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神经网络学习笔记 - 激活函数的作用、定义和微分证明
看到知乎上对激活函数(Activation Function)的解释。 我一下子迷失了。 因此，匆匆写下我对激活函数的理解。 激活函数被用到了什么地方目前为止，我见到使用激活函数的地方有两个。 逻辑回归(Logistic Regression) 神经网络(Neural Network) 这两处，激活函数都用于计算一个线性函数的结果。 了解激活函数激活函数的作用：就是将权值结果转化成分类结果。 2类的线性分类器先说一个简单的情况 - 一个2类的线性分类器。 了解激活函数，先要明确我们的问题是："计算一个（矢量）数据的标签（分类）"。 以下图为例：
训练的结果，是一组\((w,b)\)，和一个线性函数\(f(x) = wx + b\)。 预测我们现在仔细考虑一下，如何在预测函数中使用这个线性函数\(f(x)\)。 先从几何方面理解一下，如果预测的点在分割线\(wx + b = 0\)上，那么\(f(x) = wx + b = 0\)。 如果，在分割线的上方某处，\(f(x) = wx + b = 8\)(假设是8)。 8可以认为是偏移量。 注：取决于(w, b)，在分割线上方的点可以是正的，也可能是负的。 例如： y - x =0，和 x - y = 0，这两条线实际上是一样的。 但是，应用点(1, 9)的结果， 第一个是8, 第二个是 -8。 问题然后，你该怎么办？？？ 如何用这个偏移量来得到数据的标签？ 激活函数激活函数的作用是：将8变成红色。 怎么变的呢？比如：我们使用sigmoid函数，sigmoid(8) = 0.99966464987。 sigmoid函数的结果在区间(0, 1)上。如果大于0.5，就可以认为满足条件，即是红色。 3类分类器的情况我们再看看在一个多类分类器中，激活函数的作用。 以下图为例：
3类\({a, b, c}\)分类器的训练结果是3个\((w, b)\)，三个\(f(x)\)，三条分割线。 每个\(f(x)\)，可以认为是针对一个分类的model。因此： \[f_a(x) = w_ax + b_a \\ f_b(x) = w_bx + b_b \\ f_c(x) = w_cx + b_c \]预测对于预测的点\(x\)，会得到三个偏移量\([f_a(x), f_b(x), f_c(x)]\)。 使用激活函数sigmoid: \(sigmoid([f_a(x), f_b(x), f_c(x)])\) 会得到一个向量, 记为：\([S_a, S_b, S_c]\)。 这时的处理方法是：再次使用激活函数（没想到吧） 一般会使用激活函数softmax。 激活函数，在这里的作用是：计算每个类别的可能性。 最后使用argmax函数得到：最大可能性的类。 注：上面差不多是Logistic Regression算法的一部分。 注：softmax也经常被使用于神经网络的输出层。 激活函数的来源在学习神经网络的过程中，激活函数的灵感来自于生物神经网络，被认为是神经元对输入的激活程度。 最简单的输出形式是：一个开关，\({0, 1}\)。 要么\(0\)，要么\(1\)。 也就是一个单位阶跃函数(Heaviside step function)。 这种思想主要是一种灵感来源，并不是严格的推理。 常用的激活函数有哪些 名称 公式 取值范围 微分 图 sigmoid - S型 $$ \begin{align} \sigma(x) & = \frac{e^x}{1 + e^x} \\ & = \frac{1}{1 + e^{-x}} \end{align} $$ $(0, 1)$ $$ \sigma'(x) = (1 - \sigma(x))\sigma(x) $$
tanh(hyperbolic tangent) - 双曲正切
$$
\begin{align}
tanh(x)
& = sinh(x)/cosh(x) \\
& = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \\
& = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \\
& = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}
\end{align}
$$
$(-1, 1)$
$$
tanh'(x) = 1 - tanh(x)^2
$$
Rectified linear unit - ReLU - 修正线性单元
$$
relu(x) =
\begin{cases}
0 & \text{for}\ x < 0 \\
x & \text{for}\ x \geqslant 0
\end{cases}
$$
$[0, \infty)$
$$
relu'(x) =
\begin{cases}
0 & \text{for}\ x < 0 \\
1 & \text{for}\ x \geqslant 0
\end{cases}
$$
softmax
$$
f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}
\cdots &
\frac{e^{x_i}}{\sum_{k=1}^{k=K}e^{x_k}} &
\cdots
\end{bmatrix}
$$
$(0, 1)$
$$
softmax'(z_t) = \frac{\partial{y_t}}{\partial{z_t}} =
\begin{cases}
\hat{y_{t_i}}(1 - \hat{y_{t_i}}), & \text{if } i = j \\
-\hat{y_{t_i}} \hat{y_{t_j}}, & \text{if } i \ne j
\end{cases}
$$
激活函数的意义
名称
含义
sigmoid - S型
sigmoid的区间是[0, 1]。因此，可以用于表示Yes/No这样的信息。
比如：不要(0)/要(1)。
多用于过滤数据。比如：门。
tanh(hyperbolic tangent) - 双曲正切
tanh的区间是[-1, 1]。同样可以表示Yes/No的信息，而且加上了程度。
比如：
非常不可能(-1)/一般般(0)/非常可能(1)。
非常不喜欢(-1)/一般般(0)/非常喜欢(1)。
因此，tanh多用于输出数据。输出数据最终会使用softmax来计算可能性。
softmax
softmax用于输出层，计算每个分类的可能性。
Rectified linear unit - ReLU - 修正线性单元
ReLU的好处：ReLU对正值较少的数据，处理能力更强。
由于，其导数为{0, 1}，可以避免梯度消失问题。
激活函数的微分的证明
sigmoid
