§1.基本概念 时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为: ( y 1 , y 2 , . . . , y T ) (y_1,y_2,...,y_T) (y1​,y2​,...,yT​)

如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期,那么上面的数据区间可以进一·步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为: ( . . . , y 1 , y 2 , . . . , y T , . . . ) = { y t } t = − ∞ t = + ∞ (...,y_1,y_2,...,y_T,...)=\{y_t\}_{t=-\infty}^{t=+\infty} (...,y1​,y2​,...,yT​,...)={yt​}t=−∞t=+∞​

例1.1:几种代表性的时间序列 (1)时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时: y t = t y_t=t yt​=t ; (2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即: y t = c y_t=c yt​=c， c c c是常数，这种时间的取值不受时间的影响; (3)在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为: y t = ε t y_t =ε_t yt​=εt​， { ε t } t = − ∞ t = + ∞ \{ε_t\}_{t=-\infty}^{t=+\infty} {εt​}t=−∞t=+∞​是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从 N ( 0 , σ 2 ) N(0, σ^2) N(0,σ2)分布。 时间序列之间也可以进行转换,类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。 例1.2:几种代表性的时间序列转换 (1) 假设 x t x_t xt​是一个时间序列，假设转换关系为: y t = β x t y_t=βx_t yt​=βxt​，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。 (2) 假设 x t x_t xt​和 w t w_t wt​是两个时间序列，算子转换方式为: y t = x t + w t y_t=x_t +w_t yt​=xt​+wt​，此算子是将两个时间序列求和。 定义1.1: 如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做 L L L。即对任意时间序列 x t x_t xt​，滞后算子满足: L ( x t ) ≡ x t − 1 ( 1 ) L(x_t)\equiv x_{t-1}\qquad(1) L(xt​)≡xt−1​(1)

类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为 L 2 L^2 L2，对任意时间序列 x t x_t xt​，二阶滞后算子满足: L 2 ( x t ) ≡ L [ L ( x t ) ] = x t − 2 ( 2 ) L^2(x_t)\equiv L[L(x_t)]=x_{t-2}\qquad(2) L2(xt​)≡L[L(xt​)]=xt−2​(2)

一般地，对于任意正整数 k k k，有： L k ( x t ) = x t − k L^k(x_t)=x_{t-k} Lk(xt​)=xt−k​

命题1.1 滞后算子满足线性性质 ( 1 ) L ( β x t ) = β L ( x t ) ( 2 ) L ( x t + w t ) = L ( x t ) + L ( w t ) \begin{array}{lcl} (1)L(\beta x_t)=\beta L(x_t)\\ (2)L(x_t+w_t)=L(x_t)+L(w_t) \end{array} (1)L(βxt​)=βL(xt​)(2)L(xt​+wt​)=L(xt​)+L(wt​)​

p r o o f : proof: proof: ( 1 ) L ( β x t ) = β x t − 1 = β L ( x t ) ( 2 ) L ( x t + w t ) = x t − 1 + w t − 1 = L ( x t ) + L ( w t ) \begin{array}{lcl} (1)L(\beta x_t)=\beta x_{t-1}=\beta L(x_t)\\ (2)L(x_t+w_t)=x_{t-1}+w_{t-1}=L(x_t)+L(w_t) \end{array} (1)L(βxt​)=βxt−1​=βL(xt​)(2)L(xt​+wt​)=xt−1​+wt−1​=L(xt​)+L(wt​)​

由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。 显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即: L ( c ) = c L(c)=c L(c)=c。

§2.一阶差分方程 利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式: y t = ϕ y t − 1 + w t = ϕ L y t + w t ( 4 ) y_t=\phi y_{t-1}+w_t=\phi Ly_t+w_t\qquad(4) yt​=ϕyt−1​+wt​=ϕLyt​+wt​(4)

也可以表示为： ( 1 − ϕ L y t ) = w t ( 5 ) (1-\phi Ly_t)=w_t\qquad(5) (1−ϕLyt​)=wt​(5)

在上述等式两边同时作用算子： ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t) (1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)，可以得到： ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) w t (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)w_t (1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt​)=(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)wt​

计算得到： ( 1 − ϕ t + 1 L t + 1 ) y t = ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) w t (1-\phi^{t+1}L^{t+1})y_t=(1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)w_t (1−ϕt+1Lt+1)yt​=(1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)wt​

利用滞后算子性质得到： y t − ϕ t + 1 L t + 1 y t = w t + ϕ L w t + ϕ 2 L 2 w t + ⋯ + ϕ t L t w t ⇒ y t − ϕ t + 1 y − 1 = w t + ϕ w t − 1 + ϕ 2 w t − 2 + ⋯ + ϕ t w 0 y_t-\phi^{t+1}L^{t+1}y_t=w_t+\phi Lw_t+\phi^2 L^2w_t+\cdots+\phi^t L^tw_t\\\Rightarrow y_t-\phi^{t+1}y_{-1}=w_t+\phi w_{t-1}+\phi^2 w_{t-2}+\cdots+\phi^t w_0 yt​−ϕt+1Lt+1yt​=wt​+ϕLwt​+ϕ2L2wt​+⋯+ϕtLtwt​⇒yt​−ϕt+1y−1​=wt​+ϕwt−1​+ϕ2wt−2​+⋯+ϕtw0​

⇒ y t = ϕ t + 1 y − 1 + w t + ϕ w t − 1 + ϕ 2 w t − 2 + ⋯ + ϕ t w 0 ( 6 ) \Rightarrow y_t=\phi^{t+1}y_{-1}+w_t+\phi w_{t-1}+\phi^2 w_{t-2}+\cdots+\phi^t w_0 \qquad(6) ⇒yt​=ϕt+1y−1​+wt​+ϕwt−1​+ϕ2wt−2​+⋯+ϕtw0​(6) 上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。  注意算子作用后的等式： ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = ( 1 − ϕ t + 1 L t + 1 ) y t (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=(1-\phi^{t+1}L^{t+1})y_t (1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt​)=(1−ϕt+1Lt+1)yt​ 即： ( 1 + ϕ L + ϕ 2 L 2 + ⋯ + ϕ t L t ) ( 1 − ϕ L y t ) = y t − ϕ t + 1 y − 1 (1+\phi L+\phi^2 L^2+\cdots+\phi^t L^t)(1-\phi Ly_t)=y_t-\phi^{t+1}y_{-1} (1+ϕL+ϕ2L2+⋯+ϕtLt)(1−ϕLyt​)=yt​−ϕt+1y−1​ 如果时间序列 y t y_t yt​是有界的，即存在有限的常数 M M M，使得任意时间均有: ∣ y t ∣ ≤ M |y_t|≤M ∣yt​∣≤M， 并且 ∣ ϕ ∣ < 1 |\phi|