现实生活中有许多类型的最优化寻优问题，包括连续、离散、线性、非线性、非凸和非光滑等。对于连续可导问题，传统方法能够较好解决，但是，面对非凸、不可微等复杂问题，传统方法则不能有效解决。为此，研究者试图通过模拟生物的生活习性来解决全局最优问题，并提出了许多新型启发优化算法。例如：文化算法(Cultural Algorithms, CA)通过模拟人类社会的演化过程来解决复杂寻优求解问题[1]；差分进化算法(Differential Evolution, DE)在贪婪遗传算法的基础上，通过实数编码的思想进行保优并通过个体间的合作与竞争来实现优化问题求解[2]；粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)从随机解出发，通过模拟鸟群的觅食过程来迭代寻优[3]；萤火虫算法(Firefly Algorithm, FA)模拟萤火虫的群聚活动，发光弱的萤火虫不断地向发光强的萤火虫移动来迭代搜寻最优解[4-5]；布谷鸟算法(Cuckoo Search, CS)通过模拟布谷鸟的寄生育雏来求解最优化问题[6-7]；蝙蝠算法(Bat Algorithm, BA)通过模拟蝙蝠回声定位的方式来迭代搜寻最优解[8-9]；鸡群算法(Chicken Swarm Optimization, CSO)通过模拟鸡群的等级社会来求解寻优[10]。

鸟群算法(Bird Swarm Algorithm, BSA)[11]是一种新兴的群智能优化算法，通过模拟鸟群觅食行为、警戒行为和飞行行为来求解最优问题。与其他群智能优化算法相比，BSA在解决最优化问题时具有调节参数少、收敛精度高和鲁棒性能好等优点[12]，但是BSA在鸟群进化的初期存在种群多样性不足的问题，制约了BSA的全局搜索能力，也使得BSA很容易陷入局部最优[13]。

为了克服BSA的缺陷，本文在BSA的基础上引入迁移策略和变异策略，提出了一种改进的鸟群算法(Improved Bird Swarm Algorithm，IBSA)。首先，在鸟群飞行阶段引入迁移策略，有助于提高鸟群向适应度更高位置迁移的能力，提高BSA的收敛速度；其次，引入最优适应度变化率，并据此判断鸟群是否陷入局部最优，在局部最优阶段引入变异策略，旨在提高算法种群多样性和算法的寻优精度。

假设搜索空间中鸟的种群大小为N，搜索空间的维度为dim,t时刻第i只鸟在搜索空间的位置描述为:

1.2.1 觅食行为 在鸟群觅食过程中，每只鸟会依据自身的搜索经验和鸟群集体的搜索经验来更新自己的搜索位置，鸟的位置更新公式如下：

(1)

其中：为第i只鸟在t时刻的位置；pi,j表示第i只鸟在第j次迭代之前所搜索到的最优位置；gj为鸟群在第j次迭代之前所搜索到的最优位置；C、S分别表示感知系数和社会加速系数，为两个正数；rand(0,1)表示[0,1]区间内的独立均匀分布。

1.2.2 警戒行为 在警戒过程中，鸟试图向鸟群中心移动，在移动过程中与其他警戒的鸟形成竞争，因此，鸟不能直接地移动到鸟群中心。警戒行为的位置更新如式(2)～(4)所示。

(2)

(3)

(4)

其中：k(k≠i)是一个[1,N]的随机正整数；a1、a2为[0,2]的两个常量；pFiti为第i只鸟的最佳适应度值；sumFit为整个鸟群的最佳适应度值之和；ε为计算机的避免零因子，表示最小的正数；meanj表示鸟群平均位置第j个元素。

1.2.3 飞行行为 为了逃避捕食者，鸟会定期飞行到其他位置。当到达新的位置后，鸟将会重新进行捕食。适应度高的鸟作为种群的生产者搜索食物，其他的鸟为鸟群的乞讨者，跟随生产者获取食物。生产者和乞讨者按照如下公式进行位置更新：

(5)

(6)