sigmoid函数 \[\sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \\ \sigma'(x) = (1 - \sigma(x))\sigma(x) \]证明 \[\begin{align} \frac{\partial \sigma(x)}{\partial x} & = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} \\ & = {\left ( \frac{1 + e^{-x} - 1}{1 + e^{-x}} \right ) }{\left ( \frac{1}{1 + e^{-x}} \right )} \\ & = (1 - \sigma(x))\sigma(x) \end{align} \]tanhtanh函数 \[\tanh(x) = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \\ tanh'(x) = 1 - tanh(x)^2 \]证明 \[\begin{align} \frac{\partial tanh(x)}{\partial x} & = \left (1 - \frac{2}{e^{2x} + 1} \right )' \\ & = 2 \cdot \frac{2e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} \\ & = \frac{4e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} \\ & = \frac{(e^{2x} + 1)^2 - (e^{2x} - 1)^2}{(e^{2x} + 1)^2} \\ & = 1 - \left (\frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} \right )^2 \\ & = 1 - tanh(x)^2 \end{align} \]softmax激活函数softmax和损失函数会一起使用。 激活函数会根据输入的参数（一个矢量，表示每个分类的可能性），计算每个分类的概率(0, 1)。 损失函数根据softmax的计算结果\(\hat{y}\)和期望结果\(y\)，根据交叉熵方法(cross entropy loss) 可得到损失\(L\)。 softmax函数 \[\text{softmax:} \\ \hat{y_{t_i}} = softmax(o_{t_i}) = \frac{e^{o_{t_i}}}{\sum_{k}e^{o_{t_k}}} \\ \hat{y_t} = softmax(z_t) = \begin{bmatrix} \cdots & \frac{e^{o_{t_i}}}{\sum_{k}e^{o_{t_k}}} & \cdots \end{bmatrix} \\ \\ softmax'(z_t) = \frac{\partial{y_t}}{\partial{z_t}} = \begin{cases} \hat{y_{t_i}}(1 - \hat{y_{t_i}}), & \text{if } i = j \\ -\hat{y_{t_i}} \hat{y_{t_j}}, & \text{if } i \ne j \end{cases} \]证明 \[softmax'(z_t) = \frac{\partial \hat{y_t} }{\partial z_t } \\ \\ \text{if } i = j \\ \begin{align} \frac{\partial \hat{y_{t_i}} } {\partial o_{t_i} } & = \left ( \frac{e^{o_{t_i}}}{\sum_{k}e^{o_{t_k}}} \right )' \\ & = \left ( 1 - \frac{S}{\sum_{k}e^{o_{t_k}}} \right )' \text{ // set } S = \sum_{k \ne i}e^{o_{t_k}} \\ & = \left ( 1 - \frac{S}{S + e^{o_{t_i}}} \right )' \\ & = \frac{S \cdot e^{o_{t_i}}}{(S + e^{o_{t_i}})^2} \\ & = \frac{S}{S + e^{o_{t_i}}} \cdot \frac{e^{o_{t_i}}}{S + e^{o_{t_i}}} \\ & = \frac{S}{S + e^{o_{t_i}}} \cdot \frac{e^{o_{t_i}}}{S + e^{o_{t_i}}} \\ & = \left ( 1 - \frac{e^{o_{t_i}}}{S + e^{o_{t_i}}} \right ) \cdot \frac{e^{o_{t_i}}}{S + e^{o_{t_i}}} \\ & = \left ( 1 - \frac{e^{o_{t_i}}}{\sum_{k}e^{o_{t_k}}} \right ) \cdot \frac{e^{o_{t_i}}}{\sum_{k}e^{o_{t_k}}} \\ & = \left ( 1 - \hat{y_{t_i}} \right ) \cdot \hat{y_{t_i}} \\ \text{if } i \ne j \\ \frac{\partial \hat{y_{t_j}} }{\partial o_{t_i} } & = \left ( \frac{ e^{o_{t_j}} } { \sum_{k}e^{o_{t_k}} } \right )' \\ & = \left ( \frac{e^{o_{t_j}}}{S + e^{o_{t_i}}} \right )' \text{ // set } S = \sum_{k \ne i}e^{o_{t_k}} \\ & = - \frac{ e^{o_{t_j}} \cdot e^{o_{t_i}} }{ (S + e^{o_{t_i}})^2 } \\ & = - \frac{ e^{o_{t_j}} }{ S + e^{o_{t_i}} } \cdot \frac{ e^{o_{t_i}} }{ S + e^{o_{t_i}} } \\ & = - \frac{ e^{o_{t_j}} }{ \sum_{k}e^{o_{t_k}} } \cdot \frac{ e^{o_{t_i}} }{ \sum_{k}e^{o_{t_k}} } \\ & = - \hat{y_{t_j}} \cdot \hat{y_{t_i}} \end{align} \]参照 Activation function 神经网络学习笔记-04-损失函数的定义和微分证明 |
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