都在 [ 0 , 2 π ] [0,2 \pi] [0,2π] 之间。

上面用 D D D 除上 R R R这样处理可以使每个最小转弯半径 R R R都为 1 ，由角度计算弧长时更方便，弧长即等于角度的弧度，因此在后面看到的 cos ⁡ ( α ) \cos (\alpha) cos(α) ，其实是前面省略了 R R R 。

m o d ( ) mod() mod()是取模运算，例如：   m o d   ( 3 π , 2 π ) = 3 π   m o d   2 π = π \bmod(3\pi,2\pi)=3\pi \bmod 2 \pi=\pi mod(3π,2π)=3πmod2π=π。下述的 β (   m o d   2 π ) \beta(\bmod 2 \pi) β(mod2π)也是这个意思，即 β \beta β对 2 π 2\pi 2π取模。python实现方式很简单，如下：

坐标变换的python实现很简单，如下：

设车辆在起始圆上走过的长度为 t t t ，直线段长度为 p p p ，第二个圆上的圆弧长度为 q q q，整个路径长度 L = t + p + q L=t+p+q L=t+p+q。下面依次给出6种情况的轨迹公式。

L S L LSL LSL路径的轨迹长度公式如下: t l s l = − α + arctan ⁡ cos ⁡ β − cos ⁡ α d + sin ⁡ α − sin ⁡ β {   m o d   2 π } p l s l = 2 + d 2 − 2 cos ⁡ ( α − β ) + 2 d ( sin ⁡ α − sin ⁡ β ) q l s l = β − arctan ⁡ cos ⁡ β − cos ⁡ α d + sin ⁡ α − sin ⁡ β {   m o d   2 π } (2) \tag{2} \begin{aligned} &t_{l s l}=-\alpha+\arctan \frac{\cos \beta-\cos \alpha}{d+\sin \alpha-\sin \beta}\{\bmod 2 \pi\} \\ &p_{l s l}=\sqrt{2+d^{2}-2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \alpha-\sin \beta)} \\ &q_{l s l}=\beta-\arctan \frac{\cos \beta-\cos \alpha}{d+\sin \alpha-\sin \beta}\{\bmod 2 \pi\} \end{aligned} ​tlsl​=−α+arctand+sinα−sinβcosβ−cosα​{mod2π}plsl​=2+d2−2cos(α−β)+2d(sinα−sinβ) ​qlsl​=β−arctand+sinα−sinβcosβ−cosα​{mod2π}​(2) 总长度等于: L l s l = t l s l + p l s l + q l s l = − α + β + p l s l (3) \tag{3} \mathcal{L}_{l s l}=t_{l s l}+p_{l s l}+q_{l s l}=-\alpha+\beta+p_{l s l} Llsl​=tlsl​+plsl​+qlsl​=−α+β+plsl​(3)

python实现如下：

总长度等于: L r s r = t r s r + p r s r + q r s r = α − β + p r s r (5) \tag{5} \mathcal{L}_{r s r} =t_{r s r}+p_{r s r}+q_{r s r}=\alpha-\beta+p_{r s r} Lrsr​=trsr​+prsr​+qrsr​=α−β+prsr​(5)

python实现如下：

总长度等于: L r s l = t r s l + p r s l + q r s l = − α + β + 2 t r s l + p r s l (7) \tag{7} \mathcal{L}_{r s l} =t_{r s l}+p_{r s l}+q_{r s l}=-\alpha+\beta+2 t_{r s l}+p_{r s l} Lrsl​=trsl​+prsl​+qrsl​=−α+β+2trsl​+prsl​(7)

python实现如下：

总长度等于: L l s r = t l s r + p l s r + q l s r = α − β + 2 t l s r + p l s r (9) \tag{9} \mathcal{L}_{l s r} =t_{l s r}+p_{l s r}+q_{l s r}=\alpha-\beta+2 t_{l s r}+p_{l s r} Llsr​=tlsr​+plsr​+qlsr​=α−β+2tlsr​+plsr​(9)

python实现如下：

总长度等于: L r l r = t r l r + p r l r + q r l r = α − β + 2 p r l r (11) \tag{11} \mathcal{L}_{r l r}=t_{r l r}+p_{r l r}+q_{r l r}=\alpha-\beta+2 p_{r l r} Lrlr​=trlr​+prlr​+qrlr​=α−β+2prlr​(11)

python实现如下：

上述实现方式得不到最优结果，很奇怪，下面这种写法倒是可以得到最优结果：

L R L LRL LRL路径的轨迹长度公式如下: t l r l = ( − α + arctan ⁡ ( − cos ⁡ α + cos ⁡ α d + sin ⁡ α − sin ⁡ β ) + p l r l 2 ) {   m o d   2 π } p l r l = arccos ⁡ 1 8 ( 6 − d 2 + 2 cos ⁡ ( α − β ) + 2 d ( sin ⁡ α − sin ⁡ β ) ) {   m o d   2 π } q l r l = β (   m o d   2 π ) − α + 2 p l r l {   m o d   2 π } (12) \tag{12} \begin{aligned} &t_{l r l}=\left(-\alpha+\arctan \left(\frac{-\cos \alpha+\cos \alpha}{d+\sin \alpha-\sin \beta}\right)+\frac{p_{l r l}}{2}\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ &p_{l r l}=\arccos \frac{1}{8}\left(6-d^{2}+2 \cos (\alpha-\beta)+2 d(\sin \alpha-\sin \beta)\right)\{\bmod 2 \pi\} \\ &q_{l r l}=\beta(\bmod 2 \pi)-\alpha+2 p_{l r l}\{\bmod 2 \pi\} \end{aligned} ​tlrl​=(−α+arctan(d+sinα−sinβ−cosα+cosα​)+2plrl​​){mod2π}plrl​=arccos81​(6−d2+2cos(α−β)+2d(sinα−sinβ)){mod2π}qlrl​=β(mod2π)−α+2plrl​{mod2π}​(12)

总长度等于: L l r l = t l r l + p l r l + q l r l = − α + β + 2 p l r l . (13) \tag{13} \mathcal{L}_{l r l}=t_{l r l}+p_{l r l}+q_{l r l}=-\alpha+\beta+2 p_{l r l} . Llrl​=tlrl​+plrl​+qlrl​=−α+β+2plrl​.(13) python实现如下：

同样上述实现方式得不到最优结果，下面这种写法可以得到最优结果：

以上完整代码文件见github仓库

由于在自动驾驶中算法实现一般使用C++，所以我也使用C++实现了相关功能，代码结构与python代码实现类似，这边就不再做相关代码解释了。完整代码详见另一个github仓库。