其中：randn(0,1)表示均值为0、标准差为1的高斯分布；FL(FL∈[0,2])表示乞讨者跟随生产者进行觅食。

BSA在飞行过程中采用随机飞行的机制，在这种飞行机制下，算法容易陷入局部最优。对此，刘晓龙等[13]在BSA基础上引入了莱维飞行机制，提出了基于莱维飞行的BSA(Levy Bird Swarm Algorithm, LBSA)，但是这种方式容易减慢算法的收敛速度，同时降低算法的寻优精度[14]。为了解决BSA易陷入局部最优的问题，同时又能够提高BSA的收敛速度，本文在BSA的基础上引入迁移和变异策略，提出了IBSA算法，使得IBSA同时具有较好的全局搜索和局部搜索能力[15]。首先，将迁移策略引入到鸟群飞行过程，有助于提高鸟群向适应度更高位置迁移的能力，提高BSA的收敛速度。其次，在鸟群位置更新后引入变异算子，能够提高算法的鸟群多样性，有效地避免算法陷入局部最优，从而提高算法的搜索精度。

受自然界生物群体智能的启发，在群智能优化算法中，适应度高的种群需要分享它们的特征，而适应度低的种群需要向适应度高的种群学习[16]。为此本文在BSA的基础上引入迁移策略，每只鸟以概率λk向适应度高的鸟迁移。λk的更新公式如式(7)所示。当鸟飞行时随机产生迁移概率r,如果r小于λk，则鸟k向适应度高的鸟迁移。

(7)

其中：yk为鸟的适应度归一化后的值；由余弦性质可知，当鸟的适应度低时，鸟会有更大的迁移概率λk，当鸟的适应度高时，迁移概率变小，保证了鸟能够更快速地向适应度更高的位置迁移。

变异操作能够随机地修改鸟群的特征，这有助于提高鸟群的多样性，为此本文在BSA的基础上引进了变异策略。该过程由两个步骤组成，首先判定鸟群更新后的位置是否陷入局部最优，当判定鸟陷入局部最优后，对鸟群位置进行非均匀变异，具体过程如下：

(1)算法局部最优判定。为了准确判断算法是否陷入局部最优，本文引入了鸟群历史最优适应度的变化率[17]。当鸟群历史最优适应度的变化率连续n代小于限定的阈值Δ，则判定算法陷入局部最优，并对鸟群进行高斯变异。算法局部最优判定如式(8)所示。

(8)

式中：为鸟群最佳个体的适应度；Δ为阈值，本文取文献[15]中的Δ值，为 0.000 1。

(2) 非均匀变异算子。在BSA寻优的后期，鸟群的位置已经接近最优解位置，因此，只需要对鸟群的部分维度变量进行变异就可以搜索到全局最优解[18]。本文采用非均匀算子对鸟群位置进行扰动，从而提高算法的寻优精度。

对鸟群位置的变异策略：假设局部最优鸟i的位置为在[0,dim]区间随机选取d=round(dim×α)个大小不同的正数，作为需要进行变异的维度，α为[0,1]之间的固定值，表示高斯变异的比例，round为四舍五入运算。对每个随机选取的变异维度逐一进行非均匀变异。鸟群的变异策略如公式(9)～(11)所示。

(9)

(10)

Δ(t,y)=y(1-r(1-it/dim)b)

(11)

其中：pi,k为第i只鸟的第k维分量；γ取值0或1，当γ为0时，Δ(t,y) 取负值，当γ取1时，Δ(t,y)取正值；r为[0,1]的随机数；dim为维度；it表示变异种群个体的迭代次数；b为非均匀度参数，文献[14]中其取值范围为[1,5]且通过实验证明其取3时最优。

Step 1 初始化算法的基本参数，包括种群大小N、最大迭代次数M、鸟群飞行频率FQ、觅食概率p，以及5个基本常量C、S、a1、a2、FL。

Step 2 对种群进行初始化，产生初始鸟群及鸟群的适应度值f，并确定第1代鸟群的最优适应度fmin(1)。

Step 3 根据FQ判断鸟的状态，当迭代次数不是FQ的整倍数时，鸟群进入觅食和警戒状态。此时，如果rand(0,1)